INTRODUÇÃO LÓGICA FUZZY INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO. Evolução da área. Lógica Fuzzy. Ricardo Tanscheit

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1 LÓGI FUZZY Ricardo Tanscheit Departamento de Engenharia Elétrica PU-Rio INTRODUÇÃO Lógica Fuzz inspirada na lógica tradicional procura modelar os modos imprecisos do raciocínio que têm um papel fundamental na habilidade humana de tomar decisões INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Serve de base para o raciocínio aproimado approimate reasoning fornece o ferramental matemático para o tratamento de informações de caráter impreciso ou vago aplicações em diversas áreas do conhecimento: ontrole diretamente sobre o processo supervisão previsão de séries classificação INTRODUÇÃO principais vantagens: formulação através de regras linguísticas não necessita de modelo matemático formal regras linguísticas: obtidas através de especialistas geradas através de dados numéricos Evolução da área plicações omerciais e Industriais. NO # de PLIÇÕES Devido à resistência dos cientistas, a Lógica Fuzz cresceu no mercado comercial para depois se desenvolver nas universidades

2 plicações omerciais ontrole ontrole de eronave Rockwell orp. Operação do Metrô de Sendai Hitachi Transmissão utomática Nissan, Subaru Space Shuttle Docking NS Otimização e Planejamento Elevadores Hitachi, Fujitech, Mitsubishi nálise do Mercado de ções Yamaichi nálise de Sinais juste da Imagem de TV Son utofocus para âmera de Vídeo anon Estabilizador de Imagens de Vídeo Panasonic HISTÓRIO ivalência desde ristóteles, a Lógica lássica baseia-se em bivalência: V,F Lei da não-contradição ~ φ Multivalência desenvolvida por Lukasiewicz para lidar com o Princípio da Incerteza na Mecânica Quântica 9-3 valores: V, F, IN 93 - n valores Lógica Fuzz desenvolvida por L.. Zadeh 965: os elementos pertencem a um certo conjunto com diferentes graus de pertinência SISTEM FUZZY SISTEM FUZZY É um sistema não-linear de mapeamento de um vetor de entrada em uma saída escalar, capaz de incorporar tanto o conhecimento objetivo quanto o conhecimento subjetivo. onhecimento Objetivo Usado na formulação de problemas de engenharia modelos matemáticos onhecimento Subjetivo Representa a informação lingüística que é geralmente impossível de quantificar via matemática tradicional SISTEM FUZZY SISTEM FUZZY Princípio da Incompatibilidade Zadeh onforme a compleidade de um sistema aumenta, nossa habilidade de fazer declarações precisas e significativas sobre o seu comportamento diminui, até alcançar um limite além do qual precisão e relevância tornam-se características mutuamente eclusivas The closer one looks at a real world problem, the fuzzier becomes its solution Zadeh Lógica Fuzz fornece um método para reduzir e eplicar a compleidade do sistema.

3 X Entradas precisas Visão Geral: SISTEM FUZZY FUZZIFIDOR onjuntos fuzz de entrada Fornecidas por especialistas ou etraídas de dados numéricos Para ativar as regras REGRS INFERÊNI Para fornecer a saída precisa DEFUZZIFIDOR onjunto fuzz de saída Mapeia fuzz sets em fuzz sets Determina como as regras são ativadas e combinadas Saída precisa Eemplo: REGRS FUZZY antecedente SE u É muito quente E u É baio ENTÃO gire v um pouco para a direita onceitos Importantes: Variáveis Linguísticas Quantificadores muito, um pouco oneões Lógicas Implicação consequente aracterísticas de Sistemas Fuzz Modelagem de Problemas ompleos capazes de lidar com problemas compleos, com propriedades não-lineares, por eemplo. Modelagem ognitiva: têm a habilidade de codificar o conhecimento de forma similar ao modo como os especialistas epressam o processo de decisão. aracterísticas de Sistemas Fuzz Modelagem de sistemas envolvendo múltiplos especialistas: capazes de conciliar informações de especialistas consistentes colaboradores ou conflitantes contraditórios Eemplo: Preço deve ser baio - Marketing Preço deve ser alto - Financeira Preço deve ser o custo - Produção ompleidade Reduzida: possuem poucas regras, similares às epressas por especialistas aracterísticas de Sistemas Fuzz Manipulação de Incertezas: lidam de forma consistente e matemática com incertezas omparação com sistema especialista Formas de Imprecisão Ineatidão: orresponde à precisão da nossa habilidade de medir erros humanos. Fuzz: SE altura É alta ENTÃO peso É pesado S. Especialista: SE altura É >.78 E <.95 ENTÃO peso É 9kg F...85 Tenta-se corrigir o erro através de várias medidas. 3

4 Formas de Imprecisão Precisão e cuidade: grau de eatidão com o qual se pode medir uma grandeza É o grau com que uma certa medida corresponde ao valor padrão de uma grandeza erros devido a fatores do ambiente, falta de calibração. Incertezas podem afetar a acuidade, mas a precisão não é afetada, já que esta só depende da granularidade do dispositivo de medida Formas de Imprecisão Imprecisão Intrínseca associada à descrição das propriedades de um fenômeno e não com as medidas da propriedade. Lógica Fuzz trata de questões associadas à imprecisão intrínseca, ao invés das relacionadas com falhas na medição O tipo de imprecisão dos modelos fuzz é INDEPENDENTE dos sistemas de medição Formas de Imprecisão mbigüidade: várias interpretações plausíveis. Eemplo: The food is HOT ntes do estabelecimento do universo de discurso, a sentença é ambígua mas NÃO é fuzz pós o estabelecimento do universo de discurso, a sentença pode ser considerada fuzz Formas de Imprecisão Probabilidade X Lógica Fuzz: Tenta eplicar como certos eventos ocorrem em um certo espaço randômico eplica populações e não instâncias individuais ntes de selecionar um elemento de uma certa população, conhecem-se as chances do evento ocorrer Descreve propriedades que têm valores contínuos, associando as partições desses valores a um rótulo semântico Importante: as partições podem coincidir overlap mbigüidade pós selecionado o elemento, NÃO eiste mais a probabilidade Formas de Imprecisão Probabilidade X Lógica Fuzz: Grau de Pertinência nível de compatibilidade de um elemento do conjunto com o conceito do conjunto Eemplo: Pedro é LTO com.85 Indica que Pedro é bem compatível com o conceito LTO. Tem-se uma idéia da altura de Pedro. Pedro tem.85 de probabilidade de ser LTO Indica que Pedro tem grandes chances de ser LTO. NÃO se tem a menor idéia da altura de Pedro. ONJUNTOS FUZZY onjuntos Ordinários ou risp noção de pertinência é bem definida: elementos pertencem ou não pertencem a um dado conjunto em um universo X f se e somente se se e somente se f : função característica 4

