Conjuntos Fuzzy. Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD. 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

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1 Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

2 Seção 1.1 Características dos Conjuntos Fuzzy 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

3 Teoria clássica dos conjuntos desenvolvida no século 19 por Georg Cantor, descreve como os conjuntos discretos podem interagir-se. Estas interações são chamadas de operações Conjuntos Fuzzy possuem propriedades bem definidas Estas propriedades e as operações são a base na qual os Conjuntos Fuzzy são usados para tratar com a incerteza de um lado e para representar o conhecimento do outro A Teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos conjuntos clássica onde um determinado elemento tem diferentes graus de pertinência 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

4 Seção 1.2 Operações com Conjuntos Fuzzy 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

5 Um conjunto fuzzy é geralmente representado como: µ A = (µ A ( x ) xi ( x ) i x i,,µ ( A x ) n x n ) onde A i é um par (elemento) do "grau de pertinência" que pertence a um universo do discurso finito: { x, x, } 2 A =, 1 x n Valor de pertinência Coordenada eixo horizontal (x) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

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7 Complemento Conjuntos Crips: quem não pertence ao conjunto? Conjuntos Fuzzy: quantos elementos não pertencem ao conjunto? Se A é o conjunto fuzzy, seu complemento A pode ser encontrado como: µ A (x) = 1 - µ A (x) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

8 Complemento Exemplo: Seja A conjunto fuzzy de pessoas jovens. Encontre o complemento não jovem definido como A A = (0.5/x 1, 0.7/x 2, 0/x 3 ) µ A (x 1 )= 1 - µ A (x 1 ) = = 0.5 µ A (x 2 )= 1 - µ A (x 2 ) = = 0.3 µ A (x 3 )= 1 - µ A (x 3 ) = 1-0 = 1 µ A (x) = 1 - µ A (x) A = (0.5/x 1, 0.3/x 2, 1/x 3 ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

9 Contenção Conjuntos Crips: quais conjuntos pertencem a quais outros conjuntos? Conjuntos Fuzzy: quais conjuntos pertencem a outros conjuntos? Um conjunto pode conter outros conjuntos. O menor deles é chamado de subconjunto. Nos conjuntos crisps, todos os elementos de um subconjunto pertencem inteiramente ao conjunto maior. Nos conjuntos fuzzy, entretanto, cada elemento pode pertencer menos ao subconjunto do que ao conjunto maior. Elementos do subconjunto fuzzy têm pertinências menores nele do que no conjunto maior. 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

10 interseção Conjuntos Crips: qual elemento pertence a ambos os conjuntos? Conjuntos Fuzzy: quanto de um elemento está em ambos os conjuntos? Uma interseção fuzzy é a pertinência mais baixa em ambos os conjuntos de cada elemento. A interseção fuzzy de dois conjuntos A e B no universo do discurso X: µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = min [µ A (x), µ B (x)], onde x X 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

11 Exemplo: Seja A conjunto fuzzy das pessoas jovens e B o conjunto das pessoas de meia-idade. Encontre A B. A = (0.5/x 1, 0.7/x 2, 0/x 3 ) B = (0.8/x 1, 0.2/x 2, 1/x 3 ) µ A B (x 1 ) = min (µ A (x 1 ), µ B (x 1 )) = min (0.5, 0.8) = 0.5 µ A B (x 2 ) = min (µ A (x 2 ), µ B (x 2 )) = min (0.7, 0.2) = 0.2 interseção µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = min[µ A (x), µ B (x)] µ A B (x 3 ) = min (µ A (x 3 ), µ B (x 3 )) = min (0, 1) = 0 A B = (0.5/x 1, 0.2/x 2, 0/x 3 ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

12 União Conjuntos Crisps: qual elemento que pertence a um ou ao outro conjunto? Conjuntos Fuzzy: quanto de um elemento está em um ou no outro conjunto? A união fuzzy é o valor de maior pertinência do elemento nos dois conjuntos A união fuzzy de dois conjuntos A e B no universo do discurso X: µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = max [µ A (x), µ B (x)], onde x X 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

13 Exemplo: Seja A conjunto fuzzy das pessoas jovens e B o conjunto das pessoas de meia-idade. Encontre A B. A = (0.5/x 1, 0.7/x 2, 0/x 3 ) B = (0.8/x 1, 0.2/x 2, 1/x 3 ) µ A B (x 1 ) = max (µ A (x 1 ), µ B (x 1 )) = max (0.5, 0.8) = 0.8 µ A B (x 2 ) = max (µ A (x 2 ), µ B (x 2 )) = max (0.7, 0.2) = 0.7 União µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = max [µ A (x), µ B (x)] µ A B (x 3 ) = max (µ A (x 3 ), µ B (x 3 )) = max (0, 1) = 1 A B = (0.8/x 1, 0.7/x 2, 1/x 3 ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

