assim são válidas devido à sua estrutura e ao significado dos quantificadores universal e existencial

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1 LÓGICA DE PREDICADOS Na ló predicados uma wff verdadeira significa uma wff vá lida, isto é, uma wff que seja válida em qualquer interpretação possível. AXIOMAS E REGRAS DE INFERêNCIA: wffs predicativas que têm a mesma forma lógica que tautologias sã o válidas; por exemplo, a wff P(x) [Q(x) P(X)] é válida, como j á foi demonstrado, além de ter a forma do axioma P (Q P) Algumas wffs predicativas não têm formas tautoló gicas, mas ainda assim são válidas devido à sua estrutura e ao significado dos quantificadores universal e existencial AXIOMAS PARA A LÓGICA PROPOSICIONAL 1. P (Q p) dado P, qualquer coisa implica P 2. [P (Q R)] [( P Q) (P R)] dada uma certa implicação que segue de P, entã o se o antecedente dessa implicaçã o segue de P, o consequente também o fará 3. ( Q P) ( P Q) se nã o Q implica não P então P implica Q se fosse o contrário, ( isto é, se o consequente fosse P Q), entã o, nã o Q valeria, e isto implicaria nã o P, o que geraria uma contradição: P implica não Q que implica não P 4. ( x)[p(x) Q(x)] [( x)p(x) ( x)q(x)] Se todos os elementos do domí nio que tiverem a propriedade P també m tiverem a propriedade Q e se todos os elementos do domí no de fato tiverem a propriedade P, então todos os elementos do domínio têm a propriedade Q 5. ( x)p(x) P(x) ou ( x)p(x) P(a) onde a é uma constante. se uma propriedade P for verdadeira para todos os elementos do domínio, então ela ser á verdadeira para um x arbitrário ou uma constante 6. ( x)p(x) P(t) onde t é uma constante ou nome de uma variável ainda não usada no decorrer da demonstração se existe um objeto para o qual a propriedade P seja a

2 verdadeira, podemos dar um nome a este objeto; no entanto, este nome deve ser arbitrá rio, mas diferente de qualquer outro que j á tenhamos usado na sequê ncia de demonstração (isso torna desejá vel usarmos o axioma 6 o quanto antes possível na demonstraçã o para evitar que os outros axiomas tenham essa restrição) 7. P(x) ( x)p(x) ou P(a) ( x)p(x) onde a não ocorre em P(a) é uma constante e x se P for verdadeira para um valor particular, então h á algum membro do domínio para o qual ela é 8. [( x)p(x)] ( x) P(x) verdadeira se for falso que algum elemento do domí nio tem a propriedade P, então todo elemento do domínio não ter á a propriedade P e vice-versa REGRAS DE INFERêNCIA PARA A LÓGICA DE PREDICADOS: Modus Ponens, Q pode ser inferida de P e P Q GENERALIZAÇã O - ( x)q pode ser inferida de Q desde que a) Q não tenha sido deduzida de qualquer hipótese na qual x seja uma variá vel livre e b) Q nã o tenha sido deduzida pelo uso do Axioma 6 de uma wff da forma ( y)q(y) na qual x seja uma variável livre Exemplo: a sequência abaixo ignora a restriçã o a) da regra da generalização para tentar provar a wff P(x) ( x)p(x), não válida 1. P(x) 2. ( x)p(x) (1, generalização incorreta)

3 Exemplo: a sequência abaixo ignora a restriçã o b) da regra da generalização para tentar provar a wff ( x)( y)q(x,y) ( x)q(x,t), nã o válida (ver obs. a seguir) 1. ( x)( y)q(x,y) (hipótese) 2. ( y)q(x,y) (1, axioma 5, modus ponens) 3. Q(x,y) (2, axioma 6, modus ponens) 4. ( x)q(x,t) (3, generalização incorreta) obs: na interpretação onde o domí nio consiste em inteiros e Q(x,y) significa que x + y = 0, é verdade que para cada inteiro x existe um inteiro y (o simétrico de x) tal que x+y=0; contudo, se um elemento fixo particular do domínio, então não é verdade que a soma do mesmo inteiro t a qualquer x resultar á em zero. t é predicados: ( x)[p(x) Q(x)] ( x)p(x) ( x)q(x) obs: vimos que essa é uma wff válida, sendo portanto um teorema; logo somos capazes de achar uma demosntração. 1. ( x)[p(x) Q(x)] (hipótese) 2. P(x) Q(x) (1, axioma 5, modus ponens) 3. P(x) (2, tautologia A B A, modus ponens) 4. Q(x) (2, tautologia A B A, modus ponens) 5. ( x)p(x) (3, generalização) 6. ( x)q(x) (4, generalização) 7. ( x)p(x) ( x)q(x) (5, 6, A B deduzida de A e B) predicados: ( x)p(x) ( x)p(x) 1. ( x)p(x) (hipótese) 2. P(x) (1, axioma 5, modus ponens) 3. ( x)p(x) (2, axioma 7, modus ponens)