5 ONJUNTOS FUZZY Eistem conjuntos cujo limite entre pertinência e não-pertinência é vago Eemplos conjunto de pessoas altas conjunto de carros caros números muito maiores do que ONJUNTOS FUZZY onjuntos Fuzz função característica é generalizada, podendo assumir um número infinito de valores no intervalo [,] função de pertinência Um conjunto fuzz em um universo X é definido por uma função de pertinência : X [,] ONJUNTOS FUZZY Eemplo: Pessoas ltas ONJUNTOS FUZZY Eemplo: Números muito maiores do que f Função aracterística Função de Pertinência f Função aracterística Função de Pertinência ltura m ltura m RISP FUZZY RISP FUZZY Eemplo: ONJUNTOS FUZZY ONJUNTOS FUZZY onjunto no universo X com [,] X todos os automóveis do Rio de Janeiro onjuntos crisp azul marrom verde vermelho outra cinza Nacional Importado 4 cilindros 6 cilindros 8 cilindros outros importado medida do grau de compatibilidade de com nacional % de peças nacionais 5

6 ONJUNTOS FUZZY Representação: Um conjunto fuzz em X pode ser representado por um conjunto de pares ordenados { /} X ONJUNTOS FUZZY Outra Representação: X contínuo: / X denota a coleção de todos os pontos X com função de pertinência X discreto: n i / i i denota a união de todos os pontos i X com graus de pertinência i ONJUNTOS FUZZY Eemplo: seja inteiros próimos de X {n os inteiros de a }./7 +.5/8 +.8/9 + / +.8/ +.5/ +./3 Observações: os inteiros não especificados possuem os valores de são especificados eceto para, todos os outros valores podem ser modificados. a função de pertinência, neste caso específico, deve ser simétrica. Nomenclatura: ONJUNTOS FUZZY ltura: maior grau de pertinência permitido pela função de pertinência Normalização: um certo conjunto fuzz é normal se a sua altura for igual a Forma normal mínima: pelo menos um elemento tem Forma normal máima: pelo menos um elemento tem e outro elemento tem Domínio: ONJUNTOS FUZZY Universo total de valores possíveis para os elementos de um conjunto depende do conteto ltas Meia-Idade Suporte: ONJUNTOS FUZZY Área efetiva do domínio de um conjunto fuzz que apresenta valores de > Pesado Domínio berto.8m 45 Domínio Fechado Suporte Domínio kg 6

7 Observação: ONJUNTOS FUZZY O conjunto fuzz cujo suporte é um único ponto em U, com valor de, é chamado de singleton Igual a ONJUNTOS FUZZY onjunto α -cut: Restrição limite imposta ao domínio, baseada no valor de α ontém todos os elementos do domínio que possuam acima de um certo valor de α α α-cut fraco > α α-cut forte ONJUNTOS FUZZY ONJUNTOS FUZZY onjunto α -cut: útil para as funções com longos tails, que tendem a possuir valores muito baios de por um domínio etenso α-cut. pesado.-cut do conjunto pesado é, então, de a 4 kg kg onjunto α -cut: Idade riança Jovem dulto Velho onjuntos α-cut do conjunto VELHO: velho. {3,4,5,6,7,8} velho.8 {6,7,8} velho. {7,8} Variáveis Linguísticas Têm a função de fornecer uma maneira sistemática para uma caracterização aproimada de fenômenos compleos ou mal definidos Variáveis Linguísticas Variável linguística: variável cujos valores são nomes de conjuntos fuzz Eemplo: temperatura de um processo pertinência aia Média lta Muito lta Temperatura 7

8 Variáveis Linguísticas Formalismo: caracterizada por uma quíntupla N, TN, X, G, M, onde: N: nome da variável temperatura TN: conjunto de termos de N, ou seja, o conjunto de nomes dos valores linguísticos de N {baia, média, alta, muito alta} X: universo de discurso espaço fuzz completo de variação de uma variável do modelo a 36 o Variáveis Linguísticas G: regra sintática para gerar os valores de N como uma composição de termos de TN, conectivos lógicos, modificadores e delimitadores temperatura não baia temperatura não muito alta M: regra semântica, para associar a cada valor gerado por G um conjunto fuzz em X associa os valores acima a conjuntos fuzz cujas funções de pertinência eprimem seus significados Funções de Pertinência os termos de uma variável linguística ou aos seus valores faz-se corresponder conjuntos fuzz, definidos por suas funções de pertinência Podem ter formas padrão ou definidas pelo usuário Funções de Pertinência ontínuas: podem ser definidas por meio de funções analíticas b + a c pequeno médio grande ,5 + 9 Funções de Pertinência Discretas: consistem em valores discretos correspondendo a elementos discretos do universo X pequeno médio grande {,,, 3,4,5,6} {,3;,7; ;,7;,3; ; } { ; ;,3;,7; ;,7;,3} { ; ; ;,3;,7; } Funções de Pertinência Diferentes pessoas, ou grupos de pessoas, podem definir funções de pertinência para um mesmo conjunto de forma diferente Eemplo: estatura de pessoas 8

