Lógica Matemática UNIDADE II. Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César

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1 Lógica Matemática UNIDADE II Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César 1

2 1 - Álgebra das Proposições 1.1 Propriedade da Conjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujo valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F (Falsidade). a - Idempotente : p p <=> p b - Comutativa: p q <=> q p c - Associativa: (p q) r <=> p (q r) d - Identidade: p t <=> p e p c <=> c p t c p t p c p t p p c c V V F V F V V F V F F F V V t-elemento neutro e c-elemento absorvente 2

3 1.2 Propriedade da Disjunção Álgebra das Proposições Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F (Falsidade). a - Idempotente : p V p <=> p b - Comutativa: p V q <=> q V p c - Associativa: (p V q) V r <=> p V (q V r) d - Identidade: p V t <=> t e p V c <=> p p t c p V t p V c p V t t p V c p V V F V V V V F V F V F V V t-elemento absorvente e c-elemento neutro 3

4 Álgebra das Proposições 1.3 Propriedade da Conjunção e da Disjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer a - Distributivas: (i) p (q V r) <=> (p q) V (p r) (ii) p V (q r) <=> (p V q) (p V r) b - Absorção: (i) p (q V q) <=> p (ii) p V (q q) <=> p c - Regras de DE MORGAN: (i) ~ (p q) <=> ~ p V ~ q (ii) ~ (p V q) <=> ~ p ~ q 4

5 Álgebra das Proposições Regras de DE MORGAN ensinam: (i)~ (p q) <=> ~ p V ~ q Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa Ex: segundo (i), a negação da proposição: É inteligente e estuda Não é inteligente ou não estuda 5

6 Álgebra das Proposições Regras de DE MORGAN ensinam: (ii) ~ (p V q) <=> ~ p ~ q Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas. Ex: segundo (ii), a negação da proposição: É médico ou professor Não é médico e não é professor 6

7 1.4 Negação da Condicional ~ (p q) <=> p ~ q Álgebra das Proposições p q p q ~ (p q) ~ q p ~ q V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F Nota: a condicional não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa 7

8 1.5 Negação da Bicondicional Álgebra das Proposições ~ (p q) <=> ( p ~ q ) V (~ p q) p q ~ (p q) ~ q p ~ q ~p ~ p q V V F F F F F V F V V V F V F V V F V V V F F F V F V F Nota: a bicondicional p q não goza da propriedades idempotente, mas goza das propriedades comutativa e associativa 8

9 2 - Argumentos. Regras de Inferência Def. Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada seqüência finita P 1, P 2,, P n (n 1) de proposição tem como conseqüência ou acarreta uma proposição final Q. P 1, P 2,, P n premissas Q conclusão Indica por: P 1, P 2,, P n e se lê uma das seguintes maneiras: Q a) P 1, P 2,, P n acarretam Q b) Q decorre de P 1, P 2,, P n c) Q se deduz de P 1, P 2,, P n d) Q se infere de P 1, P 2,, P n 9

10 2.1 Validade de um argumento Def. Um argumento P 1, P 2, P N Q diz-se válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P 1, P 2, P N são verdadeiras. Em um argumento válido: a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não-válido diz-se um sofisma 2.2 Critério de validade de um argumento Teorema: Um argumento P 1, P 2, P N Q é válido se e somente se a condicional P 1 P 2 P N Q É tautológica 10

11 2.3 Condicional associada a um argumento Def. Dado um argumento P 1, P 2, P N Q a este argumento corresponde a condicional P 1 P 2 P N Q denominada condicional associado ao argumento dado cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo conseqüente é a conclusão. Considere o seguinte argumento e verifique se é válido SE TRABALHO, NÃO POSSO ESTUDAR TRABALHO OU PASSO EM FÍSICA TRABALHEI LOGO, PASSEI EM FÍSICA 11

12 Passo 1: Escrevendo o argumento em sua forma simbólica. Sejam p: Trabalho, q: Posso estudar r: Passo em Física as proposições que compõe esse argumento. Assim: p ~q, p v r, p r Passo 2: Verificar a validade do argumento acima. 12

13 p q r ~ q p ~ q p v r (p ~ q) (p v r) p (p ~ q) (p v r) p r V V V F F V F V V V F F F V F V V F V V V V V V V F F V V V F V F V V F V V V F F V F F V F F V F F V V V V F V F F F V V F F V A condicional associada ao argumento dado não é tautológica, assim o argumento é não válido 13

14 Exercício: Mostre o argumento p q, r ~q r ~ p é válido Obs: Para mostrar que um argumento é não válido basta encontrar um argumento da mesma forma, no entanto, as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Exemplo Desafio: Será que o argumento p q p q v r é válido? 14

