Sistema dedutivo. Sistema dedutivo

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1 Sistema dedutivo Estudaremos um sistema dedutivo axiomático axiomas lógicos e axiomas não lógicos (ou esquemas de axiomas) e regras de inferência (ou esquemas de regra) do tipo de Hilbert para a lógica de predicados.

2 Esquemas Esquemas de axiomas e de teoremas No que segue, chamaremos de axioma, por exemplo α (β α) e x (α β) (α x β) o que, propriamente, não são. São esquemas de axiomas e de teoremas, pois usam variáveis da metalinguagem. Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do alfabeto.

3 Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert I Os axiomas lógicos são (A1) α (β α) (A2) (α (β ξ)) ((α β) (α ξ)) (A3) (α β) ((α β) α) (A4) α (β (α β)) (A5) α β α (A6) α β β (A7) α α β (A8) β α β (A9) (α γ) ((β γ) (α β γ)) (A10) α α

4 Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert II (A11) ( x (α β)) ( x α x β). (A12) ( x α) [α] t x sempre que t é admissível para x em α. (A13) α x α sempre que x VL(α).

5 Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert III (A14) t. = t (A15) t 1. = t2 t 2. = t1 (A16) (t 1. = t2 t 2. = t3 ) t 1. = t3 (A17) (t 1. = t 1 t n. = t n ) ( R(t 1,..., t n ) R(t 1,..., t n) ) (A18) (t 1. = t 1 t n. = t n ) ( F (t 1,..., t n ). = F (t 1,..., t n) )

6 Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert IV (A19) as generalizações dos esquemas de fórmulas acima.

7 Exemplos de axiomas y P(y) ( P(x) y P(y) ) é instância do esquema (A1), portanto é axioma. (R(x, y) ( y (y. = 0) R(x, y)) é instância de β (α β), portanto é axioma do esquema (A8). x ( y (x. = y) ) ( y (z. = y) ) x ( A(x) y A(y) ) ( A(y) y A(y) ) são axiomas do esquema (A12).

8 Exemplos de axiomas x ( y B(x, y) ) y B(y, y) não é axioma do esquema (A12); viola a condição de admissibilidade.

9 Exemplos de axiomas vimos que y P(y) (P(x) y P(y)) é uma instância de (A1). Também é um axioma a generalização x ( y P(y) (P(x) y P(y)) )

10 Exemplos de axiomas Na linguagem aritmética, temos o axioma lógico (x < y) ( y (y = 0) (x < y)) assim como as generalizações x ( (x < y) ( y (y = 0) (x < y)) ) y x ( (x < y) ( y (y = 0) (x < y)) )

11 Exemplos de axiomas (x = y) ((x + x = 0) (x + y = 0)) é um axioma do esquema (A18). (x = y) ( x (x + x = 0) x (x + y = 0)) (x = y) ( y (x + x = 0) y (x + y = 0)) não são axiomas do esquema (A18).

12 Regras de inferência Regras de inferência primitivas Modus Ponens α, α β β

13 Sequente e Prova Prova Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de fórmulas ϕ 1 ϕ 2. ϕ n tal que ϕ n = α e, para i < n, e em cada linha ϕ i é 1 ou um axioma 2 ou uma fórmula de Γ 3 ou uma fórmula obtida de ϕ j, ϕ k, para j, k < i, por Modus Ponens.

14 Sequente e Prova Prova Notação: Γ α e lê-se α é deduzível de Γ Notação: α e lê-se α é teorema lógico (corresponde a α.)

15 Propriedades de Propriedades de As seguintes propriedades valem exatamente como no cálculo de proposições: 1 Autodedução: Γ α para todo α Γ. 2 Monotonicidade: Se Γ α e Σ Γ então Σ α. 3 Regra do corte: Se Γ α 1, Γ α 2,..., Γ α k e {α 1,..., α k } β então Γ β. 4 Regra do destacamento: Se Γ α e Γ α β então Γ β. 5 Teorema da Dedução: Γ, α β sse Γ α β.

16 Exemplos de dedução I Teorema (Lei do terceiro excluído) α α Demonstração. Deduz-se como no cálculo proposicional. Teorema (Redução ao absurdo (RA)) α β, α β α Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A3).

17 Exemplos de dedução II Teorema (Introdução da conjunção (IC)) α, β α β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A4). Teorema (Eliminação da conjunção (EC1)) α β α Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A5).

18 Exemplos de dedução III Teorema (Eliminação da conjunção (EC2)) α β β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A6). Teorema (Introdução da disjunção (ID1)) α α β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A7).

