CONJUNTOS NEBULOSOS. Formatos dos Conjuntos

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1 CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges Formatos dos Conjuntos A função verdade de um conjunto fuzzy representa as propriedades semânticas do conceito A modelagem do sistema será tão melhor quanto mais precisamente a função verdade mapear o comportamento do fenômeno 1

2 Formatos dos Conjuntos Exemplo: µ (x) Meia Idade triangular Importante: sino 45 idade Apesar da diferença nas curvas, os modelos fuzzy não são muito sensíveis a esta elasticidade Modelos Fuzzy são robustos e elásticos Formatos dos Conjuntos Linear Trapezoidal Triangular Formato S Formato Z Formato PI Gaussiana Singleton Irregulares 2

3 Formatos dos Conjuntos Linear: É o conjunto mais simples, sendo uma boa escolha na aproximação de conceitos não bem compreendidos µ (x) Crescente µ (x) Decrescente 1 1 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0 x 0 x Formatos dos Conjuntos Trapezoidal: Rápido processamento Contém descontinuidades Variável independente Parâmetros do formato Trap (x,a,b,c,d) = 0 x a 1 - (b - x)/(b - a) a < x b 1 b < x c (d - x)/(d - c) c < x d 0 x > d µ (x) 1.0 Trap (x,a,b,c,d) a b c d x 3

4 Formatos dos Conjuntos Triangular: Mais simples que a Trapezoidal Variável independente Parâmetros do formato TRI (x,e,f,g) = 0 x e 1 - (f - x)/(f - e) e < x f (g - x)/(g - f) f < x g 0 x > g µ (x) 1.0 TRI (x,e,f,g) e f g x Formatos dos Conjuntos Formato S: Equação Quadrática Variável independente Parâmetros do formato S (x,a,b,c) = 0 x a 2 [(x - a)/(c - a )] 2 a x b 1-2 [(x - c)/(c - a)] 2 b x c 1 x c µ (x) 1.0 S(x,a,b,c) ds/dx a b c x 4

5 Formatos dos Conjuntos Formato S com 2 parâmetros: Variável independente Parâmetros do formato S (x,a,b) = 0 x a - b [x - (a - b)] 2 / 2b 2 a - b x a 1 - [(a + b) - x] 2 / 2b 2 a < x a + b 1 x > a + b µ (x) 1.0 S(x,a,b) b ds/dx a x Formatos dos Conjuntos Formato Z: Z (x,a,b) = 1 - S(x,a,b) Variável independente Parâmetros do formato Z (x,a,b) = 1 x < a - b 1 - [x - (a - b)] 2 / 2b 2 a - b x a [(a + b) - x] 2 / 2b 2 a < x a + b 0 x > a + b µ (x) Z (x,a,b) 1.0 b a x 5

6 Formatos dos Conjuntos Formato PI: Junção das curvas S e Z Variável independente Parâmetros do formato PI (x,a,b) = S ( x, a - b/2, b/2) x a Z (x, a + b/2, b/2) x a µ (x) PI (x,a,b) b a x Formatos dos Conjuntos Gaussianas: - distribuição normal - cai a zero para valores muito maiores ou muito menores que a média µ (x) G (x,µ,σ) G (x,µ, σ) = e - (x - µ) 2 σ 2 Ponto de Inflexão σ µ = Média σ = Desvio Padrão µ x 6

7 Formatos dos Conjuntos Singleton: - na verdade não é um conjunto fuzzy - Simplifica os cálculos para produzir as saídas fuzzy (quando usado na saída). µ (x) 1.0 Sgl (x,a) = 1 x = a 0 x a a x Formatos dos Conjuntos Irregulares: - Ocasionalmente as formas padrões não conseguem capturar a semântica de uma variável representações arbitrárias. µ (x) Tráfego Intenso Hora 7