15 p q r p q q v r p q v r (p q) (p (q v r)) V V V V V V V V V F V V V V V F V F V V V V F F F F F V F V V V V V V F V F V V V V F F V V V V V F F F V F V V A condicional associada a esse argumento é tautológica e portanto esse argumento é válido. 15

16 3 - Regras de Inferência Def. Chamam-se regras de inferência os passos utilizados na dedução ou demonstração de um argumento. Sendo habitual escrevê-los na forma padronizada abaixo indicada colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço. Notação: p q p q premissas conclusão argumento Regra Modus Ponens 16

17 Definição: Os passos usados na dedução ou demonstração da validade de um argumento são chamados regra de inferências. 1 Regra da Adição (AD) Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição. p p v q ~ p ~p v q ( p q) ( p q) v r 2 Regra da Simplificação (SIMP) Da conjunção p q de duas proposições se pode deduzir uma das proposições, p ou q. ( p v q) r p v q p ~ q ~ q x A x B x A 17

18 3 Regra da conjunção (CONJ) Permite deduzir de duas proposições dadas p e q a sua conjunção p q ou q p p v q ~r (p v q) ~ r x A x B x A x B 4 Regra da Absorção (ABS) Dada uma condicional p q como premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo conseqüente é a conjunção das duas proposições que integram a premissa p q. x A x A B x A x A x A B 18

19 5 Regra Modus Ponens (MP) A partir de p q e p como premissas se pode deduzir q. p q r p q r x A B x A x A B x A Aplicação: Verifique a validade do argumento p q, p r q (1) p q (2) p r (3) p q (4) p (5) q Simplificação 2 Modus Ponens 3,4 19

20 6 Regra Modus Tollens (MT) A partir das premissas p q e ~ q deduzir ~p q r s ~ s ~(q r) x 0 x = y x y x = 0 7 Regra do Silogismo Disjuntivo (SD) Dada a disjunção p v q de duas proposições e a negação ~p (ou ~q) se pode deduzir a outra proposição q ( ou p). (p q) v r ~r (p q) ~p v ~q ~~p ~q x=0 v x= 1 x 1 x=0 20

21 8 Regra do Silogismo Hipotético (SH) - Dadas duas condicionais p q e q r, tais que o conseqüente da primeira coincide com o antecedente da segunda se pode deduzir uma terceira condicional p r cujo antecedente é o antecedente da condicional p q e o conseqüente é o conseqüente de q r ~ p ~ q ~ q ~ r ~ p ~ r (p q) r r (q s) (p q) (q s) x =0 x = 0 x = 0 x + 1 =1 x =0 x + 1 =1 21

22 9 Regra do Dilema Construtivo (DC) As premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes e a conclusão é a disjunção dos conseqüentes das condicionais p q r s t (p q ) v s r v t 10 Regra do Dilema Destrutivo (DD) As premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus conseqüentes, e a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais ~q r p ~ s ~r v ~~s ~~q v ~p x + y = 7 x = 2 y x = 2 x = 3 x 2 v x 3 x + y 7 v y x 2 22

23 4 - Validade Mediante Regras de Inferência O método das tabelas verdade permite demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento. Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um dado argumento P 1, P 2,, P N Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir das premissas P 1, P 2,, P N mediante o uso de certar regras de inferência. Exemplos: 23

24 1- Verificar que é válido o argumento: p q, p r --q (1) p q (2) p r (3) p 2 - SIMP (4) q 1,3 - MP 2- Verificar que é válido o argumento: p q, p v r s --p s (1) p q (2) p v r s (3) p 1 - SIMP (4) p v r 3 AD (5) s 2,4 - MP (6) p s 3,5 - CONJ 24

25 3 - Verificar que é válido o argumento: p (q r), p q, p --r (1) p (q r) (2) p q (3) p (4) q r 1,3 MP (5) q 2,3 - MP (6) r 4,5 - MP 4 - Verificar que é válido o argumento: p q, p q r, ~(p r) -- ~p (1) p q (2) p q r (3) ~(p r) (4) p p q 1 - ABS (5) p r 2,4 SH (6) p p r 5 - ABS (7) ~ p 3,6 - MT 25

26 5 - Verificar que é válido o argumento: p v q r, r v q (p (s t )), p s -- s t (1) p v q r (2) r v q (p (s t )) (3) p s (4) p 3 - SIMP (5) p v q 4 AD (6) r 1,5 - MP (7) r v q 6 AD (8) p (s t ) 2,7 - MP (9) s t 4,8 - AD 26

27 6 - Verificar que é válido o argumento: p ~q, ~p (r ~ q), (~ s v ~r) ~ ~q, ~s -- ~r (1) p ~ q (2) ~ p (r ~ q) (3) (~ s v ~r) ~ ~q (4) ~ s (5) ~s v ~r 4 - AD (6) ~~ q 3,5 MP (7) ~ p 1,6 - MT (8) r ~ q 2,7 MP (9) ~ r 6,8 - MT 27

