CONTEÚDO LÓGICA FUZZY LÓGICA FUZZY. Proposições Fuzzy. Regras são implicações lógicas. Introdução Introdução, Objetivo e Histórico

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1 CONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico Conceitos ásicos Definição, Características e Formas de Imprecisão Conjuntos Fuzz Propriedades, Formas de Representação e Operações Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado plicações Regras são implicações lógicas se x é então é a função de pertinência desta relação é definida por meio do operador de implicação relacionado à Proposições Fuzz Frases da forma Π é, onde é um conjunto fuzz definido no universo X de Π Podem ser combinadas por meio de diferentes operadores: conectivos lógicos e e ou negação: não operador de implicação: se... então Podem ser descritas em termos de relações fuzz

2 Regras são formas de proposição declaração envolvendo termos já definidos Ex: a temperatura é alta se temperatura é alta então diminui a vazão Proposições podem ser verdadeiras ou falsas Proposições p e q podem ser combinadas a partir de três operações básicas: conjunção disjunção implicação Conjunção p q: Disjunção p q: Estabelece a verdade simultânea de duas proposições p e q Estabelece a verdade de uma ou de ambas as proposições p e q 2

3 Implicação p q: verifica se a regra abaixo é verdadeira (V) antecedente SE p ENTÃO q consequente Outras operações: Equivalência: p q verifica se as duas proposições são simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas Negação: ~ p para se dizer é falso que... Implicação é verdadeira quando: ntecedente é V, Consequente é V ntecedente é F, Consequente é F ntecedente é F, Consequente é V Implicação é falsa quando: ntecedente é V, Consequente é F TEL VERDDE: p q p q p q p q p q ~ p V V V V V V F V F F V F F F F V F V F V V F F F F V V V 3

4 xiomas Fundamentais: Cada proposição é V ou F, mas nunca ambos; Tabela Verdade para: Conjunção Disjunção Equivalência Implicação Negação Exemplo: Considere-se a declaração condicional se eu estiver bem de saúde (p) então irei à escola (q) Situações possíveis: p = V (estou bem de saúde) q = V (fui à escola) Situações possíveis: p = V (estou bem de saúde) q = F (não fui à escola) promessa cumprida declaração verdadeira promessa violada declaração falsa 4

5 Situações possíveis: p = F (não estou bem de saúde) q = V (fui à escola) Situações possíveis: p = F (não estou bem de saúde) q = F (não fui à escola) promessa (de ir à escola) cumprida declaração verdadeira promessa não violada declaração verdadeira TUTOLOGI: É uma proposição formada pela combinação de outras proposições (p, q, r,...) que é sempre verdadeira, qualquer que seja a veracidade ou falsidade de p, q, r,... Tautologias importante: (p q) ~[ p (~q)] (p q) [(~p) q] Permite expressar a função de pertinência de p q em termos de p e ~q ou ~p e q 5

6 Comprovação: (p q) ~[ p (~q)] p q p q ~q p (~q) ~[p (~q)] V V V F F V V F F V V F F V V F F V F F V V F V Comprovação: (p q) [(~p) q] p q p q ~p (~p) q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Comprovação das tautologias: Isomorfismos: (p q) ~[ p (~q)] (p q) [(~p) q] O isomorfismo entre a álgebra booleana, a teoria dos p q p q ~ q p (~ q) ~ [p (~ q)] ~ p (~ p) q V V V F F V F V V F F V V F F F F V V F F V V V F F V V F V V V conjuntos e a lógica proposicional garante que cada teorema em qualquer uma dessas teorias tem um teorema equivalente em cada uma das outras duas teorias 6

