LÓGICA EM COMPUTAÇÃO
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- Fernanda Garrau
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1 CEC CENTRO DE ENGENHARIA E COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS LÓGICA EM COMPUTAÇÃO TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIA VERSÃO: 4 - ABRIL DE 2018 Professor: Luís Rodrigo luis.goncalves@ucp.br Site:
2 Administração de Sistemas de Informação 3 Lógica Computacional Parte II Tautologia Equivalência e Inferência
3 Parte II - Tautologia e Contradição 3 Uma Tautologia é intrinsecamente verdadeira. Independentemente do valor lógico atribuído às letras das proposições, a formula sempre é Verdade. Já uma Contradição é uma formula, ou proposição, que sempre assume o valor Falso; independentemente dos valores das letras proposicionais.
4 Administração de Sistemas de Informação Lógica Computacional Parte II (1) Equivalências Tautológicas
5 1.1) Relação de Implicação 5 Sendo duas proposições p e q Quando a sentença p q é uma tautologia Podemos dizer que há uma relação de implicação entre p e q, ou seja: p q
6 1.1) Relação de Implicação 6 O símbolo indica uma operação ao passo que O símbolo indica uma relação Uma relação não cria uma nova proposição, mas uma operação sim.
7 1.1) Relação de Implicação 7 Todo Teorema é uma implicação na forma: Hipótese Tese Desta forma, ao demonstrarmos a Hipótese, significa dizer que: não há um caso onde a Hipótese seja verdadeira e a Tese não Neste caso, a Verdade da Hipótese é suficiente para garantir a Verdade da Tese.
8 1.2) Relação de Equivalência 8 A proposição p é equivalente à q, quando: elas implicam uma na outra: P Q Ou seja, a bicondicional é uma tautologia. Neste caso, podemos usar a representação abaixo para denotas que ambas são equivalentes P Q
9 1.2) Relação de Equivalência 9 Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela verdade Duas proposições são equivalentes quando expressam a mesma ideia, diferenciando-se apenas o formato
10 Administração de Sistemas de Informação Lógica Computacional Parte II Exercícios
11 1.3) Exercícios 11 Verifique se as proposições abaixo possuem relação de Equivalência, de Implicação ou não possuem relação entre elas: a) p ^ q p v q b) (p q) ( ( p q ) ^ ( q p )) c) ~(p q) p ^ ~q d) (p q) (~q ~p)
12 1.3) Exercícios 12 Sendo f uma contradição, determine: a) (p ^ ~q f) ( p q)
13 Administração de Sistemas de Informação Lógica Computacional Parte II (2) Propriedades de Equivalência
14 2) Principais propriedades de Equivalência 14 1) Simetria [SIM] Se p q
15 2) Principais propriedades de Equivalência 15 1) Simetria [SIM] Se p q Então q p
16 2) Principais propriedades de Equivalência 16 2) Transitiva [TRANS] Se p q e q r
17 2) Principais propriedades de Equivalência 17 2) Transitiva [TRANS] Se p q e q r Então p r
18 2) Principais propriedades de Equivalência 18 3) Comutatividade [COM] n p ^ q??? n p v q???
19 2) Principais propriedades de Equivalência 19 3) Comutatividade [COM] n p ^ q q ^ p n p v q q v p
20 2) Principais propriedades de Equivalência 20 4) Associatividade [ASSOC] n (p ^ q) ^ r??? n (p v q) v r???
21 2) Principais propriedades de Equivalência 21 4) Associatividade [ASSOC] n (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) n (p v q) v r p v (q v r)
22 2) Principais propriedades de Equivalência 22 5) Distributividade [DIST] n p (q r)??? n p (q r)???
23 2) Principais propriedades de Equivalência 23 5) Distributividade [DIST] n n p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
24 2) Principais propriedades de Equivalência 24 6) Elemento Neutro [EN] n n p? p p? p
25 2) Principais propriedades de Equivalência 25 6) Elemento Neutro [EN] n n p F p p V p
26 2) Principais propriedades de Equivalência 26 7) Complemento [COMP] n p ~p??? n p ~p???
