Matemática. Resolução das atividades complementares. M2 Matrizes [ ] 1 Construa a matriz linha A 5 (a ij

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Matrizes p. 6 Construa a matriz linha (a ij ) tal que cada elemento obedeça à lei a ij i j. (a ij ) ; a ij i j a a 6 a 9 7 a 0 a [ 7 0 ] [ ] 7 0 Determine a matriz quadrada de ordem tal que a a ij { i se i j se i j j a a a a a a a a a ij i se i j { se i j. j Qual a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária de uma matriz identidade de ordem 0 0 I diferença é.

2 Qual a soma dos elementos da diagonal principal da matriz S (7) () 6 S Coloque V ou F conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas. a) Toda matriz nula é quadrada. F b) Toda matriz diagonal é quadrada. V c) Eiste matriz identidade que não é quadrada. F d) Na matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a. V e) Toda matriz quadrada possui o número de linhas igual ao número de colunas. a) (Falsa); eistem matrizes nulas que não são quadradas. b) (Verdadeira) c) (Falsa); toda matriz identidade é uma matriz diagonal. d) (Verdadeira) e) (Verdadeira) V 6 Construa uma matriz (a ij ) tal que a j se i j (a ij), aij { i j se i j a a a 0 a a a ij j se i j {. i j se i j 0 7 Determine a soma dos elementos da a coluna da matriz (a ij ) tal que a ij i j. (a ij ), a ij i j a a_ coluna a a 6 S 6 S

3 a (UEPB) Dados a b c, a matriz quadrada b 0 de ordem é chamada de: c a) matriz de Vandermonde c) matriz nula e) matriz triangular b) matriz identidade d) matriz diagonal matriz a 0 0 b 0 possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero; portanto, é c uma matriz triangular. 9 (Unipar-PR) Sabendo que a é uma matriz quadrada de ordem e está definida pela lei de formação: ( i j) log se i j aij, podemos concluir que a sua transposta é: i j se i j a) c) 8 e) 8 8 b) 8 d) 8 a ij (i j) log se i j j se i j a a a a log t 8 8 log Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz (a ij ) em que a ij i j. 6 (a ij ), a ij i j a a a a a a a a a S i j se i j Dada a matriz (a ij ) em que aij {, determine a soma dos elementos a i j se i j a. 6 i j se i j (a ij), aij i j se i j { a a a a 6

4 p. 9 Dadas as matrizes matrizes sejam iguais. 6 e B 0, determine e para que as e 6 ; B Se B, então: Dadas as matrizes B e B 0, determine B e B e B Sejam e B 7 0 8, determine t B t t ; B t 0 t B t Seja a matriz (a ij ) definida por a ij i j e B (b ij ) definida por b ij j i. Determine c da matriz C B. (a ij ) ; a ij i j B (b ij ) ; b ij j i C B c a b a b c a b

5 6 Seja (a ij ) 0 0 tal que a ij i j e B (b ij ) 0 0 tal que b ij i j. Determine c 78 da matriz C B t. 86 (a ij ) 0 0 ; a ij i j B (b ij ) 0 0 ; b ij i j C B t a b t 78 b c Dados e B 0 0 C (c ij ) ; C B I 7 0 0, determine C (c ) tal que C B I. ij 6 9 C I C C Resolva a equação matricial:

6 9 Determine a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária da matriz X: D 6 (7) 66 diferença é s vendas de computadores, impressoras e webcams de determinada rede de lojas de informática das cidades, B, C e D no primeiro semestre de 00 foram organizadas na seguinte tabela: B C D Computadores Impressoras Webcams No final do ano foi feita outra tabela, com as vendas do ano todo. B C D Computadores Impressoras Webcams Epresse, com uma matriz, o total de vendas desses produtos no segundo semestre. segundo semestre ano todo o semestre p. Se 0 e B, e B se comutam Não B B B ; portanto, e B não se comutam.

7 (FGV-SP), B e C são matrizes quadradas de ordem, e I é a matriz identidade de mesma ordem. ssinale a alternativa correta: a) ( B) B B c) ( B) ( B) B e) I I b) B C C B d) C I C a) (Falsa); a multiplicação de matrizes não é comutativa. b) (Falsa); a multiplicação de matrizes não é comutativa. c) (Falsa); a multiplicação de matrizes não é comutativa. d) (Verdadeira); a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. e) (Falsa) (UEL-PR) Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol realizada na França, em 998, o grupo era formado por quatro países: Brasil, Escócia, Marrocos e Noruega. Observe os resultados (números de vitórias, empates e derrotas) de cada país registrados na tabela a seguir. Vitória Empate Derrota Brasil 0 Escócia 0 Marrocos Noruega 0 Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem uma pontuação que pode ser observada na tabela abaio. Pontuação Brasil Escócia Vitória matriz C Marrocos, que representa a pontuação final de cada país ao Empate Noruega Derrota 0 término dessa primeira fase, é: 6 a) c) e) b) d) ; B ; C B B C 6