7 Equivalências importantes: LÓGIC TEORI DOS CONJUNTOS ÁLGER OOLEN + ~ V F 0 = Considerando as tautologias anteriores as equivalências entre lógica, teoria de conjuntos e álgebra booleana que, em conjuntos crisp, a função característica pode assumir apenas os valores 0 e obtêm-se funções características para a implicação Tautologia : (p q) ~[ p (~q)] Tradicional Tautologia : (p q) ~[ p (~q)] p q (x, = - p q (x, = - mín n [[ p (x), - q (] f p q ( x, = min[ f ( x), f ( ] p q = - p (x). [ - q (] 7

8 Tautologia 2: (p q) [(~p) q] Tautologia 2: (p q) [(~p) q ] p q (x, = p q (x, = máx x [ - p (x), q (] = mín n [, - p (x) + q (] f p q ( x, = max [ f ( x), f ( ] p q Demonstração: I II f f p q p q ( x, = max [ f ( x), f ( ] ( x, = min[ f ( x), f ( ] f p (x) f q ( - f p (x) - f q ( I II p p q q Observação: existem inúmeras outras funções características para a implicação, não necessariamente fazendo uso dos operadores max e min 8

9 Regras de Inferência Clássicas: MODUS PONENS MODUS TOLLENS MODUS PONENS: Premissa : x é (p) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO é Implicação é verdadeira quando: ntecedente é V, Consequente é V ntecedente é F, Consequente é F ntecedente é F, Consequente é V Implicação é falsa quando: ntecedente é V, Consequente é F MODUS PONENS: Premissa : x é (p) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO é Conclusão: é (q) 9

10 MODUS PONENS: Premissa : x é (p) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO é Conclusão: é (q) MODUS TOLLENS: Premissa : é não- (~q) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO é [ p (p q) ] q Implicação é verdadeira quando: ntecedente é V, Consequente é V ntecedente é F, Consequente é F ntecedente é F, Consequente é V Implicação é falsa quando: ntecedente é V, Consequente é F MODUS TOLLENS: Premissa : é não- (~q) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO é Conclusão: x é não- [ ~q (p q) ] ~p (~p) 0

11 Os conceitos de nasceram inspirados na lógica proposicional (tradicional) extensão da lógica tradicional para a foi efetuada através da substituição das funções características (bivalentes) por funções de pertinência fuzz declaração condicional se x é então é tem uma função de pertinência ( x, mede o grau de verdade da relação de implicação entre x e Exemplos de funções de implicação, obtidas por simples extensão da lógica tradicional: ( x, = min[ ( x), ( ] ( x, = max[ ( x), ( ] MODUS PONENS GENERLIZDO: Premissa : x é * Premissa 2: SE x é ENTÃO é Conclusão: é * * e * não são necessariamente iguais a e,, respectivamente

12 Exemplo: Se Homem é aixo Então Homem não é bom jogador de basquete = IXO = não é bom jogador de basquete Premissa: Homem é abaixo de.60m Conclusão: * Homem é mau jogador de basquete * Conclusão: Lógica Tradicional (Crisp( Crisp) regra é disparada somente se a premissa for exatamente igual ao antecedente,, sendo que o resultado da regra é o próprio prio consequente. Conclusão: regra é disparada desde que exista um grau de similaridade diferente de zero entre a premissa e o antecedente da regra, sendo que o resultado é um consequente que tem um grau de similaridade diferente de zero com o consequente da regra. Interpretação do Modus Ponens Generalizado: O Modus Ponens Generalizado é uma composição fuzz, onde a primeira relação fuzz é apenas um conjunto fuzz e a segunda relação é a relação de implicação. 2

13 Interpretação do Modus Ponens Generalizado: Como P Q (z) = sup [ P (x) * Q (x,z)] x U * (x) (x, Exemplo: dada a relação de implicação: ( x, = max [ ( x), ( ] e dois conjuntos e, em universos discretos e finitos X e Y, com funções de pertinência: * ( = sup [ * ( x) ( x, ] x obtém-se: ( = 0,3 ( x, = 0,3 0,6 { 0; 0,2; 0,7;; 0,4; 0} { 0,3; ; ; 0,5; 0} ( x) = dado um conjunto * definido por: 0,5 0,5 0,6 0,3 0 0,6 ( x) = { 0; 0,3; ;; 0,7; 0,2} e utilizando o min para a norma-t em: * ( = max [ * ( x) ( x, ] x (universos discretos e finitos: sup max) 3