27 2) Principais propriedades de Equivalência 27 7) Complemento [COMP] n n p ~p F p ~p V
28 2) Principais propriedades de Equivalência 28 8) Idempotência [ID] n p p??? n p p??? Em matemática e ciência da computação, a idempotência é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser aplicadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação inicial. - Idempotência Wikipédia, a enciclopédia livre
29 2) Principais propriedades de Equivalência 29 8) Idempotência [ID] n p p p n p p p Logo:
30 2) Principais propriedades de Equivalência 30 8) Idempotência [ID] n p p p n p p p Logo: n p p p p
31 2) Principais propriedades de Equivalência 31 9) Dupla negação [DN] ~(~p)???
32 2) Principais propriedades de Equivalência 32 9) Dupla negação [DN] ~(~p) p
33 2) Principais propriedades de Equivalência 33 10) Condicional [COND] (p q)???
34 2) Principais propriedades de Equivalência 34 10) Condicional [COND] (p q) (~p q) 1. Nega-se a primeira parcela 2. Substitui-se a implicação pelo ou 3. Mantem a segunda parcela >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
35 2) Principais propriedades de Equivalência 35 10) Condicional [COND] (p q) (~p q) >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
36 2) Principais propriedades de Equivalência 36 10) Condicional [COND] (p q) (~p q) Se continuar chovendo, o rio vai transbordar equivale à ou para de chover ou o rio vai transbordar
37 2) Principais propriedades de Equivalência 37 11) Contraposição [CP] (p r) (~r ~p) >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
38 2) Principais propriedades de Equivalência 38 12a) Lei da Bicondicional [BICOND] (p q) (p q) (p q)
39 2) Principais propriedades de Equivalência 39 12a) Lei da Bicondicional [BICOND] (p q) (p q) (p q) >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
40 2) Principais propriedades de Equivalência 40 12a) Lei da Bicondicional [BICOND] (p q) (p q) (p q) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero
41 2) Principais propriedades de Equivalência 41 12a) Lei da Bicondicional (p q) (p q) (p q) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero Equivale á: (p q) (q p) Se um número terminar por zero, então é múltiplo de 10, e se for múltiplo de 10, então ele termina por zero
42 2) Principais propriedades de Equivalência 42 12b) Lei da Bicondicional [BICOND] (p q) (p q) (~q ~p) >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
43 2) Principais propriedades de Equivalência 43 12b) Lei da Bicondicional [BICOND] (p q) (p q) (~q ~p) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero
44 2) Principais propriedades de Equivalência 44 12b) Lei da Bicondicional [BICOND] (p q) (p q) (~q ~p) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero Equivale á: Ou o número é múltiplo de 10 e terminado em zero, ou, não é múltiplo de 10 e não termina em zero
45 2) Principais propriedades de Equivalência 45 13) Prova Condicional [PC] p (q r) (p q) r >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
46 2) Principais propriedades de Equivalência 46 14) Lei de De Morgan 1 [DM] ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<< 1 Augustus De Morgam, matemático Inglês do séc XIX; foi o primeiro à enunciar estas leis
47 2) Principais propriedades de Equivalência 47 14) Lei de De Morgan 1 [DM] ~(p q) ~p ~q* ~(p q) ~p ~q é falso que João foi ao cinema e ao teatro equivale à ou João não foi ao cinema ou João não foi ao teatro 1 Augustus De Morgam, matemático Inglês do séc XIX; foi o primeiro à enunciar estas leis
48 2) Principais propriedades de Equivalência 48 15) Lei da Absorção [ABS] p p q p q >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
49 2) Principais propriedades de Equivalência 49 16) Lei de Clavius [CLV] ~p p p >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
50 2) Principais propriedades de Equivalência 50 17) Lei do Dilema [DIL] (p q) (~p q) q >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
51 2) Principais propriedades de Equivalência 51 17) Lei do Dilema [DIL] (p q) (~p q) q Se eu for aprovado então vou viajar, e, senão for aprovado também vou viajar equivale à vou viajar