9 Funções de Pertinência Linear Trapezoidal Triangular Formato S Formato Z Formato PI Gaussiana Singleton Irregulares Funções de Pertinência Linear: conjunto mais simples, sendo uma boa escolha na aproimação de conceitos não bem compreendidos,8,6,4, rescente,8,6,4, Decrescente Funções de Pertinência Trapezoidal: rápido processamento contém descontinuidades a - b - /b - a a < b Trap,a,b,c,d b < c d - /d - c c < d > d. Trap,a,b,c,d Funções de Pertinência Triangular: caso especial de trapezoidal e - f - /f - e e < f TRI,e,f,g g - /g - f f < g > g. TRI,e,f,g a b c d e f g Funções de Pertinência Formato S: equação quadrática S,a,b,c a [ - a/c - a ] a b - [ - c/c - a] b c c Funções de Pertinência Formato S com parâmetros: a - b [ - a - b] / b a - b a S,a,b - [a + b - ] / b a < a + b > a + b. S,a,b,c. S,a,b b ds/d ds/d a b c a 9

10 Funções de Pertinência Formato Z: Z,a,b - S,a,b < a - b - [ - a - b] / b a - b a Z,a,b [a + b - ] / b a < a + b > a + b Funções de Pertinência Formato PI: junção das curvas S e Z S, a - b/, b/ a PI,a,b Z, a + b/, b/ a PI,a,b. Z,a,b b b a a Funções de Pertinência Gaussiana: - distribuição normal - cai a zero para valores muito maiores ou muito menores do que a média Funções de Pertinência Singleton: - na verdade não é um conjunto fuzz - simplifica os cálculos para produzir saídas fuzz σ G,,σ Ponto de Infleão G σ, e, σ média σ desvio padrão. a Sgl,a a a Funções de Pertinência Irregulares: ocasionalmente as formas padrão não conseguem capturar a semântica de uma variável representações arbitrárias Definições e operações onjunto Vazio se e somente se X Tráfego Intenso Risco lto de Dirigir omplemento ' X Hora Idade

11 Definições e operações onjuntos iguais se e somente se subconjunto de se X X Definições e Operações onjuntos ordinários crisp X {,,...} omplemento todos os elementos de X que a S eemplo: S 3 5 S União todos os elementos de X que a S ou a S Interseção: todos os elementos de X que estão em S e em S União Eclusiva S S S S - S S Definições e operações Definições e operações Interseção - onjuntos ordinários ontém todos os elementos que pertencem a e a f f se e se ou União - onjuntos ordinários ontém todos os elementos que pertencem a ou a f f f X f f f X Definições e Operações a eemplo dos conjuntos crisp, eistem operações para combinar e modificar os conjuntos fuzz Definições e Operações Interseção e União - onjuntos fuzz Zadeh estendeu as operações de conjuntos s operações são aplicadas às funções de pertinência ordinários para conjuntos fuzz: um certo elemento é membro de um conjunto fuzz se está dentro do domínio do conjunto se o grau de pertinência é > se está acima do limite α-cut X X

12 Propriedades Utilizando os operadores de Zadeh ma e min para a união e interseção fuzz, verificam-se as seguintes propriedades: '' Propriedades Propriedades Demonstração de : Para cada uma das situações seguintes, verificamse os resultados correspondentes: considerando-se os cálculos como feitos elemento a elemento Propriedades d q c > > > > > > > > > > > >... Propriedades e se ' ' ' ' ' ' Propriedades Observando que as funções de pertinência dos conjuntos vazio e universo são e : X X X e

13 Propriedades onjuntos ordinários: ' e ' X onjuntos fuzz: ' ' Propriedades Observa-se, portanto, que a lei da Não-ontradição φ e a lei da Eclusão Mútua X são inválidas no caso fuzz ' ' X Lei da Não-ontradição Quais os membros que são de MEI-IDDE e não MEI-IDDE ao mesmo tempo? NOME IDDE MI MI' Interseção bel José 58 arlos 64 João Pedro 4 Tiago Felipe ndré membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Meia-Idade e não-meia-idade Lei da Não-ontradição Quais os membros que são LTOS e não-ltos ao mesmo tempo? NOME LTUR LTO LTO' Interseção bel José arlos João Pedro Tiago Felipe ndré TODOS os membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos LTO e não-lto Lei da Eclusão Mútua Quais os membros que são de MEI-IDDE ou não-mei-idde ao mesmo tempo? NOME IDDE M-I MI' União bel José 58 arlos 64 João Pedro 4 Tiago Felipe ndré Nem TODOS os membros têm grau de pertinência igual a um para a união dos conjuntos MI e MI Lei da Eclusão Mútua Quais os membros que são LTOS ou não-ltos ao mesmo tempo? NOME LTUR LTO LTO' União bel José arlos João Pedro Tiago Felipe ndré NENHUM dos membros têm grau de pertinência igual a um para a união dos conjuntos LTO e LTO 3

14 Outros Operadores Outros Operadores Interseção: Zadeh média produto $ Lukasiewicz min, + ma $ também sugerido por Zadeh [, + ] Eemplo: Zadeh min Lukasiewicz ma [, + - ] União: Zadeh média soma probabilística ou algébrica soma limitada Outros Operadores ma, { min 4 [, ] + ma [, ]} + min [, + ] 6 Eemplo: Zadeh min Soma limitada min [, + ] UNIÃO Outros Operadores Yager: Interseção Funções de Yager: família parametrizada de operadores T Interseção: p, min, + União: p p > p p [ ] > p p, min, + p 4