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15 Seção 1.3 Propriedades dos Conjuntos Fuzzy 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

16 igualdade O conjunto fuzzy A é considerado igual ao conjunto fuzzy B, se e somente se: µ A (x) = µ B (x), x X Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) Portanto A = B 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

17 INclusão O conjunto fuzzy A está incluído em outro conjunto B (i.e. A B ) se: µ A (x) µ B (x), x X Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.5/1, 0.55/2, 1/3) Portanto A B 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

18 cardinalidade Cardinalidade de um conjunto fuzzy A, chamado CONTA SIGMA, é expressada como a soma dos valores da função de pertinência de A, µ A (x): card A = µ A (x 1 ) + µ A (x 2 ) + + µ A (x n ) = Σµ A (x i ), para i=1..n Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.5/1, 0.55/2, 1/3) Então card A = 1.8 card B = /10/14 Paulo C F de Oliveira

19 Conjunto fuzzy vazio Um conjunto fuzzy A é vazio se e somente se: µ A (x) = 0, x X Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0/1, 0/2, 0/3) Então A é vazio ( A = Ø ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

20 α -corte Um α-corte ou α-nível de um conjunto fuzzy A X é um conjunto qualquer A α X tal que: A α = {µ A (x) α, x X} Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/ /2 + 1/3) Então A 0.5 = {2,3} A 0.1 = {1,2,3} A 1 = {3} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

21 normalidade Um subconjunto fuzzy de X é chamado normal se existe pelo menos um elemento x X tal que µ A (x) = 1 Um subconjunto fuzzy que não é normal é chamado de subnormal. Todos os subconjuntos nítidos (crisps) exceto o vazio, são normais. Na teoria dos conjuntos fuzzy, o conceito de nulidade (vazio) essencialmente generaliza à subnormalidade 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

22 altura A altura de um subconjunto fuzzy A é o grau da mais alta pertinência de um elemento em A altura(a) = max x (µ A (x)) Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/ /2 + 1/3) Então altura(a) = 1 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

23 Núcleo O núcleo de A é o subconjunto discreto de X que contém todos os elementos com grau de pertinência: nuc(a) = {x µ A (x) = 1 e x X} Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/ /2 + 1/3) Então nuc(a) = {3} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

24 Suporte O suporte de A é o subconjunto discreto de X que contém todos os elementos com grau de pertinência: sup(a) = {x µ A (x) > 0 e x X} Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/ /2 + 1/3) Então sup(a) = {1,2,3} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

25 Operações matemáticas aa = { aµ A (x), x X } Seja a = 0.5, e A = {0.5/a, 0.3/b, 0.2/c, 1/d} então aa = {0.25/a, 0.15/b, 0.1/c, 0.5/d} A a = {µ A (x) a, x X} Seja a = 2, e A = {0.5/a, 0.3/b, 0.2/c, 1/d} então A a = {0.25/a, 0.09/b, 0.04/c, 1/d} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

26 Seção 1.4 Exemplos 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

27 Considere 2 subconjuntos fuzzy do conjunto X, onde X = {a,b,c,d,e} referidos como A e B, sendo: A = {1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e} B = {0.6/a, 0.9/b, 0.1/c, 0.3/d, 0.2/e} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

28 Suporte sup(a) = {a, b, c, d } sup(b) = {a, b, c, d, e } Núcleo nuc(a) = {a} nuc(b) = Ø Cardinalidade card(a) = = 2.3 card(b) = = /10/14 Paulo C F de Oliveira

29 Complemento A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e } A = { 0/a, 0.7/b, 0.8/c, 0.2/d, 1/e } União A B = {1/a, 0.9/b, 0.2/c, 0.8/d, 0.2/e } Interseção A B = { 0.6/a, 0.3/b, 0.1/c, 0.3/d, 0/e } 10/10/14 Paulo C F de Oliveira

30 aa Para a = 0.5 A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e } aa = {0.5/a, 0.15/b, 0.1/c, 0.4/d, 0/e} α-corte A 0.2 = {a, b, c, d} A 0.3 = {a, b, d} A 0.8 = {a, d} A 1 = {a} A a Para a = 2 A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e } A a = { 1/a, 0.09/b, 0.04/c, 0.64/d, 0/e } 10/10/14 Paulo C F de Oliveira