52 2) Principais propriedades de Equivalência 52 18) Lei da Refutação por absurdo [REF] (p q) (p ~q) ~p >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
53 2) Principais propriedades de Equivalência 53 19) Lei da Demonstração por absurdo [DEN] (onde F é uma contradição) (p ~q) F p q >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
54 2) Principais propriedades de Equivalência 54 20) Negação da Condicional [NCON] ~(p q) p ~q >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
55 2) Principais propriedades de Equivalência 55 21) Negação da Bicondicional [NBCOND] ~(p q) (p ~q) (~p q) >>> Prove construindo a <<< >>> Tabela Verdade <<<
56 2) Principais propriedades de Equivalência 56 22) Equivalências com Tautologia [ET] n p T p n p T T n p (~p) T
57 2) Principais propriedades de Equivalência 57 23) Equivalências com Contradição [EC] n p (~p) F n p F F n p F p
58 2) Principais propriedades de Equivalência 58 24) Conjunção [CONJ] n p, q p ^ q
59 2) Principais propriedades de Equivalência 59 25) Auto-Referência [AUTO] n p p p n p p p
60 Administração de Sistemas de Informação (2.1) Lógica Computacional Parte II Reescrevendo as proposições
61 2.1) Reescrevendo as proposições 61 Com o conceito de equivalência torna-se possível a construção de qualquer expressão condicional com apenas o uso da negação (~), da disjunção ( ) e/ou da conjunção ( ).
62 2.1) Reescrevendo as proposições 62 a) Eliminando a Bicondicional n(p q) b) Eliminando a Condicional n(p q)
63 2.1) Reescrevendo as proposições 63 a) Eliminando a Bicondicional n(p q) (p q) (~p ~q) *15 b) Eliminando a Condicional n(p q)
64 2.1) Reescrevendo as proposições 64 a) Eliminando a Bicondicional n(p q) (p q) (~p ~q) *15 b) Eliminando a Condicional n(p q) ~p q *10
65 2.1) Reescrevendo as proposições 65 c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunção n(p q) d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunção n(p q)
66 2.1) Reescrevendo as proposições 66 c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunção n(p q) ~(~p ~q) *13b d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunção n(p q)
67 2.1) Reescrevendo as proposições 67 c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunção n(p q) ~(~p ~q) *13b d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunção n(p q) ~(~p ~q) *13a
68 Administração de Sistemas de Informação (2.2) Lógica Computacional Parte II Exercícios
69 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 69 Escreva a proposição abaixo em termos da negação e disjunção (p q) ~p
70 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 70 a) Removendo a condicional ( ) (p q) ~p Original
71 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 71 a) Removendo a condicional ( ) (p q) ~p Original ~ (p q) ~p (1)
72 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 72 b) Removendo a Bicondicional ( ) ~ (p q) ~p (1) ~[(p q) (~p ~q)] ~p (2)
73 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 73 c) Removendo a Conjunçao ( ) ~[(p q) (~p ~q)] ~p (2) ~[~(~p ~q) ~(p q)] ~p (3)
74 Administração de Sistemas de Informação (3) Lógica Computacional Parte II Inferência Lógica
75 3) Inferência Lógica 75 É uma tautologia com a seguinte forma: p q Onde: p é chamado de antecedente e q de consequente. Sendo representada na seguinte forma: p q
76 3) Inferência Lógica 76 As regras de inferência são formas válidas de raciocínio que nos permitem concluir o consequente baseado na verdade do antecedente.
77 3) Inferência Lógica 77 As regras de inferência são formas válidas de raciocínio que nos permitem concluir o consequente baseado na verdade do antecedente. Elas podem ser caracterizadas pelo uso dos termos: n logo n portanto n em consequência n E sinónimos destes
78 3) Inferência Lógica 78 As regras de inferência podem ser provadas construindo-se suas tabelas verdade; Se o resultado da coluna da condicional for uma Tautologia, logo, teremos uma inferência.
79 3.1) Regra se Inferência 79 1) Transitiva [TRANS] Se: (p q) e (q r) Então:???