15 Yager: União Operadores Generalização operadores norma-t e co-norma-t norma-s Operações binárias de [,] [,] [,], tal que,,, z, w [,], determinadas propriedades são satisfeitas. Norma-t s seguintes propriedades são satisfeitas: z z se, w z, então w z e Eemplos: mínimo produto Lukasiewicz norma-t degenerada Norma-t, se Z,, se, caso contrário o-norma-t s seguintes propriedades são satisfeitas: z z se, w z, então w z e Eemplos: máimo soma probabilística soma limitada norma-t degenerada o-norma-t, se Z,, se, caso contrário 5

16 MODIFIDORES MODIFIDORES são operadores semânticos atuam na modelagem de um sistema fuzz da mesma forma que advérbios e adjetivos atuam em uma sentença modificam a natureza de um conjunto fuzz atuam sobre a função de pertinência de um conjunto fuzz com o objetivo de modificá-la Da mesma forma que com os advérbios e adjetivos, a ordem dos modificadores é importante NÃO MUITO LTO MUITO NÃO LTO MODIFIDORES MODIFIDORES De forma análoga à construção de sentenças, múltiplos modificadores podem ser aplicados a um único conjunto fuzz Eemplo: positivamente não muito LTO o processamento é feito de forma análoga à linguagem: positivamente não muito LTO Múltiplos modificadores onjunto fuzz básico positivamente não muito LTO MODIFIDORES podem ser usados tanto no antecedente quanto no consequente: SE custo é muito LTO ENTÃO a margem de lucro é IX SE inflação é muito GRNDE ENTÃO vendas são positivamente PEQUENS MODIFIDORES concentradores: muito, etremamente diluidores: um pouco, levemente, mais ou menos aproimadores: em torno, aproimadamente, perto de restrição de uma região fuzz: abaio de, acima de contraste: positivamente, de uma forma geral 6

17 oncentradores oncentradores Reduzem os graus de pertinência dos elementos que pertencem ao conjunto fuzz oncentradores de ZDEH: MUITO [ ] MUITO ON [ ] n n [,4] Eemplo : oncentradores Eemplo : oncentradores Para se obter o mesmo valor de, o elemento do domínio deve estar mais à direita.. muito de meia-idade meia-idade alto muitoalto n etremamente alto n 3 45 Diluidores Diluem a função de pertinência para uma certa região fuzz Diluidores Diluidores de ZDEH: UM POUO [ ] / UM POUO DILUIDOR [ ] /n n [,8] 7

18 Diluidores Diluidores Eemplo : Para se obter o mesmo valor de, o elemento do domínio deve estar mais à esquerda Eemplo :. levemente alto n /3 um pouco alto n / lto. um pouco de meia-idade meia-idade 45 oncentradores/diluidores Modificadores possuem o mesmo suporte que o conjunto original; Eemplo: não muito alto muito não alto possuem o mesmo valor no domínio para e ; muito e um pouco são os únicos modificadores comutativos não muito alto não muito alto muito não alto não alto alto alto muito alto muito não alto proimadores alargam ou estreitam uma região fuzz do tipo sino ; transformam valores escalares em regiões fuzz número fuzz proimadores largando:. em torno de meia-idade meia-idade 45 8

19 Estreitando:. proimadores proimadores Transformando em um número fuzz:. perto de meia-idade meia-idade em torno de o domínio depende do conteto! Restrição de uma Região Fuzz Restrição de uma Região Fuzz IM: IM DE IXO DE restringem o escopo da função de pertinência. meia-idade acima de meia-idade 45 Restrição de uma Região Fuzz IXO: ontraste Mudam a natureza da região fuzz. abaio de meia-idade meia-idade Intensificador torna o conjunto menos fuzz positivamente, definitivamente Difusor torna o conjunto mais fuzz de uma forma geral 45 9

20 ontraste Intensificador: muda a função aumentando os acima de.5 e diminuindo os abaio de.5 ontraste Difusor: muda a função reduzindo os acima de.5 e aumentando os abaio de positivamente alto ponto de infleão alto altura m alto ponto de infleão de uma forma geral alto ltura m Relações e omposições Relações e omposições O que é inferência? Premissa : temperatura 75 Premissa : SE temperatura é alta ENTÃO vazão é grande onclusão: vazão? temperatura 75 SE temperatura é alta ENTÃO vazão é grande vazão? R R Relação simples um conjunto fuzz Relação de Implicação omposição das Relações R o R Relações Relação risp: representa a presença ou ausência de associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos. Relação inária: envolve dois conjuntos X e Y R X,Y Relações risp Dados os universos X e Y, a relação crisp R definida em X Y é um subconjunto do produto cartesiano dos dois universos, tal que R: X Y {,} f R função característica se e somente se, R, em caso contrário

21 Relações risp Relações risp Eemplo : OSERVÇÃO: como R também é um conjunto, todas as operações de conjuntos crisp podem ser aplicadas sem modificação. X {-3, -, -,,,, 3} Y {,, 3, 4, 5} RX,Y {, / }? RX,Y {,;,; 3,;,; 3,; 3,3} Eemplo : Relações risp X : conjunto de todos os sistemas contínuos, lineares, de segunda ordem X {, } {sistema variante no tempo, sistema invariante no tempo} Y: conjunto dos pólos de tais sistemas Y {, } {pólos no semi-plano esquerdo, pólos no semi-plano direito} Relações risp Eemplo continuação: Relação de Estabilidade entre X e Y Sistemas Estáveis sistemas invariantes no tempo E pólos no semi-plano esquerdo RX,Y {sistema invariante no tempo, pólos no semi-plano esquerdo} Relações risp Relações risp Eemplo continuação: Y MTRIZ RELIONL DIGRM SGITL Relação Fuzz: Relações Fuzz representa o grau de associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos fuzz Eemplos: é muito maior do que é bem próimo de z é muito mais alto do que se é grande então é pequeno

