A maioria dos fenômenos com os quais nos deparamos são imprecisos. compreensão do problema. capacidade de medição.

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1 SISTEMAS NEBULOSOS A maioria dos fenômenos com os quais nos deparamos são imprecisos Exemplo: dia QUENTE (40, 35, 30, 29,5?) Imprecisão Intrínseca ajuda na compreensão do problema. Fuzziness é independente da capacidade de medição. SISTEMAS NEBULOSOS Sistemas Artificiais Convencionais X Sistema Humano Frases como: A Temperatura do motor está QUENTE A Inflação anual está SUBINDO RAPIDAMENTE O Colesterol está ALTO A Lógica Nebulosa é uma técnica que aproxima os Sistemas Artificiais do Sistema Humano

2 CONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico Conceitos Básicos Definição, Características e Formas de Imprecisão Conjuntos Fuzzy Propriedades, Formas de Representação e Operações Lógica Fuzzy Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado Fuzzy Engineering Quando e Como se utilizar Lógica Nebulosa CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges

3 Conjuntos Crisp x Fuzzy Conjuntos Crisp : Conjunto onde os indivíduos de um dado universo são divididos em 2 grupos distintos: MEMBROS aqueles que certamente pertencem ao conjunto, e NÃO-MEMBROS aqueles que certamente não pertencem ao conjunto. Exemplo: conjunto dos números naturais Conjuntos Crisp x Fuzzy Entretanto: Existem conjuntos cujo limite entre membro e não-membro é vago, com transição gradual entre esses dois grupos Exemplos: conjunto de pessoas altas conjunto de carros caros números muito maiores que 1

4 CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges Conjuntos Nebulosos

5 Conjuntos Crisp x Fuzzy Conjuntos Nebulosos: Atribui-se a cada indivíduo no universo um valor que representa o Grau de Pertinência deste indivíduo ao conjunto nebuloso. É a ponte que liga o conceito impreciso à sua modelagem numérica Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Pessoas Altas µ (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência Altura (m) Altura (m) CRISP FUZZY

6 Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Carros Caros µ (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência CRISP Preço (R$) FUZZY Preço (R$) Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Números Maiores que 1 µ (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência CRISP FUZZY

7 Conjuntos Crisp Conjunto A no Universo de Discurso U é definido através da lista de TODOS os seus membros ou pela identificação dos elementos x A U = conjunto dos valores possíveis para a variável A = { x / x satisfaça uma certa condição} µ(x) = 1 se x A 0 se x A Exemplos: Conjuntos Crisp U = todos os automóveis do Rio de Janeiro Sub-Conjuntos de U: azul azul cinza marrom marrom vermelho verde outra Nacional Impor tado 4 cilindros 6 cilindros 8 cilindros outros

8 Conjuntos Fuzzy Conjunto F no Universo de Discurso U com µ(x) [0,1] µ (x) medida do grau de similaridade de um elemento x em U com o subconjunto F importado nacional % de peças nacionais CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges

9 Conjuntos Nebulosos Representação: Um conjunto fuzzy F em U pode ser representado como um conjunto de pares ordenados de um elemento genérico x e seu grau de pertinência F = { (x, µ (x) ) / x F U } Geralmente só são representados os valores de x com µ (x) > 0 Conjuntos Nebulosos U Contínuo: U µ (x) / x F denota coleção de todos os pontos x U com função de pertinência µ (x) U Discreto: Σ U µ (x) / x F Σ denota a operação de União

10 Conjuntos Nebulosos 3 Componentes: Eixo x (n reais crescentes) que constituem o Domínio do conjunto fuzzy Eixo y, com valores entre 0 e 1 grau de pertinência ao conjunto Função de Pertinência (superfície) do conjunto, que conecta um elemento do domínio com o seu grau de pertinência Conjuntos Nebulosos Grau de Pertinência Domínio µ A (x) µ A (x) = f (x A) µ A Elemento do conjunto Função verdade ou de pertinência x

11 Conjuntos Nebulosos Grau de Pertinência Domínio µ A (x) µ A (x) = f (x A) µ A Elemento do conjunto Função verdade ou de pertinência x Conjuntos Nebulosos Exemplo: seja F = inteiros próximos de 10 U = {n inteiros de 1 a 20} F = 0.1/ / /9 + 1/ / / /13 Observações: Os inteiros não especificados possuem µ (x) = 0 A Os valores de µ A (x) são escolhidos exceto para µ A (x)=1.0, todos os outros valores podem ser modificados. A Função de Pertinência, neste caso específico, deve ser simétrica.