14 tem-se ( x) = { 0; 0,3; ;; 0,7; 0,2} max (0 ; 0,3 ; 0,3; 0,3; 0,7 0,6; 0,2 ); (0 ; 0,3 ; ; ; 0,7 ; 0,2 ); max ( = max (0 ; 0,3 ; ; ; 0,7 ; 0,2 ); max (0 ; 0,3 ; 0,5; 0,5; 0,7 0,6; 0,2 ); max (0 ; 0,3 ; 0,3; 0; 0,7 0,6; 0,2 ); = { 0,6; ; ; 0,6; 0,6} 0,3 ( x, = 0,3 0,6 0,5 0,5 0,6 0,3 0 0,6 Interpretação do Modus Ponens Generalizado: Supondo que a entrada ( * ) do sistema é precisa: * é um conjunto SINGLETON * ( x) = 0 para x = x' para todo outro x X Usando a fórmula do Modus Ponens Generalizado * ( = sup [ * ( x) ( x, ] x = [ ( x') * ( * = [ ( x', ] = ( x', Substituindo *(x)(x) =, x=x = 0, x x x ( x', ] Implicações Fuzz: Estendendo a Lógica Crisp: p q (x, = - mín n [[ p (x), - q (] = - p (x). [ - q (] = máx m x [ - p (x), q (] (ZDEH) = mín m n [, - p (x) + q (] não são adequadas para problemas onde se tem relação de causa e efeito 4

15 Exemplo: considere-se a implicação ( x, = min[ ( x), ( ] Para uma entrada singleton x, o consequente * será dado por: * ( = min[ ( x'), ( ] e conjuntos e representados por funções de pertinência triangulares, em universos contínuos Graficamente, o procedimento consiste em: Regra (implicação): se então * x' x (x) ( x 5

16 Comprovação: (x, = - mín n [[ (x ), - (] Comprovação: (x, = mín m n [, - (x ) ) + (] (Zadeh) ( (x ) - ( mín n [ ] - mín n [ ] ( - (x ) - (x ) ) + ( mín n [ ] Da mesma forma, dada uma certa entrada x=x, o resultado de uma regra específica, cujo consequente é associado com um conjunto fuzz com suporte finito, é um conjunto fuzz com suporte infinito NÃO FZ SENTIDO!!! Observa-se que o resultado de uma regra específica, cujo consequente é associado a um conjunto fuzz com suporte finito, é um conjunto fuzz com suporte infinito Este comportamento, que é observado também para outras implicações, viola o senso comum, de importância em aplicações em engenharia foram definidas implicações que não violassem o senso comum : min e produto [Mamdani e Larsen Controle], mesmo rompendo o vínculo com a lógica proposicional Implicações Fuzz: Implicação Mínimo Implicação Produto propostas por MNDNI. p q (x, = mín n [[ p (x), q (] p q (x, = p (x). q ( 6

17 Refazendo o exemplo com essas implicações: (x) grau de ativação da regra x' x min produto ( * ( ( * ( Com estas implicações, chamadas de implicações de engenharia [Mendel], observa-se que: o conjunto fuzz resultante está diretamente associado ao consequente da regra. não existe mais o patamar (suporte infinito) Outros operadores também são usados para implicação geralmente normas-t Quanto aos demais operadores, utilizam-se, geralmente: conectivo e ( f e ) normas-t Em resumo: : x é * (valor preciso) 2: SE x é ENTÃO é Conclusão: é * conectivo ou ( f ou ) co-normas normas-t norma-t no modus ponens generalizado min * ( = (x, regra de inferência max-min min (x, = mín m n [[ (x ), (] (x ) ). ( 7