22 Relações Fuzz Relações Fuzz relação fuzz R X,Y é um conjunto fuzz caracterizado pela função de pertinência R, X e Y OSERVÇÃO: como as relações fuzz são também conjuntos fuzz, as operações com essas relações podem ser definidas utilizando-se os operadores de união, R X,Y { [,, R,] /, X Y} interseção e complemento Relações Fuzz Relações Fuzz Eemplo : X {,, 3 } {8,, } Y {,, 3, 4 } {,, 4, 3} R X,Y é muito maior do que 3 4 Eemplo : X {, } {Fortaleza, Florianópolis} Y {,, 3 } {Porto legre, riciúma, uritiba} R: "muito próima" mm, Relações Fuzz Relações Fuzz Matriz Relacional para o caso crisp Matriz Relacional para o caso fuzz 3 3 Porto legre riciúma uritiba Porto legre riciúma uritiba Fortaleza Florianópolis Fortaleza,,,3 Florianópolis,8,8

23 omposição de Relações omposição de Relações Representa um papel muito importante em sistemas de inferência fuzz aso crisp: dadas as relações PX,Y e QY,Z, a composição é definida por R X, Z P X, Y Q Y, Z subconjunto de X Z tal que,z R se e somente se eistir pelo menos um Y tal que, P e,z Q Eemplo caso crisp: P X, Y 3 Q Y, Z 3 4 z 3 z z 3 z 4 4 omposição de Relações Diagrama sagital: P X,Y Q Y,Z z z z 3 z 4 RX,Z P X,Y Q Y,Z z z z 3 3 z 4 R X, Z 3 z z z 3 z 4 omposição de Relações operação realizada para se obter a composição das relações pode ser representada por: composição ma-min: f, z f, z {, z, ma [ min f,, f, z]} R P Q composição ma-produto: f, z f, z {, z, ma [ f, f, z]} R P Q P P Q Q omposição de Relações omposição de Relações Eemplificando para o cálculo do elemento,z de R no eemplo: f, z f R, z {, z, ma [ min f,, f, z ]} {, z, ma[ min f,, f, z, min f,, f, z, min f,, f, z, min f,, f, z ]} f, z {, z, ma[ min,, min,, min,, min,]} R f, z {, z, ma[,,,]} R P Q P P 3 Q Q 3 P P P Q 4 Q Q 4 Observação caso crisp: ada elemento de RX,Z pode ser obtido por meio da multiplicação de matrizes observando-se que: cada multiplicação deve ser efetuada com o operador adequado: min ou produto cada adição deve ser efetuada com o operador ma 3

24 omposição de Relações omposição de Relações omposição fuzz faz-se uma generalização do caso não-fuzz Interpretação gráfica: X P, Y Q,z z Z P Q,z, z, z sup [,, z] R P Q P Q a norma-t é usualmente o min ou o produto para universos finitos, o sup é o ma Obs.: o procedimento de multiplicação de matrizes aplica-se também ao caso fuzz omposição de Relações Eemplo : Estudantes: X {Maria, João, Pedro} aracterísticas de cursos Y {teoria, aplicação, hardware, programação} ursos Z {lógica fuzz, controle fuzz, redes neurais, sistemas especialistas} omposição de Relações Eemplo continuação: Interesse dos estudantes, em termos das características dos cursos: Pedro P X, Y Maria João t,,5 a,,9 h,8,5 p,,5 omposição de Relações omposição de Relações Eemplo continuação: Eemplo continuação: aracterísticas dos cursos: composição ma-min pode servir de auílio aos LF t, Q Y, Z a h p, F,5,3,5 RN,6,8,7,8 SE,,8 estudantes na escolha dos cursos: P Pedro Q Maria João LF,,5 F,5,9 RN,8,6,8 SE,8,5 Obs: ao contrário deste eemplo, a composição ma-produto geralmente não produz o mesmo resultado! 4

25 omposição de Relações Eemplo : X {,, 3 } Y {,, 3, 4 } Z {z, z, z 3 } é muito maior do que E é muito próimo de z mm, mp,z mm mp,z? omposição de Relações Eemplo continuação: Relações dadas: 3 4 mm, mp,z z z z omposição ma-min z z z 3 3 omposição ma-produto z z z omposição de Relações Três relações: omposição de Relações aso especial: P é um conjunto fuzz apenas X Y P, Q,z z Z R z,w w W P Q R,w em vez de P, tem-se P, o que é equivalente a se ter X Y X z Z P Q,z R z,w w W Obs.: poder-se-ia compor Q e R, primeiramente; o resultado seria então composto com P P Q R,w z sup [, z] R P Q Obs.: resultado fundamental para sistemas de inferência fuzz! omposição de Relações Interpretação gráfica: X Y z Z P, Q,z P Q,z omposição de Relações Eemplo: é mediamente grande E z é muito menor do que X {,, 3, 4, 5 } {5,, 5,, 5} Z {z, z, z 3, z 4 } {,, 3, 4} X X Y X P Q,z z Z P Q z mg {,3;,7; ;,.7;,3} mm,z z z z 3 z omposição ma-min R z {/;,8/;,7/3;,6/4} 5

26 Proposições Fuzz Frases da forma é, onde é um conjunto fuzz definido no universo X de Podem ser combinadas por meio de diferentes operadores: conectivos lógicos e e ou negação: não operador de implicação: se... então Podem ser descritas em termos de relações fuzz onectivos: e Proposições Fuzz usado com variáveis em universos diferentes E: temperatura é alta e pressão é baia ou conecta valores linguísticos de uma mesma variável E: temperatura é alta ou baia em sentenças do tipo se... então, pode ser usado com variáveis diferentes E: se a pressão é alta ou a temperatura é baia Proposições Fuzz Proposições Fuzz Negação: { /} não { } / Eemplo: pressão é não alta onsiderem-se: variáveis linguísticas de nomes e definidas em universos X e Y conjuntos fuzz e definidas em X e Y é proposições fuzz é Proposições Fuzz oneão das proposições por meio de e interseção: Proposições Fuzz oneão das proposições por meio de ou união: é e é relação fuzz R e é ou é relação fuzz R ou, R, R norma-t geralmente o min ou o produto co-norma-t geralmente o ma 6

