Demonstrações Matemáticas Parte 4

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1 Demonstrações Matemáticas Parte 4 Nesta aula, apresentamos técnicas de demonstração para afirmações matemática para todo e existe. Elas são baseadas nas duas últimas regras de inferências da Lógica de Predicados de 1a Ordem apresentadas na aula passada as regras de generalização. 1. Prova Universal Chamamos de prova universal a técnica mais geral usada para provar uma afirmação para todo x, é verdade P(x). (Em outra aula, veremos prova por indução, que é uma técnica mais especializada). Esta é prova universal: Para provar para todo x U, é verdade P(x), estruture a prova assim: Hipótese: x é um elemento de U qualquer (sem nenhuma restrição) Objetivo: P(x) é verdade Veja que a ideia é, basicamente, acrescentar uma hipótese dizendo que a variável x pode ter valor qualquer. Um detalhe é que P(x) deve ser provado sem assumir nenhuma restrição sobre x. (Porém, a aplicação de métodos em sequência, pode incluir novas premissas envolvendo x, mas são premissas mais locais ). No primeiro exemplo, vamos provar um produto notável. Exemplo 1: Prove que, para todos a e b reais, (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Aplicando a prova universal, ficaria assim: Sejam a e b dois reais quaisquer. (Estamos fazendo uma demonstração universal, mas não precisa informar explicitamente). Vamos desenvolver a expressão (a+b) 2 da seguinte forma: (a+b) 2 = (a+b)(a+b) [pela definição de potência] = (a+b)a + (a+b)b = aa + ab + ba + bb [propr. de distribuitividade] 1

2 = a 2 + 2ab + b 2 Logo: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. (Provado). Na verdade, a maioria das demonstrações que demos na disciplina foram de afirmações para todo seguindo o princípio da prova universal, mesmo que não informássemos diretamente. No próximo exemplo, refazemos uma demonstração apresentada antes, apresentando em detalhes a prova universal seguida de uma prova direta. Exemplo 2: Prove que para todos a e b inteiros, se a e b são pares, então a+b é par. Sejam a e b inteiros quaisquer. (Este primeiro passo é a aplicação da prova universal. A partir daqui, ainda temos que provar o se...então.... A seguir, usamos uma prova direta, dentro desta prova universal. Usamos um recuo maior no texto, para dar uma ideia parecida com a de aninhamento em programação). Por prova direta, vamos assumir, também, que a e b são pares. Pela definição de par, temos: a = 2k 1 b = 2k2 (para certos k1, k2 inteiros) Desenvolvendo a expressão a+b: a+ b = 2k 1 + 2k 2 = 2(k 1+2k 2) Logo, a+b é par. (Provado). Em situações semelhantes, antes, nós mostramos diretamente a aplicação da prova direta da implicação. Porém, no exemplo acima, precisamos tratar o para todo antes de implicação. Na prática, você pode fazer as duas coisas em um só passo, como no próximo exemplo. Exemplo 3: Prove que para todo n inteiro, se n é par, então n 2 é par. Aplicando a prova universal e a prova direta. Seja n um inteiro par qualquer. (Faça você mesmo, ou veja as notas de aulas). Logo, n 2 é par. (Provado). 2

3 2. Prova Existencial (Construtiva) Nesta seção, mostramos o método de prova existencial, que serve para demonstrar uma afirmação existe x tal que P(x) é verdade. Segue a explicação deste método: Para provar existe x U, tal que é verdade P(x), crie um argumento assim: Hipótese: Seja x = <escolha um valor do conjunto U> Objetivo: P(x) é verdade (apenas para o valor escolhido) o <se for um valor que cause dúvida, prove, também, que x U> Esta técnica consiste em dar um valor para x diretamente ou em explicar como calculálo ou construí-lo. Por isso, ela costuma ser chamada de prova construtiva (ou por construção). Por falta de tempo, não falaremos de prova existencial não-construtiva 1. Exemplo 5: Prove que existe um inteiro x que é solução da equação x 2 (3/2)x 1 = 0 Prova existencial. Seja x = 2. Assim, podemos desenvolver a seguinte expressão: x 2 (3/2)x 1 = (2) 2 (3/2)(2) 1 = = 0 (Provado). O próximo exemplo é muito simples (não vou cobrar nesse nível), mas serve para ilustrar. Ele se baseia no fato de que a definição de número par depende da existência de certo valor. Então, provar que um número é par, no fundo, é uma prova existencial. Exemplo 6: Prove que 6 é par. (Pela definição de par, isso corresponde a provar que existe um k inteiro tal que 6=2k ). Prova existencial. Seja k = 3, que é inteiro. Assim, temos: 6 = 2.k, para k inteiro. Logo: x é par. (Provado) 1 Ver: 3

