Lógica para computação

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1 Lógica para computação PROPRIEDADES SEMÂNTICAS DA LÓGICA PROPOSICIONAL Professor Marlon Marcon Introdução Esta seção considera a análise de algumas propriedades semânticas da LP que relacionam os resultados das interpretações das fórmulas. Estão são obtidas no mundo semântico, mas a partir de fórmulas que pertencem ao mundo sintático. Tautologia Chama-se tautologia toda proposição composta, cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente com o simbolo T Definição (tautologia): H é uma tautologia, se, e somente se, para toda interpretação I, I[H] = T O estudo desta relação entre propriedades semânticas e sintáticas é um dos enfoques centrais da Lógica. 1

2 Exemplo 1: Tautologia Exemplo 2: Tautologia (P Λ P) P P P Λ P (P Λ P) T F F T F T F T P V P P P P V P T F T F T T Dizer que uma proposição não pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro (Princípio da não-contradição) Dizer que uma proposição é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro (Princípio do terceiro excluído) Exemplo 3: P V (Q Λ Q) P Tautologia P Q Q Q Λ Q P V (Q Λ Q) P V (Q Λ Q) P T T F F T T T F T F T T F T F F F T F F T F F T Contingência Chama-se contingência toda proposição composta em cuja última coluna de sua tabelaverdade figuram os simbolos T e F cada um pelo menos uma vez. Definição (contingência): H é uma contingência, se, e somente se, existem duas interpretações I 1 e I 2, tais que I 1 [H] = T e I 2 [H] = F 2

3 Exemplo 1: P P Contingência P P P P T F F F T T Exemplo 3: P Λ Q P Contingência P Q P V Q P V Q P T T T T T F T T F T T F F F F T Contradição Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabelaverdade encerra somente com o simbolo F Definição (contradição): H é contraditória, se, e somente se, para toda interpretação I, I[H] = F Exemplo 1: P Λ P Contradição P P P Λ P T F F F T F Dizer que uma proposição pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é sempre falso 3

4 Exemplo 2: Contradição Exemplo 3: Contradição P P P P P P T F F F T F (P Λ Q) Λ (P V Q) P Q P Λ Q P V Q (P V Q) (P Λ Q) Λ (P V Q) T T T T F F T F F T F F F T F T F F F F F F T F Exercícios Mostrar se as seguintes fórmulas são tautológicas, contingentes ou contraditórias: P V (P Λ Q) ((P Q) Q) P P Λ (P Λ Q) (P Λ Q) (P Q) P Λ R Q V R Implicação Semântica Definição (): H implica semanticamente G, ou G é uma consequência lógica semântica de H, se, e somente se, para toda interpretação I, se I[H]=T, então I[G]=T 4

5 Implicação Semântica Diz-se que uma fórmula H implica logicamente em outra fórmula G, se G é verdadeira todas as vezes que H é verdadeira. Em outros termos, uma fórmula H implica logicamente G, todas as vezes que nas respectivas tabelas-verdade dessas duas fórmulas não aparece T na última coluna de H e F na última coluna de G. Implicação Semântica Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição. Uma fórmula H implica semanticamente outra G, se e somente se a condicional é tautológica Nota!!! Os simbolos e são diferentes, o primeiro é de operação lógica e o segundo de relação lógica Reflexiva Transitiva Se e, então Dadas as tabelas-verdade das fórmulas,, P Q P Λ Q P V Q P Q T T T T T T F F T F F T F T F F F F F T Temos que: As tabelas-verdade também demonstram as regras de inferência: (Adição) (Simplificação) 5

6 Dadas as tabelas-verdade das fórmulas,, Temos que: P Q P Q P Q Q P T T T T T T F F F T F T F T F F F T T T Dadas as tabelas-verdade das fórmulas ( ) P Q ( ) T T T F F T F T F F F T T T T F F F T F Temos que: ( ) Analogamente temos: ( ) Outras regras ( ) (Regra Modus ponens) ( ) (Regra Modus tollens) Prove se as regras são verdadeiras A fórmula ( ) ( ) ( ) é tautológica, logo, subsiste a implicação lógica: ( ) ( ) ( ) Da mesma forma: A fórmula é tautológica, logo: A fórmula ( ) ( ) ( ) é tautológica, logo: ( ) ( ) ( ) 6

7 Definição (equivalência semântica): H implica semanticamente G, se, e somente se, para toda interpretação I, se I[H] = I[G] Diz-se que uma fórmula H é semanticamente equivalente à outra G, se as tabelas-verdade destas são idênticas. Em particular, se H e G são ambas tautologias ou ambas contradições, então são equivalentes. Reflexiva Transitiva Se e, então Simétrica Se então As fórmulas são equivalentes. As fórmulas são equivalentes. P P P T F T F T F P P P P T F T F T F É chamada regra da dupla negação Portanto, a dupla negação equivale à afirmação É chamada regra de CLAVIUS 7

8 As fórmulas são equivalentes. As fórmulas são equivalentes. P Q P Λ Q P P Λ Q P Q T T T T T T F F F F F T F T T F F F T T P Q P Q P P v Q T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T É chamada regra da absorção É chamada regra da absorção Outros exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prove se os exemplos estão corretos. Uma fórmula H é equivalente semanticamente à outra G ( ), se e somente se a bicondicional é tautológica. Nota!!! Os simbolos e são diferentes, o primeiro é de operação lógica e o segundo de relação lógica 8

9 A fórmula ( ) é tautológica, logo, são equivalentes: ( ) Dada a condicional, chamam-se proposições associadas a as seguintes proposições que contém e. o Proposição recíproca de : o Proposição contrária de : o Proposição contrapositiva de : P Q P Q Q P P Q Q P T T T T T T T F F T T F F T T F F T F F T T T T 9

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