27 Proposições Fuzz Proposições Fuzz Eemplo: Quais os membros do grupo abaio que são ao mesmo tempo LTOS e de MEI-IDDE? Eemplo continuação: com conjuntos crisp: onjunto LTO onjunto MEI-IDDE NOME IDDE LTUR bel 36.7 Marcelo arlos João 3.78 Pedro 4.77 Tiago.6 Felipe ndré Proposições Fuzz Eemplo continuação: Membros com idade entre 35 e 45 anos e altura maior do que.75m caso crisp: NOME IDDE f MI LTUR f LTO R MI e LTO bel 36.7 José arlos João 3.78 Pedro 4.77 Tiago.6 Felipe ndré 5.75,5 Proposições Fuzz Eemplo continuação: com conjuntos fuzz: onjunto LTO onjunto MEI-IDDE Proposições Fuzz Eemplo continuação: Graus de pertinência da relação Meia-Idade e lto : min NOME IDDE MI LTUR LTO R MI e LTO bel José arlos João Pedro Tiago.6.33 Felipe ndré Proposições Fuzz Eemplo continuação: Quais os membros que são LTOS ou de MEI-IDDE? Membros com idade entre 35 e 45 anos ou altura maior que.75m caso crisp: NOME IDDE f MI LTUR f LTO R MI ou LTO bel 36.7 José arlos João 3.78 Pedro 4.77 Tiago.6 Felipe ndré

28 Proposições Fuzz Eemplo continuação: Graus de pertinência da relação Meia-Idade ou lto : ma NOME IDDE MI LTUR LTO R MI ou LTO bel José arlos João Pedro Tiago Felipe ndré Proposições Fuzz Declaração condicional fuzz operação se... então descreve a dependência do valor de uma variável linguística em relação ao valor de outra se é então é relação fuzz R, f, operador de implicação Proposições Fuzz Mais de um antecedente: Proposições Fuzz ombinação de várias declarações condicionais por ou se é e é e... e m é m então é relação fuzz R,,..., m, f fe,,..., m, m operador que representa o conectivo e geralmente min ou produto, f N R f [ f ou R : se é então é ou R : se é então é ou n n R : se é n então é [,,,,..., n, ],, f ou R R,,..., f R n, n ] operador que representa o conectivo ou geralmente ma LÓGI FUZZY Regras são implicações lógicas se é então é a função de pertinência desta relação é definida por meio do operador de implicação Regras são formas de proposição declaração envolvendo termos já definidos E: a temperatura é alta se temperatura é alta então diminui a vazão relacionado à 8

29 Proposições podem ser verdadeiras ou falsas Proposições p e q podem ser combinadas a partir de três operações básicas: conjunção disjunção implicação onjunção: p q estabelece a verdade simultânea de duas proposições p e q Disjunção: p q estabelece a verdade de uma ou de ambas as proposições p e q Implicação: p q verifica se a regra abaio é verdadeira V se p então q Outras operações: Equivalência: p q verifica se as duas proposições são simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas antecedente consequente Negação: ~ p para se dizer é falso que... Proposições não relacionadas entre si podem ser combinadas para formar uma implicação Não se considera nenhuma relação de causalidade implicação é verdadeira quando: antecedente é V, consequente é V antecedente é F, consequente é F antecedente é F, consequente é V implicação é falsa quando: antecedente é V, consequente é F 9

30 Tabelas Verdade: p q p q p q p q p q ~ p V V V V V V F V F F V F F F F V F V F V V F F F F V V V iomas Fundamentais: cada proposição é V ou F, mas nunca ambos as tabelas verdade de: onjunção Disjunção Equivalência Implicação Negação Eemplo: onsidere-se a declaração condicional se eu estiver bem de saúde p então irei à escola q Situações possíveis: p V estou bem de saúde q V fui à escola promessa cumprida declaração verdadeira Situações possíveis: p V estou bem de saúde q F não fui à escola Situações possíveis: p F não estou bem de saúde q V fui à escola promessa violada declaração falsa promessa de ir à escola cumprida declaração verdadeira 3

31 Situações possíveis: p F não estou bem de saúde q F não fui à escola TUTOLOGI: É uma proposição sempre verdadeira formada a partir da combinação de outras proposições promessa não violada declaração verdadeira Tautologias importantes: omprovação das tautologias: p q ~ [ p ~q] p q ~[ p ~q] p q [~p q] p q [~p q] p q p q ~ q p ~ q ~ [p ~ q] ~ p ~ p q V V V F F V F V V F F V V F F F F V V F F V V V F F V V F V V V Isomorfismos: O isomorfismo entre a álgebra booleana, a teoria dos conjuntos e a lógica proposicional garante que cada teorema em qualquer uma dessas teorias tem um teorema equivalente em cada uma das outras duas teorias Equivalências importantes: LÓGI TEORI DOS ONJUNTOS ÁLGER OOLEN + ~ V F 3

32 onsiderando as tautologias anteriores as equivalências entre lógica, teoria de conjuntos e álgebra booleana que, em conjuntos crisp, a função característica pode assumir apenas os valores e Tradicional Tautologia : f p q p q ~[ p ~q], min[ f, f ] p q obtêm-se funções características para a implicação Tautologia : p q [~p q ] f p q, ma [ f, f ] p q Demonstração: I II f f p q p q, ma [ f, f ], min[ f, f ] f p f q - f p - f q I II p p q q Observação: eistem inúmeras outras funções características para a implicação, não necessariamente fazendo uso dos operadores ma e min Regras de Inferência lássicas: Modus Ponens Modus Tollens 3