8 Formatos dos Conjuntos Irregulares: - Ocasionalmente as formas padrões não conseguem capturar a semântica de uma variável representações arbitrárias. µ (x) Tráfego Intenso µ (x) Risco Alto de Dirigir Hora Idade CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges 8

9 Operações Conjuntos Crisp Função Discriminante: determina se os indivíduos do conjunto universal são ou não membros de um certo conjunto A µ (x) = 0 x A µ (x) = 1 x A 4 Operações Básicas: União, Interseção, Negação e União Exclusiva Operações Conjuntos Crisp Exemplo: U = {1,2,...25} Interseção - todos os elementos de U que estão em S 1 e também S 2 S S Complemento todos os elementos de U que S 1 União União Exclusiva todos os A B = A B - A B elementos de U que a S 1 ou a S 2 9

10 Operações Conjuntos Crisp Lei da Não Contradição: A ~A = φ Lei da Exclusão Mútua: A ~A = U Operações Conjunto Fuzzy Da mesma forma que no caso dos conjuntos crisp, existem operações para combinar e modificar os conjuntos nebulosos. As operações são aplicadas ao Grau de Pertinência Como saber se um certo elemento é ou não membro de um conjunto nebuloso? Se está dentro do domínio do conjunto; Se o Grau de Pertinência é > 0; Se este elemento está acima do limite α-cut. 10

11 Operações Básicas Interseção União Complemento Operadores Nebulosos 2 Contextos: operadores entre funções de pertinência de uma mesma variável; operadores aplicados a expressões nebulosas com duas variáveis nebulosas diferentes deseja-se achar o grau de veracidade de uma certa declaração condicional (antecedente da regra fuzzy) 11

12 Operadores Nebulosos Para esses dois contextos, tem-se os seguintes tipos de operadores: operadores de Zadeh; operadores Compensatórios; Operadores T-norm e T-conorm. Operadores de Zadeh Interseção: Em analogia com os conjuntos crisp, que utilizam o operador AND, em conjuntos nebulosos geralmente se utiliza o Mínimo das Funções de Pertinência. 12

13 Operadores de Zadeh Interseção: ❶ Interseção entre duas funções de pertinência da mesma variável. A B µ (x) = MÍN [µ A (x), µ B (x)] x X Operadores de Zadeh Interseção: ❷ Interseção entre funções de pertinência de duas variáveis diferentes Exemplo: SE x é Y AND z é W ENTÃO m é P µ P (m) = MÍN [µ Y (x), µ W (z)] x Y e z W O Grau de Pertinência de m no conjunto fuzzy P é determinado pela força ou grau da interseção entre o conjunto Y e o conjunto W 13

14 Operadores de Zadeh Interseção: Quais os membros do grupo abaixo que são ao mesmo tempo ALTOS e de MEIA-IDADE? NOME IDADE ALTURA Abel Marcelo Carlos João Pedro Tiago Felipe André Caso Crisp: INTERSEÇÃO Conjunto ALTO Conjunto MEIA-IDADE

15 INTERSEÇÃO CRISP Quais os membros que são ALTOS e de MEIA-IDADE? Membros com idade entre 35 e 45 anos e altura maior que 1.75m INTERSEÇÃO CRISP Quais os membros que são ALTOS e de MEIA-IDADE? Membros com idade entre 35 e 45 anos e altura maior que 1.75m NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Crips Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

16 1 Caso Fuzzy: INTERSEÇÃO Conjunto ALTO Conjunto MEIA-IDADE INTERSEÇÃO FUZZY Quais os membros que são ALTOS e de MEIA-IDADE? Membros com grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Meia-Idade e Alto NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Fuzzy Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

17 INTERSEÇÃO FUZZY Quais os membros que são ALTOS e de MEIA-IDADE? Membros com grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Meia-Idade e Alto NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Fuzzy Crisp Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André União: Operadores de Zadeh Em analogia com os conjuntos crisp, que utilizam o operador OR, em conjuntos nebulosos geralmente se utiliza o Máximo das Funções de Pertinência. 17

