POLÍGONOS. Definição Polígonos Convexos e não-convexos. Professor: Jarbas

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1 POLÍGONOS Definição Polígonos Convexos e não-convexos Professor: Jarbas

2 Existem dois tipos de linhas: As linhas formadas por CURVAS: As linhas formadas por segmentos de RETAS: Linha Poligonal

3 Linhas Poligonais: Abertas Com cruzamento Simples Fechadas Formam duas regiões: interna e externa Polígono

4 Definição de Polígono Polígono é uma linha poligonal fechada e simples com sua região interna e externa. Pode ser convexo e não-convexo.

5 Polígono Não- Convexo

6 Polígono Convexo

7 Nomes Especiais Nome Nº. lados Nº. ângulos Triângulo 3 3 Quadrilátero 4 4 Pentágono 5 5 Hexágono 6 6 Heptágono 7 7 Octógono 8 8 Eneágono 9 9 Decágono

8 MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Combinando figuras geométricas, podemos criar mosaicos. Veja: Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço. Imagem: Chris Severn / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas.

9 Exemplos da aplicação do formato das colmeias são blocos de calçamento e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcoólicas em adegas. Imagem: (a) KKK2352 / Rua / Public Domain; (b) Che / Adega / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 Generic.

10 Soma dos ângulos interno de um polígono convexo Todo polígono convexo pode ser decomposto em triângulos quando traçamos as diagonais que partem de um único vértice: 4 lados 2 triângulos (4 2) 2 x 180º = 360º 5 lados 3 triângulos (5 2) 3 x 180º = 540º 6 lados 4 triângulos (6 2) 4 x 180º = 720º

11 Então, a soma dos ângulos internos depende do número de lados; A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2; Portanto: S i n 2 180º

12 Ângulos de Polígonos Regulares Polígonos regulares tem todos os lados e ângulos de mesma medidas; Então, a medida de seu ângulo interno é a soma deles dividida pelo número de lados: a i S n ou n a i n

13 MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer e 3 i 1 + e 1 = 180 e i 2 2 i 1 e 1 i 3 e 4 i 4 i 2 + e 2 = 180 i 3 + e 3 = 180 i 4 + e 4 = 180 i n + e n = 180 S i + S e = 180 n A soma S e das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer é 360º. S e = 180 n S i S e = 180 n 180 (n 2) S e = 180 n 180 n S e = 360

14 MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Num polígono regular, todos os ângulos externos a e são congruentes entre si. Portanto, para encontrar a medida de cada ângulo externo, basta dividir a soma das medidas dos ângulos externos S e pelo número n de lados. a e a e = 360 n E, ainda, sempre e em qualquer polígono convexo, a a 180º i e

15 Observe a figura: Imagem: (a) Jackhmo / Hexágonos / Public Domain Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor ou deixar vãos.  ^ C ^ B Todos os hexágonos são regulares, isto é, possuem lados e ângulos de mesma medida, o que significa que  = B = C. Além disso, a soma desses três ângulos é igual a 360, ou seja, eles formam um ângulo de uma volta completa:  + B + C = 360. Imagem: (b) HB / 4 Hexágonos / Public Domain

16 MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Já usando só pentágonos A figura é formada por pentágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor, mas deixam um vão de 36. Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na figura acima.

17 1. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano. Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição).

18 MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Decágono Figura Ângulo Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos, entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um: a) Triângulo x b) quadrado c) Pentágono d) Hexágono e) eneágono 135º 135º

19 Diagonais de um Polígono Convexo Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono. A B

20 Número de Diagonais de um Polígono Convexo Seja n o número de vértices; Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos com seus adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n 3) vértices; Como há n vértices, então podemos fazer n.(n 3) ligações; Porém, estaremos contabilizando duas vezes a mesma ligação, isto é, diagonal. Por exemplo: A diagonal de vai do vértice A até o C é a mesma que vai do C até o A. A Portanto: d n.(n 2 3) C

21 Exemplos: 1) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b)104 c)119 d)135 e)152 2) Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos e um deles tem 9 diagonais a mais que o outro. Que polígonos são esses?

22 Polígonos- Relações Importentes Soma das medidas dos ângulos internos: Si 180º n 2 Soma das medidas S 360º dos ângulos externos: e Ângulos internos de um polígono regular: a i Si n ou a i 180º n 2 n Ângulos externos de um polígono regular: a e S n e ou a e 360º n Número de diagonais de um polígono: d nn