4 Exemplo 7: Prove que existe um n inteiro tal que n é par e primo. Prova existencial. Seja n=2, que é inteiro. Obviamente, 2 é par (pois considerando k=1, temos que 2=2.k). Além disso, os divisores positivos de 2 são apenas 1 e 2. Logo 2 é primo também. (Provado). Veja que, no argumento das provas existenciais, o valor da variável (como o x=2 do exemplo 5 ou o k=3 do exemplo 6) parece ter surgido do nada, pois não há menção de como ele foi obtido. No exemplo 5, você poderia descobrir aquele valor usando o método de Bhaskara (para resolver equação do 2º grau). Em outros casos, você poderia resolver criando um programa para testar valores, etc. Porém, na demonstração, só importa qual o valor. Não importa como você o descobriu! O processo para achar o valor pode ficar no seu rascunho ou em alguma explicação extra, mas não precisa ser relatado na demonstração. A seguir, damos mais um exemplo de prova existencial com um valor difícil de descobrir. (Esse valeria a pena tentar descobrir com um programa de computador). Exemplo 8: Prove que existe um inteiro positivo n que pode ser escrito de duas formas distintas como a soma de dois cubos perfeitos. Prova por construção. Seja n = Veja que n = = e n = = Logo, n pode ser escrito, de duas formas distintas, como a soma de dois cubos perfeitos. (Provado). A seguir, mostramos que as provas por contra-exemplo, que aprendemos antes, são, na verdade, provas existenciais. 4

5 2.1. Prova (Refutação) por Contra-Exemplo Lembre-se que a prova por contra-exemplo serve para refutar/negar uma afirmação do tipo para todo x, é verdade P(x). Assim, em fórmulas da Lógica de 1 a Ordem, ela prova x P(x). Porém, como vimos, essa fórmula é logicamente equivalente a x P(x), que quer dizer existe um x tal que P(x) é falso. Assim, a prova por contraexemplo é uma prova existencial! Veja os exemplos a seguir. Exemplo 9: Refute a afirmação para todos a e b inteiros, é verdade que a b ou b a. (Veja que a negação desta afirmação corresponde a existem a e b inteiros tais que a b e b a. A seguir, damos uma prova desta afirmação existencial). Contra-exemplos (=prova existencial da negação): a=3 e b=4. Veja que a b, pois 3 4. Além disso b a, pois 4 3. (Até aqui, provamos a negação da afirmação original). Logo a afirmação inicial é falsa. Veja que a prova existencial construtiva acima corresponde exatamente a negar a afirmação original por contra-exemplo. O par de valores a=3 e b=4 formam o contraexemplo propriamente dito. Exemplo 10: Refute a afirmação Para todos a e b irracionais, a b é irracional. (A negação desta afirmação corresponde a existem a e b irracionais tais que a b é racional. No fundo, vamos dar a prova desta nova afirmação). Contra-exemplos: a= 2 e b= log 2 9. Ambos são irracionais. (Já provamos para log 2 9 também é irracional 2 ). 2, mas, sem provar, assuma que Agora, vamos calcular a b : b a log 2 9 log Ver: 5

6 Veja que a b é racional. Logo a afirmação inicial é falsa. Observação: Em questões para refutar uma afirmação, você pode continuar fazendo prova por contra-exemplo como fazia antes. Esta seção teve o objetivo apenas de mostrar que a prova existencial que aprendemos aqui, na verdade, não é uma grande novidade ela já era usada antes. A seguir, vamos falar sobre como provar afirmações que envolvem tanto o quantificador para todo como o quantificador existe. 3. Prova Existencial + Prova Universal Afirmações que envolvem para todo e existe são tratadas aplicando-se os métodos em seqüência. Isso é feito na ordem em que eles aparecem na afirmação. Vamos começar dando um exemplo de prova de uma afirmação que começa com um quantificador para todo e depois tem o quantificador existe. Exemplo 11: Provar que para todo x Z +, existe um y R tal que x.y = 1. (Primeiro aplicamos a prova universal, que cria uma nova hipótese bastante simples envolvendo o x. Depois, no argumento, vamos aplicar a prova existencial sobre o y). Seja x é um inteiro positivo qualquer. (Lembre-se que inteiro positivo exclui o zero. Agora, no restante, vamos dar a prova existencial de: existe um y R tal que x.y = 1 ). Seja y = 1/x. Como x 0, esse valor de y é sempre um valor real. Agora, calculando x.y, temos: x.y = x.(1/x) = x/x = 1 Logo: x.y = 1. (Provado). O próximo exemplo demonstra uma afirmação que começa com um quantificador existe e, depois, tem o quantificador para todo. 6

7 Exemplo 12: Prove que existe um x Z tal que, para todo y R, x.y = y. (Dessa vez, começamos com uma prova existencial sobre o x. Depois, fazemos, uma prova universal sobre o y). Seja x = 1, que é um valor inteiro. (Agora, vamos provar que para todo y real, x.y = y ). Seja y um real qualquer. (Esta é a hipótese criada pela prova universal). Agora, vamos calcular x.y: x.y = 1.y = y Logo: x.y = y. (Provado). Todas as coisas cooperam para o bem daqueles que amam a Deus (Romanos 8:28) 7