33 Lógica Fuzz Modus ponens: Premissa : é p Premissa : se é então é p q onsequência: é q [ p p q ] q Os conceitos de Lógica Fuzz nasceram inspirados na lógica proposicional tradicional etensão da lógica tradicional para a Lógica Fuzz foi efetuada através da substituição das funções características bivalentes por funções de pertinência fuzz Lógica Fuzz Lógica Fuzz declaração condicional se é então é tem uma função de pertinência, mede o grau de verdade da relação de implicação entre e Eemplos de funções de implicação, obtidas por simples etensão da lógica tradicional:, min[, ], ma[, ] Lógica Fuzz Modus ponens generalizado: Premissa : é * Premissa : se é então é onclusão: é * * e * não são necessariamente iguais a e, respectivamente Eemplo: Lógica Fuzz se homem é baio então homem não é bom jogador de basquete baio não é bom jogador de basquete Premissa: homem é abaio de.6m * onclusão: homem é mau jogador de basquete * 33

34 Lógica Fuzz onclusão: Lógica Tradicional risp regra é disparada somente se a premissa for eatamente igual ao antecedente, sendo que o resultado da regra é o próprio consequente. Lógica Fuzz onclusão: Lógica Fuzz regra é disparada desde que eista um grau de similaridade diferente de zero entre a premissa e o antecedente da regra, sendo que o resultado é um consequente que tem um grau de similaridade diferente de zero com o consequente da regra. Lógica Fuzz Interpretação do Modus Ponens Generalizado: é * é * Regra se-então *, Lógica Fuzz O Modus Ponens Generalizado é uma composição de relações fuzz, onde a primeira relação é apenas um conjunto fuzz e a segunda é a relação de implicação. X X P Q,z z W P Q z * sup [ *, ] omposição de um conjunto fuzz com uma relação fuzz Eemplo: Lógica Fuzz Lógica Fuzz { ;,;,7;;,4; } { } dada a relação de implicação:,3;,8; ;,5;, ma[, ] obtém-se: e dois conjuntos e, em universos discretos e finitos,8,8,8 X e Y, com funções de pertinência:,3,8,5,,3,8,5,6,8,6,8,3,6 34

35 Lógica Fuzz dado um conjunto * definido por: { ;,3;,8;;,7;,} e utilizando o min para a norma-t em: * ma [ *, ] universos discretos e finitos: sup ma tem-se { ;,3;,8;;,7;,} {,6;,8; ;,6;,6} Lógica Fuzz,8,3,,3,6,8,8,8,8,8,5,5,6,8,3,6 ma ;,3,8;,8,3;,3;,7,6;, ; ma ;,3,8;,8,8;,8;,7,8;, ; ma ;,3 ;,8 ; ;,7 ;, ; ma ;,3,8;,8,5;,5;,7,6;, ; ma ;,3,8;,8,3; ;,7,6;, ; Lógica Fuzz Lógica Fuzz Supondo que a entrada * do sistema seja precisa não-fuzz: * é um singleton omo apenas no ponto, o sup torna-se desnecessário * para ' para todo outro X * [ ' * [ ', ] ', ', ] LÓGI FUZZY LÓGI FUZZY Eemplo: considere-se a implicação, min[, ] e conjuntos e representados por funções de pertinência triangulares, em universos contínuos Para uma entrada singleton, o consequente * será dado por: * min[ ', ] Graficamente, o procedimento consiste em: 35

36 Lógica Fuzz Lógica Fuzz Regra implicação: se então * ' ' Lógica Fuzz Operações passo a passo: observando que ' < - Lógica Fuzz Resultado final consequente: * min [ ', - ] Lógica Fuzz Observa-se que o resultado de uma regra específica, cujo consequente é associado a um conjunto fuzz com suporte finito, é um conjunto fuzz com suporte infinito Este comportamento, que é observado também para outras implicações, viola o senso comum, de importância em aplicações em engenharia foram definidas implicações que não violassem o senso comum : min e produto [Mamdani e Larsen ontrole], mesmo rompendo o vínculo com a lógica proposicional Lógica Fuzz Refazendo o eemplo com essas implicações: grau de ativação da regra ' min produto * * 36

37 Lógica Fuzz om estas implicações, chamadas de implicações de engenharia [Mendel], observa-se que: o conjunto fuzz resultante está diretamente associado ao consequente da regra. não eiste mais o patamar suporte infinito Lógica Fuzz Quanto aos demais operadores, utilizam-se, geralmente: conectivo e f e normas-t conectivo ou f ou co-normas-t norma-t no modus ponens generalizado min Outros operadores também são usados para implicação geralmente normas-t regra de inferência ma-min SISTEM DE INFERÊNI FUZZY SISTEM DE INFERÊNI FUZZY X Entradas precisas Fornecidas por especialistas ou etraídas de dados numéricos Para ativar as regras FUZZIFIÇÃO onjuntos fuzz de entrada REGRS INFERÊNI Para fornecer a saída precisa DEFUZZIFIÇÃO onjunto fuzz de saída Mapeia conjuntos fuzz em conjuntos fuzz Determina como as regras são ativadas e combinadas Saída precisa Fuzzificação: mapeamento de dados precisos para os conjuntos fuzz de entrada Defuzzificação: interpretação do conjunto fuzz de saída o processo de defuzzificação produz uma saída precisa, a partir do conjunto fuzz de saída obtido pelo sistema de inferência DEFUZZIFIÇÃO Eistem vários métodos diferentes Os mais utilizados são: Máimo Média dos Máimos entróide ou entro de Gravidade ltura ltura Modificada DEFUZZIFIÇÃO Máimo: eamina-se o conjunto fuzz de saída e escolhe-se, como valor preciso, o valor no universo da variável de saída para o qual o grau de pertinência é o máimo Qual valor escolher se o máimo for uma faia? O valor máimo é o limite superior do Universo de Discurso!! 37