12 CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges PROPRIEDADES Altura: É o maio grau de pertinência permitido pela função de pertinência ( membership function )

13 PROPRIEDADES Normalização: Um certo conjunto fuzzy é normal se a sua altura for igual a 1 Forma normal mínima se pelo menos um elemento tem µ (x) =1 Forma normal máxima se pelo menos um elemento tem µ(x) = 1 e outro elemento tem µ(x) = 0 Para um bom desempenho, os conjunto fuzzy devem ser normalizados PROPRIEDADES Domínio do Conjunto Fuzzy: É o universo total de valores possíveis para os elementos de um conjunto depende do contexto Altas Meia-Idade Domínio Aberto 1.80m 45 Domínio Fechado

14 PROPRIEDADES Universo de Discurso: É o espaço fuzzy completo de variação de uma variável do modelo. Temperatura Frio Média Quente Muito Quente PROPRIEDADES Universo de Discurso: É o espaço fuzzy completo de variação de uma variável do modelo. Temperatura Frio Média Quente Muito Quente Universo de Discurso para a variável do modelo TEMPERATURA é de 100 a 360

15 PROPRIEDADES Support do Conjunto: É a área efetiva do domínio de um conjunto fuzzy que apresenta valores de µ (x) > 0 µ (x) Pesado Suporte Domínio kg Observação: PROPRIEDADES O conjunto Fuzzy cujo support é um único ponto em U, com valor de µ (x) = 1, é chamado de Conjunto Singleton µ (x) Igual a 10 10

16 PROPRIEDADES Conjunto α-cut: É uma restrição (limite) imposta ao domínio, baseada no valor de α Contém todos os elementos do domínio que possuam µ(x) acima de um certo valor de α µ(x) α α-cut fraco µ(x) > α α-cut forte PROPRIEDADES Conjunto α-cut: É útil para as funções com longos tails, que tendem a possuir valores muito baixos de µ(x) por um domínio extenso ajuda a reduzir ruído µ (x) pesado α -cut = cut do conjunto pesado é, então, de 100 a 140 kg kg

17 PROPRIEDADES Conjunto α-cut: Idade Criança Jovem Adulto Velho Conjuntos α-cut do conjunto VELHO: velho.2 = {30,40,50,60,70,80} velho.8 = {60,70,80} velho 1. 0 = {70,80} SISTEMA FUZZY Fornecidas por especialistas ou extraídas de dados numéricos Para ativar as regras REGRAS Para fornecer a saída precisa X Entradas precisas FUZZIFICADOR Conjuntos nebulosos de entrada INFERÊNCIA DEFUZZIFICADOR Conjunto nebuloso de saída y Saída precisa Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets Determina como as regras são ativadas e combinadas

18 Exemplo do Guindaste FUZZIFICADOR

19 Conjuntos Nebulosos Variáveis de Entrada: distância ângulo Variável de Saída: Potência Ângulo Variáveis de Entrada

20 Distância Ângulo Variáveis de Entrada Potência Variável de Saída

21 MÓDULO DE REGRAS Exemplos: REGRAS FUZZY Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High

22 INFERÊNCIA Dados de Entrada: distância 12 jardas ângulo -4 REGRA NÚMERO 1 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium.15 12

23 REGRA NÚMERO 1 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 1: Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium µ LONGE (x) = 0.15 µ ZE RO (x) = 0.7 µ longe zero = 0.15

24 INFERÊNCIA - Consequente Como o antecedente é verdadeiro com grau de pertinência 0.15, o consequente deve ter no máximo um grau de veracidade de INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium 0.15

25 REGRA NÚMERO 2 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High REGRA NÚMERO 2 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High

26 INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 2: Se DISTÂNCIA = Far Então POTÊNCIA = Pos_High e ÂNGULO = Neg_Small µ LONGE (x) = 0.15 µ ZE RO (x) = 0.25 µ longe small = 0.15 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High 0.15

27 REGRA NÚMERO 3 Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High REGRA NÚMERO 3 Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High

28 INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 3: Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High µ LONGE (x) = 0.85 µ ZE RO (x) = 0.25 µ longe small = 0.25 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High 0.25

29 INFERÊNCIA Composição União de TODAS as regras com Grau de ativação diferente de ZERO INFERÊNCIA Como é a UNIÃO, utiliza-se, geralmente o MÁXIMO

30 DEFUZZIFICADOR Transforma o conjunto nebuloso obtido pela Inferência e transforma em um valor preciso DEFFUZIFICADOR Um Método possível: Avalia-se os valores TÍPICOS de cada conjunto

31 INFERÊNCIA Pondera-se o valor típico com o seu grau de pertinência MM = (.15x x24) = 18.1 ( ) Média dos Máximos 24