4 Exemplo: a wff a seguir é um teorema da ló predicados? ( x)[p(x) Q(x)] ( x)p(x) ( x)q(x) essa wff parece vá lida ela diz que se todo elemento do domínio tiver a propriedade P ou a propriedade Q, entã o pelo menos um elemento do domí nio tem a propriedade P ou todos os elementos do domínio têm a propriedade Q 1. ( x)[p(x) Q(x)] (hipótese) 2. ( x)( P(x) Q(x)) (1, tautologia A B 3. ( x)( P(x)) ( x)q(x) (2,ax. 4,modus ponens) 4. [( x)p(x)] ( x)( P(x)) (axioma 8) 5. [( x)p(x)] ( x)q(x) (substituição de 4 em 3) 6. ( x)p(x) ( x)q(x) (5, tautologia A B A A B) B) predicados: [P(x) ( y)q(x,y)] ( y)[p(x) Q(x,y)] 1. P(x) ( y)q(x,y) (hipótese) 2. P(x) (hipótese temporária) 3. ( y)q(x,y) (1,2, modus ponens) 4. Q(x,y) (3, axioma 5, modus ponens) 5. P(x) Q(x,y) (4 deduzido do 2) 6. ( y)[p(x) Q(x,y)] (5, generalização) predicados: ( y)[p(x) Q(x,y)] [P(x) ( y)q(x,y)] 1. ( y)[p(x) Q(x,y)] (hipótese) 2. P(x) Q(x,y) (1, axioma 5, modus ponens) 3. P(x) (hipótese temporária) 4. Q(x,y) (2,3, modus p0nens) 5. ( y)q(x,y) (4, generalização) 6. P(x) ( y)q(x,y) (5 deduzido do 3)

5 ARGUMENTOS VÁLIDOS: Para provar a validade de um argumento que contém sentenç as quantificadas: Convertemos o argumento em forma simbó lica e mostramos que a tese pode ser obtida da hipótese Procedemos quase como antes, contudo, trabalharemos com a ló predicados em lugar da lógica proposicional Exemplo: Mostre que o argumento a seguir é vá lido: Todo microcomputador tem uma porta serial. Alguns microcomputadores têm porta paralela. Portanto alguns microcomputadores tê m ambas as portas serial e paralela M(x): x é um microcomputador S(x): x tem porta serial P(x): x tem porta paralela ( x)[m(x) S(x)] ( x)[m(x) P(x)] ( x)[m(x) S(x) P(x)] 1. ( x) [M(x) S(x)] (hipótese) 2. ( x) [M(x) P(x)] (hipótese) 3. M(a) P(a) (2, axioma 6, modus ponens) 4. M(a) S(a) (1, axioma 5, modus ponens) 5. M(a) (3, tautologia A B B, modus ponens) 6. S(a) (4, 5, modus ponens) 7. M(a) P(a) S(a) (3, 6, A B deduzida de A e B) 8. M(a) S(a) P(a) (propriedade comutativa aplicada em 7) 9. ( x)[m(x) S(x) P(x)] (8, axioma 7, modus ponens) '

6 Exemplo: Mostre que o argumento a seguir é vá lido: Todas as músicas de rock são barulhentas. Existem algumas mú sicas de rock, logo existem algumas mú sicas barulhentas. Use os predicados R(x) e B(x) R(x): x é uma música de Rock B(x): x é barulhenta [ ( x)[r(x) B(x)] ( x)r(x) ] ( x)b(x) 1. ( x)[r(x) B(x)] (hipótese) 1. ( x)r(x) 3. ( x)r(x) (hipótese) ( x) B(x)] (1, axioma 4, modus ponens) 3. B(x) (2, axioma 5, modus ponens) 4. ( x)b(x) (3, axioma 7, modus ponens)