8 p. (Faap-SP) Uma montadora produz três modelos de veículos,, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos de airbags, D e E. matriz [airbag modelo] mostra a quantidade de unidades de airbags instaladas: B C D 0 E Em determinada semana, foram produzidas as seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz [modelo quantidade]: quantidade 00 B 00 C 600 O produto da matriz [airbag modelo] pela matriz [modelo quantidade] é 600. Quantos veículos do modelo C foram montados na semana a) 00 c) 0 e) 00 b) 00 d)

9 Sejam as matrizes, B e C 6. Verifique se valem as igualdades: a) ( B) C e C B C V c) ( B) C e (B C) b) C ( B) e C C B V d) B e B F a) (Verdadeira) ( B) C C B C b) (Verdadeira) C ( B) 6 C C B c) (Verdadeira) 6 V ( B) C (B C) d) (Falsa) B 9 B

10 6 Se 0, determine X tal que X I. X 0 ; I a Seja X c 0 c b d. a b 0 c d 0 0 c 0 a c a 0 d d b d 0 b 0 b X Resolva a 0 equação matricial: X. a Seja X c 9 a c b d b d 0 X 0 ; I a b Seja X c d. a b 0 0 c d 0 c 0 c 0 a c a d d b d 0 b 0 b X 0 Com os dados, temos: a 9c a c () a 9c a c c 7 c Substituindo c, temos: a c a a a 0 b 9d 0 b 9d 0 b d () b d d d Substituindo d, temos: ( ) b d b b b b b 9 b

11 8 (Fuvest-SP) Uma matriz é ortogonal se t I, em que I indica a matriz identidade e t indica a transposta de. Se z é ortogonal, então é igual a: a) c) e) b) d) z z t z z z z z z z z Logo,.

12 9 (Unipac-MG) Uma empresa pretende fornecer uma cesta de presentes aos seus funcionários. Cada cesta deve sempre conter pacotes de amêndoas, caias de bombons e garrafas de vinho. Foram propostos três tipos de composição, conforme a tabela abaio, que mostra o número de itens em cada cesta. Tabela : Pacotes de amêndoas Caias de bombons Garrafas de vinho Cesta Cesta Cesta 6 Foi feita uma pesquisa de preços (em reais) entre dois fornecedores, conforme mostra a tabela abaio: Tabela : Fornecedor Fornecedor Pacote de amêndoas,00,00 Caia de bombons,0,0 Garrafa de vinho 6,00,00 firma-se que: I. o produto matricial da tabela pela tabela fornece o preço de cada tipo de cesta composta dos produtos comprados de cada um dos fornecedores. II. uma cesta do tipo comprada do fornecedor custaria R$ 8,00. III. o elemento da a linha e a coluna da matriz produto corresponde ao preço da cesta tipo comprada do fornecedor. ssinale a opção que apresenta a(s) afirmativa(s) verdadeira(s): a) apenas I c) apenas II e) apenas II e III b) apenas I e II d) apenas III ; B,, 6 6 7, 8 0, 7, 7, B,, I. (Verdadeira) II. (Verdadeira); a 8. III. (Falsa); o elemento da a linha e a coluna corresponde à cesta tipo do fornecedor.

13 0 Dadas as matrizes e B 0, determine Bt 9 B ; 0 B t B t B t 0 9 (FGV-SP) Uma matriz X tem elementos cuja soma vale. Seja X t a transposta da matriz X. Sabendo t que X X (), podemos afirmar que o produto dos elementos de X vale: a) 0 c) 0,6 e) 6 b) 0, d) t X X () Como a matriz resultante é, podemos afirmar que X é uma matriz e X t é uma matriz. t a Sejam X ( a b) e X, então: b ( a b) ( ) ( ) a b a a () ( a b a b) b b Como a b, temos: a e b 0 ou a 0 e b. Então, a b 0. ( a ab ab b )

14 (Unipar-PR) Sabendo que log log log e B log 8 log 7 log 6 elementos da matriz B é igual a: a) c) 6 e) b) 8 d) log log 9 log log log log 8 log 7 log 6 ; B log log 6 log log log log 9 log log log log log 6 log 8 log 7 log 6 log log log log 9 log log 6, a soma dos log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log S (Vunesp-SP) Sejam e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que ( B) B B a) Sempre, pois é uma epansão binomial. b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade. c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto B for comutativo com B. e) Se e somente se B. ( B) B B será verdadeira se e somente se B B, ou seja, quando o produto B for comutativo com B.