18 União: Operadores de Zadeh ❶ União entre duas funções de pertinência da mesma variável. A B µ (x) = MÁX [µ A (x), µ B (x)] x X Operadores de Zadeh União: ❷ União entre funções de pertinência de duas variáveis diferentes Exemplo: SE x é Y OR z é W ENTÃO m é P SE x é Y ENTÃO m é P SE z é W ENTÃO m é P µ P (m) = MÁX [µ Y (x), µ W (z)] x Y e z W 18

19 União: Operadores de Zadeh Quais os membros do grupo abaixo que são ALTOS ou de MEIA-IDADE? NOME IDADE ALTURA Abel Marcelo Carlos João Pedro Tiago Felipe André UNIÃO CRISP Quais os membros que são ALTOS ou de MEIA-IDADE? Membros com idade entre 35 e 45 anos ou altura maior que 1.75m NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Crips Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

20 UNIÃO CRISP Quais os membros que são ALTOS ou de MEIA-IDADE? Membros com idade entre 35 e 45 anos ou altura maior que 1.75m NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Crips Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André UNIÃO FUZZY Quais os membros que são ALTOS ou de MEIA-IDADE? NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

21 UNIÃO FUZZY Quais os membros que são ALTOS ou de MEIA-IDADE? NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Fuzzy Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André UNIÃO FUZZY Quais os membros que são ALTOS ou de MEIA-IDADE? NOME IDADE µ M-I (x) ALTURA µ ALTO (y) Fuzzy Crisp Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

22 Operadores de Zadeh Complemento: Em analogia com os conjuntos crisp, o complemento do conjunto fuzzy A (~A) contém TODOS os elementos que não estão em A. Em conjuntos nebulosos geralmente se utiliza: µ ~A (x) = 1 - µ A (x) x X Supondo conjuntos normalizados!! Operadores de Zadeh Complemento: Quais os membros do grupo abaixo que não são ALTOS nem de MEIA-IDADE? NOME IDADE ALTURA Abel Marcelo Carlos João Pedro Tiago Felipe André

23 1 Caso Crisp: COMPLEMENTO Conjunto NÃO-ALTO Conjunto NÃO de MEIA-IDADE COMPLEMENTO CRISP Quais os que não são ALTOS nem de MEIA-IDADE? Membros com idade menor que 35 e maior que 45 anos e altura menor que 1.75m NOME IDADE µ ~M-I (x) ALTURA µ ~ALTO (y) Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

24 COMPLEMENTO CRISP Quais os que não são ALTOS nem de MEIA-IDADE? Membros com idade menor que 35 e maior que 45 anos e altura menor que 1.75m NOME IDADE µ ~M-I (x) ALTURA µ ~ALTO (y) Crips Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André Caso Fuzzy: COMPLEMENTO Conjunto NÃO-ALTO Conjunto NÃO de MEIA-IDADE

25 COMPLEMENTO FUZZY Quais os que não são ALTOS nem de MEIA-IDADE? Membros com grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Não de Meia-Idade e Não-Alto NOME IDADE µ ~M-I (x) ALTURA µ ~ALTO (y) Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André COMPLEMENTO FUZZY Quais os que não são ALTOS nem de MEIA-IDADE? Membros com grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Não de Meia-Idade e Não-Alto NOME IDADE µ ~M-I (x) ALTURA µ ~ALTO (y) Fuzzy Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

26 COMPLEMENTO FUZZY Quais os que não são ALTOS nem de MEIA-IDADE? Membros com grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Não de Meia-Idade e Não-Alto NOME IDADE µ ~M-I (x) ALTURA µ ~ALTO (y) Fuzzy Crisp Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André Operações Conjuntos Fuzzy Lei da Não Contradição: INVÁLIDA!! A ~A φ Lei da Exclusão Mútua: INVÁLIDA!! A ~A U 26