80 3.1) Regra se Inferência 80 1) Transitiva [TRANS] Se: (p q) e (q r) Então: p r
81 3.1) Regra se Inferência 81 2) Modus Ponens [MP]* (p q) p q * A maneira que afirma o afirmativo - Latin
82 3.1) Regra se Inferência 82 2) Modus Ponens [MP]* (p q) p q Se ganhar na loteria, fico rico; ganhei na loteria; logo fiquei rico
83 3.1) Regra se Inferência 83 3) Regra da Adição [AD] p p q vou ao cinema, logo, vou ao cinema ou ao teatro
84 3.1) Regra se Inferência 84 4) Regras da Simplificação [SIMP] p q p fui ao cinema e ao teatro, logo fui ao cinema
85 3.1) Regra se Inferência 85 5) Regra da Simplificação Disjunta [SIMPD] (p q) (p ~q) p Ou estudo ou trabalho; ou estudo ou não trabalho; logo, estudo
86 3.1) Regra se Inferência 86 6) Regra da Absorção [ABS] (p q) p (p q) Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro
87 3.1) Regra se Inferência 87 7) Regra do *Silogismo Hipotético [SH] (ou condicional) (p q) (q r) p r Se trabalho, ganho direito, e se ganho dinheiro, vou viajar; logo se trabalho vou viajar * É o raciocínio lógico estruturado, formalmente, a partir de duas proposições/premissas, das quais se obtém por inferência uma terceira (conclusão)
88 3.1) Regra se Inferência 88 8) Regra do Silogismo Disjuntivo [SD] (ou Alternativo): (p q) ~p q Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo estudo
89 3.1) Regra se Inferência 89 9) Regra do Silogismo Conjuntivo [SC] (ou Incompatibilidade): ~(p q) q ~p É falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho; logo não estudo
90 3.1) Regra se Inferência 90 10a) Dilema Construtivo [DC] (p q) (r s) (p r) q s Se eu vou a festa, fico cansado; se eu vejo televisão, durmo; ou vou a festa ou fico vendo televisão; logo ou fico cansado ou durmo
91 3.1) Regra se Inferência 91 10b) Dilema Construtivo [DC] (p q) (r s) (p r) (q s) (p q) (r s) (p r) (q s)
92 3.1) Regra se Inferência 92 11a) Dilema Destrutivo [DD] (p q) (r s) (~q ~s) ~p ~r Se vou a festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou não fico cansado ou não vou dormir; logo, ou não vou à festa ou não vejo televisão
93 3.1) Regra se Inferência 93 11b) Dilema Destrutivo [DD] (p q) (r s) (~q ~s) (~p ~r) (p q) (r s) (~q ~s) (~p ~r)
94 3.1) Regra se Inferência 94 12) Regra da Inconsistência *1 [INC] (p ~p) q O avião está voando; o avião não está voando; logo, eu sou o Rei da Inglaterra *1- De uma contradição se conclui qualquer proposição
95 3.1) Regra se Inferência 95 13) Modus Tollens [MT] (p q) ~q ~p Se ganhar na loteria, fico rico; não fiquei rico; logo, não ganhei na loteria
96 3.1) Regra se Inferência 96 14) Regra da Atenuação [AT] p q p q r Se eu ganhar na loteria fico rico; logo se eu ganhar na loteria fico rico ou vou viajar
97 3.1) Regra se Inferência 97 15) Regra de Retorsão [RET] ~p p p Se eu não trabalhar, trabalho; logo trabalho
98 3.1) Regra se Inferência 98 16) Regra da Conjunção [CONJ] p, q p ^ q 17) Regra da Exportação [EXP] (p ^ q) r p (q r)
99 3.1) Regra se Inferência 99 18) Regra da Contradição [CONTR] F p 19) Regra da Tautologia [TAU] p T
100 CEC CENTRO DE ENGENHARIA E COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS LÓGICA EM COMPUTAÇÃO TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIA VERSÃO: 4 - ABRIL DE 2018 Professor: Luís Rodrigo luis.goncalves@ucp.br Site:
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