38 DEFUZZIFIÇÃO Média dos máimos: a saída precisa é obtida tomando-se a média entre os dois elementos etremos no universo que correspondem aos maiores valores da função de pertinência do conjunto fuzz de saída 3 DEFUZZIFIÇÃO entróide: a saída precisa é o valor no universo que corresponde ao centro de gravidade do conjunto fuzz ontínuo Discreto d d i i i + / O valor preciso possui grau de pertinência igual a ZERO!! 3 4 O valor preciso é o limite superior do Universo de Discurso!! Problema: dificuldade no cálculo! DEFUZZIFIÇÃO ltura: calcula-se h l l l l l l l l : valor no universo correspondente ao centro de gravidade do conjunto fuzz l, associado ao grau de ativação da regra R l DEFUZZIFIÇÃO ltura continuação Método simples o valor no universo que corresponde ao centro de gravidade das funções de pertinência mais comuns é conhecido a priori: Triangular simétrica corresponde ao ápice do triângulo Guassiana corresponde ao centro da função Trapezoidal simétrica corresponde ao ponto médio do suporte Problemas: só utiliza o centro do suporte da função de pertinência do consequente qualquer que seja a largura da função de pertinência, fornece o mesmo resultado! δ l : DEFUZZIFIÇÃO ltura modificada: calcula-se mh l l l l / δ l l l l l / δ medida da etensão do suporte do consequente da Regra R l funções de pertinência triangulares e trapezoidais suporte do conjunto. funções de pertinência gaussianas desvio padrão SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Eemplo: Estacionamento de um veículo θ φ ponto de parada : central E φ 9 o ou vertical VE 38

39 SISTEM DE INFERÊNI FUZZY φ LE L E R RI R PS PM PM P P RU NS PS PM P P RV NM NS PS PM P VE NM NM ZE PM PM LV N NM NS PS PM LU N N NM NS PS L N N NM NM NS SISTEM DE INFERÊNI FUZZY onjuntos fuzz: Regra: se é LE e φ é R então θ é PS SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Entradas precisas: 47,5m φ 99 φ LE L E R RI R PS PM PM P P RU NS PS PM P P RV NM NS PS PM P VE NM NM ZE PM PM LV N NM NS PS PM LU N N NM NS PS L N N NM NM NS SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Operadores considerados neste eemplo: conectivo e f e min implicação min norma-t no modus ponens generalizado min conectivo ou f ou ma SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Dois antecedentes: NM NM * ZE * NS θ ' φ' * θ ' φ' * L L * θ ' φ' θ Para cada uma das regras ativadas, tem-se: cf. figuras a seguir θ,4,7 θ,4, θ,4 θ, θ ' φ' θ,6,7 θ,6 θ E θ ' φ' θ,6, θ, θ E VE LV VE LV NM NM ZE NS ZE NM NS NM ZE NS NM NM θ θ SISTEM DE INFERÊNI FUZZY NM * θ L ' VE φ' NM θ,4,7 NM θ,4 θ NM φ.4 LE L E R RI R PS PM PM P P RU NS PS PM P P RV NM NS PS PM P VE NM NM ZE PM PM LV N NM NS PS PM LU N N NM NS PS L N N NM NM NS

40 SISTEM DE INFERÊNI FUZZY ZE * θ E ' VE φ' ZE θ,6,7 ZE θ,6 θ ZE SISTEM DE INFERÊNI FUZZY NS * θ E ' LV φ' NS θ,6, NS θ, θ NS φ LE L E R RI R PS PM PM P P RU NS PS PM P P RV NM NS PS PM P VE NM NM ZE PM PM LV N NM NS PS PM LU N N NM NS PS L N N NM NM NS.6.7 φ LE L E R RI R PS PM PM P P RU NS PS PM P P RV NM NS PS PM P VE NM NM ZE PM PM LV N NM NS PS PM LU N N NM NS PS L N N NM NM NS SISTEM DE INFERÊNI FUZZY NM * θ L ' LV φ' NM θ,4, NM θ, θ NM SISTEM DE INFERÊNI FUZZY União dos consequentes de cada regra φ LE L E R RI R PS PM PM P P RU NS PS PM P P RV NM NS PS PM P VE NM NM ZE PM PM LV N NM NS PS PM LU N N NM NS PS L N N NM NM NS SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Defuzzificação: SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Número de conjuntos ou de funções de pertinência dos antecedentes.6.4. Número de regras possíveis , no eemplo OG considera todas as regras forma dos conjuntos é importante MOM considera somente as regras com o maior grau de ativação muitos conjuntos dificuldade na construção da base de regras maior custo computacional menor interpretabilidade linguística 4

41 SISTEM DE INFERÊNI FUZZY SISTEM DE INFERÊNI FUZZY Formas das funções de pertinência arbitrárias, de início ajustadas de acordo com o desempenho sistemas neuro-fuzz e fuzz-genéticos onclusão o desempenho de um sistema fuzz é afetado por: base de regras número e forma dos conjuntos fuzz operador de implicação método de defuzzificação OMENTÁRIOS Números Fuzz: conjuntos fuzz definidos no conjunto dos números reais OMENTÁRIOS Outros Sistemas de Inferência Fuzz Tsukamoto se é e é então z é monotônica plicações em: Programação Linear Fuzz Previsão Planejamento ritmética Fuzz Regra Regra base do Raciocínio proimado OMENTÁRIOS Outros Sistemas de Inferência Fuzz Takagi-Sugeno-Kang se é e é então z f, Regra Regra OMENTÁRIOS Áreas de aplicação de Sistemas Fuzz e Híbridos: bibliografia abundante ontrole NEFON lassificação NEFLSS proimação de Funções NEFPROX Previsão de Séries etração automática de regras Fuzz clustering etc. 4