27 Lei da Não-Contradição Quais os membros que são de MEIA-IDADE e não- MEIA-IDADE ao mesmo tempo? NOME IDADE µ M-I (x) µ ~M-I (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André Lei da Não-Contradição Quais os membros que são de MEIA-IDADE e não- MEIA-IDADE ao mesmo tempo? NOME IDADE µ M-I (x) µ ~M-I (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

28 Lei da Não-Contradição Quais os membros que são de MEIA-IDADE e não- MEIA-IDADE ao mesmo tempo? NOME IDADE µ M-I (x) µ ~M-I (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Meia-Idade e não-meia-idade Lei da Não-Contradição Quais os membros que são ALTOS e não-altos ao mesmo tempo? NOME ALTURA µ ALTO (y) µ ~ALTO (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

29 Lei da Não-Contradição Quais os membros que são ALTOS e não-altos ao mesmo tempo? NOME ALTURA µ ALTO (y) µ ~ALTO (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André TODOS os membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos ALTO e não-alto Lei da Exclusão Mútua Quais os membros que são de MEIA-IDADE ou não-meia-idade ao mesmo tempo? NOME IDADE µ M-I (x) µ ~M-I (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André

30 Lei da Exclusão Mútua Quais os membros que são de MEIA-IDADE ou não-meia-idade ao mesmo tempo? NOME IDADE µ M-I (x) µ ~M-I (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André Lei da Exclusão Mútua Quais os membros que são de MEIA-IDADE ou não-meia-idade ao mesmo tempo? NOME IDADE µ M-I (x) µ ~M-I (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André Nem TODOS os membros têm grau de pertinência um para a união dos conjuntos Meia-Idade e não-meia-idade 30

31 Lei da Exclusão Mútua Quais os membros que são ALTOS ou não- ALTOS ao mesmo tempo? NOME ALTURA µ ALTO (y) µ ~ALTO (y) FUZZY Abel José Carlos João Pedro Tiago Felipe André NENHUM dos membros têm grau de pertinência igual a um para a união dos conjuntos ALTO e não-alto Operadores Nebulosos operadores de Zadeh; operadores Compensatórios; Operadores T-norm e T-conorm. 31

32 Operadores Compensatórios Utilizam formas alternativas às de Zadeh para as operações com conjuntos; Compensatórios porque atuam de forma a compensar os operadores rígidos de MÍN e MÁX de Zadeh. Desprezam as informações contidas na outra variável! Operadores Compensatórios Aplicação: Regras onde uma das assertivas: tem µ (x) muito pequeno é um conjunto crisp 32

33 Operadores Compensatórios Operadores Alternativos Transformações Aritméticas Simples Produto Média Soma Limitada Diferença Limitada... Transformações Funcionais mais Complexas Yager Transformações Aritméticas Interseção: Operador Interseção Zadeh Mín [µ A (x), µ B (y)] Média [µ A (x) + µ B (y)] / 2 Produto µ A (x) * µ B (y) Diferença Limitada Máx [0, µ A (x) + µ B (y) 1] (Lukasiewicz) 33

34 Exemplo: INTERSEÇÃO Operador Zadeh MÍN Diferença Limitada Máx [0, µ A (x) + µ B (y) - 1] Transformações Aritméticas União: Operador União Zadeh Máx [µ A (x), µ B (y)] Média {2 * mín[µ A (x), µ B (y)] + 4 * máx[µ A (x), µ B (y)]} / 6 Soma Probabilística [µ A (x) + µ B (y)] [µ A (x) * µ B (y)] Soma Limitada Mín [1, µ A (x) + µ B (y)] 34

35 Exemplo: INTERSEÇÃO Operador Zadeh MÁX Diferença Limitada Mín [1, µ A (x) + µ B (y)] Transformações Funcionais Funções Yager: Os operadores compensatórios anteriores envolvem simples manipulações algébricas Os operadores Yager envolvem uma família parametrizada de operadores 35