19 Exemplos de dedução IV Teorema (Introdução da disjunção (ID2)) β α β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A8). Teorema (Duns Scotus (DS)) α, α β Demonstração. Deduz-se como no cálculo proposicional.

20 Exemplos de dedução V Teorema (Modus Tollens (MT)) α β, β α Prova. 1. α β (hip.) 2. β (hip.) 3. (α β) ((α β) α) (A3) 4. β (α β) (A1) 5. α β (MP 2,4) 6. (α β) α (MP 1,3) 7. α (MP 5,6)

21 Exemplos de dedução VI Teorema (Contra-positiva (CP1)) α β β α Demonstração. Segue de Modus Tollens por aplicação do Teorema da Dedução.

22 Exemplos de dedução VII Teorema (Silogismo hipotético (SH)) α β, β γ α γ Prova. Deduz-se como no cálculo proposicional.

23 Exemplos de dedução VIII Teorema (Silogismo disjuntivo (SD)) α β, α β Prova. 1. α β (hip.) 2. α β (reescrita de 1) 3. α (hip.) 4. β (por MP 2,3)

24 Exemplos de dedução IX Teorema (Troca condicional (TC)) θ (φ ξ) φ (θ ξ) Prova. Deduz-se como no cálculo proposicional. Teorema (Dupla negação (DN1)) α α. Prova. Segue de (A10) e o teorema da Dedução.

25 Exemplos de dedução X Teorema (Dupla negação (DN2)) α α Prova. Deduz-se como no cálculo proposicional.

26 Exemplos de dedução XI Teorema (Contra-positiva (CP2)) β α α β Prova. 1. β α (hip.) 2. ( β α) ( α β) (CP1) 3. α β (MP 1,2) 4. α α (DN2) 5. β β (DN1) 6. α β (SH 4,3) 7. α β (SH 6,5)

27 Exemplos de dedução XII Teorema (Instanciação universal (IU)) x α [α] t x, para todo termo t admissível para x. Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A12). Teorema (Generalização universal (GU)) α x α, se x VL(α). Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A13).

28 Exemplos de dedução XIII Teorema (Generalização existencial (GE)) [α] t x x α, se t é admissível para x. Prova. Provaremos [α] t x x α, se t é admissível para x. 1. x α [α] t x (A12) 2. ( x α [α] t x) ( [α] t x x α) (CP1) 3. [α] t x x α (MP 1,2) 4. [α] t x [α] t x (DN2) 5. [α] t x x α (SH 3,4) 6. [α] t x x α (def. de )

29 Exemplos de dedução XIV Teorema x α x α Prova. Fixado t admissível para x em α 1. x α [α] t x (A12) 2. [α] t x x α (GE) 3. x α x α (SH 1,2)

30 Regras de inferência derivadas I Uma regra de inferência derivada é uma regra de inferência que não é dada como parte do sistema dedutivo, mas que constitui uma abreviatura de um teorema previamente provado.

31 Regras de inferência derivadas II Se Γ α com Γ = {γ 1,..., γ k } finito então acrescentamos a regra γ 1,..., γ k α à nossa lista de regras de inferência. O teoremas acima nos dão várias regras derivadas, todas já conhecidas do cálculo porposicional e que agora valem para fórmulas da lógica de predicados.

32 Regras de inferência derivadas III (RA) α β, α β α (ID2) β α β (IC) α, β α β (DS) α, α β (EC1) α β α (MT) α β, β α (EC2) α β β (SH) α β, β γ α γ (ID1) α α β (TC) θ (φ ξ) φ (θ ξ)

33 Regras de inferência derivadas IV (CP1) (CP2) α β β α β α α β (DN1) α α (DN2) α α

34 Regras de inferência derivadas V (GU) α x α, se x VL(α). (IU) x α [α] t, se t x admissível para x. (GE) [α]t x x α, se t admissível para x. ( / ) x α x α Exercício: x α [α] t x?

35 Teorema da Generalização Teorema da Generalização (TG). Seja Γ um subconjunto de fórmulas de uma linguagem de primeira ordem tal que a variável x não ocorre livre em nenhuma fórmula de Γ. Se Γ α, então Γ x α.

36 Exemplo de dedução Teorema S Se α então [α] t x, se t é admissível para x em α. Prova 1. α (teorema) 2. x α (TG em 1) 3. x α [α] t x t admissível para x em α (A12) 4. [α] t x (MP 2,3)

37 Exemplo de dedução Teorema Se α β e x α então x β. Prova 1. α β (teorema) 2. x α (teorema) 3. x (α β) (TG 1) 4. x (α β) ( x α x β) (A11) 5. x α x β (MP 3,4) 6. x β (MP 2,5)