Teoria da Computação

Transcrição

1 Introdução Março

2 1 Noções e Terminologia Matemática

3 Conjuntos Um conjunto é um grupo de objetos, chamados elementos ou membros, representado como uma unidade. O conjunto { 3, 41, 57} possui os elementos 3, 41 e 57. A ordem dos elementos e a repetição dos mesmos não é considerada num conjunto. Operações: e / denotam a presença e não-presença de um elemento num conjunto, respectivamente. A operação entre dois conjuntos A e B define que A é um subconjunto de B.

4 Conjunto Infinito Um conjunto infinito contém uma quantidade infinita de elementos, representada pela notação.... Desta forma podem-se definir os conjuntos: N = { 1, 2, 3,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Para a escrita de conjuntos contendo elementos de acordo com alguma regra escrevemos: { n regra sobre n }

5 União, Interseção e Complemento Dados dois conjuntos A e B a união, escrita A B, é o conjunto da combinação dos elementos de A e B num único conjunto. A interseção, escrita A B, é o conjunto dos elementos que estão em ambos A e B. O complemento de A, descrito A, é o conjunto de todos os elementos sob consideração que não pertencem ao conjunto A.

6 Exercícios 1 Sejam os conjuntos A={x,y,z} e B={x,y} 1 A é um subconjunto de B? 2 B é um subconjunto de A? 3 O que é A B? 4 O que é A B? 5 O que é A B? 6 O que é o conjunto das partes de B? 2 Se C é um conjunto com c elementos, quantos elementos estão no conjunto das partes de C? Explique sua resposta.

7 Sequências e Uplas Uma sequência de objetos é uma lista destes objetos na mesma ordem. Além da ordem, as repetições de elementos também são consideradas numa sequência: ( 5, 15, 15, 30 ) Como os conjuntos, as sequências podem ser finitas ou infinitas, sendo que as sequências finitas são conhecidas como uplas. Desta forma, ( 5, 15, 15, 30 ) é uma 4-upla.

8 Sequências e Uplas Conjuntos e sequências podem aparecer como elementos de outros conjuntos ou sequências. O conjunto das partes de A é o conjunto de todos os subconjuntos de A. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. Exemplo: O conjunto N 2 é igual a N N. Ele consiste de todos os pares de números naturais. Pode-se também escrever: {(i, j) i, j 1}

9 Funções e Relações Uma função recebe uma entrada e produz uma saída. O conjunto das entradas possíveis para uma função é denominado domínio e as saídas de uma função pertencem ao conjunto contradomínio. f (a) = b Por exemplo, a função abs para o valor absoluto de um número toma um número x como entrada e retorna x se x for positivo, e em caso contrário retorna x. abs(2) = abs( 2) = 2 abs : Z Z

10 Funções e Relações Uma função com k argumentos é denominada k-aria sendo k a aridade da função. Um predicado ou propriedade é uma função cujo contradomínio é o conjunto { verdadeiro, falso }. Uma propriedade cujo domínio é um conjunto de k-uplas A A é chamada relação ou relação k-ária.

11 Exemplo de Relação Seja o jogo Tesoura-Pedra-Papel e a relação binária bate: bate Tesoura Papel Pedra Tesoura Falso Verdadeiro Falso Papel Falso Falso Verdadeiro Pedra Verdadeiro Falso Falso Exercício: Desenhe um grafo direcionado para a relação bate.

12 Cadeias e Linguagens Um alfabeto é um conjunto finito não vazio de símbolos. Σ 1 = {0, 1} Σ 2 = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, w, y, x} Γ = {0, 1, x, y, z} Uma cadeia sobre um alfabeto é uma sequência finita de símbolos daquele alfabeto. Se Σ 1 = {0, 1}, então é uma cadeia sobre Σ 1.

13 Cadeias e Linguagens Se w é uma cadeia sobre um alfabeto Σ, o comprimento de w, escrito w é o número de símbolos que ela contém. A cadeia de comprimento 0 (zero) é chamada cadeia vazia e é representada pelo símbolo ɛ. O reverso de w, escrito w R é obtido escrevendo-se w na ordem inversa (w n w n 1... w 1 ). A cadeia z é uma subcadeia de w se ela aparece consecutivamente dentro de w.

14 Cadeias e Linguagens Se temos a cadeia x de comprimento m e a cadeia y de comprimento n, a concatenação de x e y, escrita xy é a cadeia obtida concatenando-se y ao final de x: x 1... x m y 1... y n A ordenação lexicográfica de cadeias é a mesma ordenação do dicionário, exceto que as cadeias mais curtas precedem as cadeias mais longas. Para o alfabeto {0,1}: (ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,... ) Uma linguagem é um conjunto de cadeias.

15 Lógica Booleana A Lógica Booleana é um sistema matemático construído em torno dos dois valores: verdadeiro e falso. A eletrônica digital e o desenho dos computadores têm como base a lógica booleana. A operação de conjunção é designada com o símbolo. A conjunção de dois valores é 1 se ambos forem 1. A disjunção entre dois valores booleanos, designada pelo símbolo, é 1 se um dos valores for 1.

16 Bibliografia Utilizada Michael Sipser - Introdução à. Thomson Learning, 2007.