36 INTERSEÇÃO T(x,y) = 1 - MÍN { 1,[(1 - x) p + (1 - y) p ] 1/p }p > 0 UNIÃO C(x,y) = MÍN [1, (x p + y p ) 1/p ] p > 0 36

37 Operadores Nebulosos Para esses dois contextos, tem-se os seguintes tipos de operadores: operadores de Zadeh; operadores Compensatórios; Operadores T-norm e T-conorm. Operadores T-NORM Definição: Seja T uma função de duas variáveis x e y no intervalo [0,1]. Se, para qualquer x, y, e z em [0,1], as seguintes condições forem satisfeitas T é dita uma operação T-norm 1 T(x,1) = x 2 T(0,0) = 0 3 Se x x, então T(x,y) T(x,y) 4 T(x,y) = T(y,x) 5 T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z)) 37

38 Operadores T-NORM Exemplos: Mínimo M (x,y) = mín (x,y) Produto P (x,y) = x * y Lukasiewicz T-norm degenerada W (x,y) = máx (0, x + y -1) x, se y = 1 Z (x,y) = y, se x = 1 0, caso contrário Operadores T-CONORM Definição: Seja S uma função de duas variáveis x e y no intervalo [0,1]. Se, para qualquer x, y, e z em [0,1], as seguintes condições forem satisfeitas S é dita uma operação T-conorm 1 S(x,0) = x 2 S(1,1) = 1 3 Se x x, então S(x,y) S(x,y) 4 S(x,y) = S(y,x) 5 S(S(x,y),z) = S(x,S(y,z)) 38

39 Operadores T-CONORM Exemplos: Máximo M (x,y) = máx (x,y) Soma Probabilística P* (x,y) = x + y - x * y Soma Limitada T-conorm degenerada W* (x,y) = mín (1, x + y) x, se y = 0 Z* (x,y) = y, se x = 0 1, caso contrário Outras Operações Básicas A é subconjunto de B A B µ A (x) µ B (x) x X A é igual a B A = B µ A (x) = µ B (x) x X A é subconjunto próprio de B A B µ A (x) µ B (x) x X µ A (x) < µ B (x) para pelo menos 1 elemento de X 39

40 Propriedades de Conjuntos Fuzzy Dominância: µ (x) 1 = 1 µ (x) 0 = µ (x) µ (x) 1 = µ (x) µ (x) 0 = 0 1 função de pertinência com µ (x) = 1 x X 0 função de pertinência com µ (x) = 0 x X Propriedades de Conjuntos Fuzzy Associatividade: µ A (x) [µ B (x) µ C (x) ] = [µ A (x) µ B (x) ] µ C (x) µ A (x) [µ B (x) µ C (x) ] = [µ A (x) µ B (x) ] µ C (x) Ex: HOT (WARM COOL) = (HOT WARM) COOL 40

41 Propriedades de Conjuntos Fuzzy Comutatividade: µ A (x) µ B (x) = µ B (x) µ A (x) µ A (x) µ B (x) = µ B (x) µ A (x) Ex: HOT COOL = COOL HOT Propriedades de Conjuntos Fuzzy Distributividade: µ A (x) [µ B (x) µ C (x) ] = [µ A (x) µ B (x) ] [µ A (x) µ C (x)] µ A (x) [µ B (x) µ C (x) ] = [µ A (x) µ B (x) ] [µ A (x) µ C (x)] Ex: HOT (WARM COOL) = (HOT WARM) (HOT COOL) 41

42 Propriedades de Conjuntos Fuzzy De Morgan: µ A (x) µ B (x) = µ A (x) µ B (x) µ A (x) µ B (x) = µ A (x) µ B (x) Ex: NOT (HOT COOL) = (NOT-HOT NOT-COOL) 42