28 Aplicação: Verifique a validade do argumento (1) p q r (2) r s (3) t ~ u (4) t (5) ~s v u (6) ~u (7) ~s (8) ~r (9) ~(p q ) 3,4 -MP 5,6 - SD 2,7 - MT 1,8 - MT p q r, r s, t ~ u, t, ~s v u ~(p q) 28

29 5 - Validade Mediante Regras de Inferência e Equivalência 1- Regra de substituição: Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P pode ser substituída por uma proposição equivalente, e a proposição Q que assim se obtém é equivalente á P. 2- Equivalências Notáveis I. Idempotente (ID): (i) p <=> p p ; (ii) p <=> p v p II. Comutativa (COM): (i) p q <=> q p ; (ii) p v q <=> q v p III. Associação (ASSOC): (i) p (q r) <=> (p q) r ; (ii) p v (q v r ) <=> (p v q) v p 29

30 IV. Distribuição (DIST) : (i) p (q v r) <=> (p q) v (p r ); (ii) p v (q r) <=> (p v q) (p v r) V. Dupla Negação (DN): p <=> ~ ~ p VI. De Morgan (DM): (i) ~ (p q) <=> ~ p v ~ q (ii) ~ (p v q) <=> ~ p ~ q VII. Condicional (COND): p q <=> ~ p v q VIII. Bicondicional (BICOND): (i) p q <=> (p q) (q p) (ii) p q <=> (p q) v (~p ~q) IX. Contrapositiva (CP): p q <=> ~q ~ p 30

31 X. Exportação - Importação (EI): Exemplos p q r <=> p (q r) 1- Demonstrar que é válido o argumento: p ~q, q ~p (1) p ~ q (2) q (3) ~ ~ q ~ p 1-CP (4) q ~p 3-DN (5) ~p 2,4 -MP 2 - Demonstrar que é válido o argumento: p q, r ~q p ~ r (1) p q (2) r ~ q (3) ~ ~ q ~ r 2-CP (4) q ~ r 3-DN (5) p ~ r 1,4 -SH 31

32 3 - Demonstrar que é válido o argumento: p v(q r), p v q s p v s (1) p v (q r) (2) p v q s (3) (p v q) (p v r) 1-DIST (4) p v q 3-SIMP (5) s 2,4 MP (6) p v s 5 AD 4 - Demonstrar a validade do argumento: (1) (p v ~ q) v r (2) ~p v (q ~p) (3) (~ p v q) (~ p v ~p) 2-DIST (4) ( ~p v q) ~p 3-ID (5) ~ p 4 SIMP (6) p v ( ~q v r) 1 -ASSOC (7) ~q v r 5,6 -SD (8) q r 7 - COND (p v ~q) v r, ~p v ( q ~ p) q r 32

33 6 Demonstração Condicional e Demonstração Indireta 6.1 Demonstração Condicional Seja o argumento P 1, P 2,, P N --A B (1) cuja conclusão é a condicional A B Definição: O argumento P 1, P 2,, P N --A B (1) É válido somente quando o argumento P 1, P 2,, P N, A B (1) É válido 33

34 Obs: Para mostrar a validade de um argumento, cuja conclusão tem forma condicional A B, basta introduzir A como uma premissa adicional e, com esse novo argumento deduzir B. Exemplo: Demonstre a validade do seguinte argumento p v (q r), ~r -- q p De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento cuja conclusão tem forma condicional, cumpre deduzir p a partir das premissas p v (q r), ~r e q, isto é, demonstrar a validade do argumento: p v (q r), ~r, q -- p 34

35 (1) p v (q r) (2) ~ r (3) q p v (q r), ~r, q -- p (4) p v (~q v r) 1-COND (5) (p v ~ q) v r 4-ASSOC (6) p v ~ q 2,5 SD (7) ~ ~q 3 DN (8) p 6,7 SD 35

36 Exemplo: Demonstre a validade do seguinte argumento (y = 4 x > y) x > z x > y v z > y y < 4 y 3 y = 2 z > y y = 2 v y = 4 y < 4 v y > 3 De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento (y = 4 x > y) x > z x > y v z > y y < 4 y 3 y = 2 z > y y = 2 v y = 4 y < 4 v y > 3 36

37 De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento (1) (y = 4 x > y) x > z (2) x > y v z > y y < 4 y 3 (3) y = 2 z > y (4) y = 2 v y = 4 (5) y = 4 x > y 1 - SIMP (6) x > y v z > y 3,4,5 - DC (7) y < 4 y 3 2,6 - MP (8) y < SIMP (9) y < 4 v y > AD 37