Introdução aos Conjuntos

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1 Introdução aos Conjuntos Nebuloso (Fuzzy) Prof. Matheus Giovanni Pires EXA 868 Inteligência Artificial Não-Simbólica B niversidade Estadual de Feira de Santana Informações imprecisas Termos imprecisos são muito utilizados pelos seres humanos para analisar/quantificar uma determinada situação. Exemplos O tempo está muito ensolarado. Hoje está um pouco nublado, vou levar o meu guardachuva. Esta sala está muito quente, vou aumentar um pouco a potência do ar-condicionado. Garçom, traga-me uma picanha mal passada. 3 4 Informações Imprecisas Quando o ser humano utiliza termos, tais como, um pouco, mais ou menos, não muito, etc., ele infere um grau de verdade, ou seja, entre as certezas de ser ou não ser, existem infinitos graus de incerteza. Os valores que definem o grau de verdade de uma proposição podem ser definidos pelo contexto social, linguístico ou uma base de referência experimental. Aristóteles, filósofo grego (384 3 A.C.), foi o fundador da lógica e estabeleceu um conjunto de regras rígidas para que as conclusões pudessem ser aceitas logicamente. O emprego da lógica de Aristóteles é sintetizado em uma linha de raciocínio baseada em premissas e conclusões. ma declaração é falsa ou verdadeira, não podendo ser ao mesmo tempo parcialmente verdadeira ou parcialmente falsa. A Lógica Proposicional e a Lógica de Predicados são conhecidas como Lógicas Clássicas. 5 6 Vários problemas reais não podem ser resolvidos pela Na os objetos são classificados em categorias bem definidas m objeto pertence ou não a uma determinada categoria Exemplo: conjunto pessoa alta μ A (x),,7,9, se x,9 μa( x) = se x <,9 O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto / não alto) é denominado de paradoxo Sorites - conhecido também por paradoxo do monte, com "monte" no sentido de grande quantidade, atribuído ao filósofo grego g Eubulides de Mileto, que era um adversário de Aristóteles O paradoxo se enuncia da seguinte forma: Quando um monte de areia deixa de ser um monte de areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?

2 7 8 Lógica Nebulosa (Fuzzy) A Lógica Nebulosa é baseada na teoria dos Conjuntos Nebulosos definida por Lotfi A. Zadeh, em 965. Fuzzy Sets, Information and Control, vol.8, pp , 965. Os conjuntos nebulosos são usados para traduzir em termos matemáticos a informação imprecisa expressa por um conjunto de regras linguísticas. Princípio da Incompatibilidade (973) Lotfi A. Zadeh À medida que a complexidade de um sistema aumenta, nossa habilidade de fazer afirmações precisas e que sejam significativas acerca deste sistema diminui até que um limiar é atingido, além do qual precisão e significância (ou relevância) tornam-se quase que características mutuamente exclusivas. 9 m conjunto nebuloso é definido como uma coleção de objetos com valores de pertinência entre zero (exclusão completa) e um (inclusão completa). Os valores de pertinência expressam graus de compatibilidade dos objetos com as propriedades p ou características distintas da coleção. Conjuntos nebulosos são formalmente caracterizados por uma função de pertinência que mapeia os elementos do domínio, espaço ou universo de discurso no intervalo [,]. niverso de discurso é o domínio onde todos os valores são definidos. Este mapeamento é formalmente definido como: μ A (x) : [, ]; x μ A (x) representa o grau de pertinência do elemento x, pertencente ao universo de discurso, em relação ao conjunto nebuloso A. Os gráficos das funções podem ter diferentes formas e propriedades. As mais comuns são Triangular, Trapezoidal e Gaussiana. Função Triangular, se x a x a, se x [ a, m] m a A ( x ) = b x, se x [ m, b] b m, se x b onde m é um valor modal, e a e b denotam o limite inferior e superior, respectivamente, para valores não nulos de A(x). Na Figura é ilustrado o gráfico de uma função triangular, sendo a = -,5, b =,5 e m =. Função Trapezoidal se x < a x a se x [ a, m] m a Ax ( ) = se x [ m, n] b x se x [ n, b] b n se x > b onde m e n são valores modais, e a e b denotam o limite inferior e superior, respectivamente, para valores não nulos de A(x). Na Figura é ilustrado o gráfico de uma função trapezoidal, sendo a = -,5, m =, n =,5 e b = 5,.

3 3 4 Função Gaussiana Exemplo: conjunto nebuloso pessoa alta μ A (x) A ( x ) = e onde k > k( x m),,7,9, Na Figura é ilustrada a forma de uma função gaussiana, com m = e k =. niverso de discurso 5 6 Definição. Conjunto Nebuloso Normalizado [A NORM ] m conjunto nebuloso A é normalizado se pelo menos um de seus elementos possui grau de pertinência igual a, ou seja, μ A (x) =, se há x Definição. Altura de um Conjunto Nebuloso [ALT(A)] Corresponde ao maior grau de pertinência assumido por um de seus elementos ALT(A) = MAX xi { μ A (x i ) } Definição 3. Suporte de um Conjunto Nebuloso [SPP(A)] Conjunto de todos os elementos de um conjunto A, que possuem graus de pertinência maiores que zero. SPP(A) ) = { x / μ A () (x) > } Definição 4. Conjunto Nebuloso Convexo m conjunto nebuloso é convexo se, e somente se, for observada a seguinte desigualdade: μ A (λx +(- λ)x )) MIN [ μ A (x ); ] λ 7 8 Definição 4. Conjunto Nebuloso Convexo μ A (λx +(- λ)x )) MIN [ μ A (x ); ] μ A (x ) μ A (x ) μ A (x ) x x x x x x Ou seja, escolhidos dois pontos, x e x, todos os elementos do intervalo entre eles deve ter grau de pertinência maior ou igual ao mínimo grau de pertinência entre x e x. Definição 5. Cardinalidade de um Conjunto Nebuloso [CARD(A)] É a soma dos graus de pertinência de todos os elementos de A CARD ( A ) = μ ( x ) A x Exemplo: seja o conjunto nebuloso A definido por: A =./ +.3/ +.6/3 +./4 +.6/5 +./6 X = {,, 3, 4, 5, 6} CARD(A) =.8 3

4 9 Definição 6. Corte-α em Conjuntos Nebulosos m corte-α em um conjunto nebuloso A é especificado por um conjunto crisp definido por: A α = { x / μ A (x) α} Exemplo : seja o conjunto nebuloso A definido por: A =.3/ +.7/ +./3 +.9/4 +.6/5 +./6 X = {,, 3, 4, 5, 6} A.4 = {, 3, 4, 5} A.65 = {, 3, 4} Definição 6. Corte-α em Conjuntos Nebulosos Exemplo : seja o conjunto nebuloso contínuo: A.5 = {3 x 6} ma variável linguística pode ser definida como uma variável cujos valores são palavras ou sentenças, ao invés de números. Definição Formal: (X, T(X),, G, M) X é o nome da variável T(X) é o conjunto de termos linguísticos Cada elemento de T(X) representa um rótulo L dos termos que a variável X pode assumir é o universo de discurso da variável linguística X G é a gramática para a geração dos termos ou rótulos M é a regra semântica que associa a cada rótulo L um conjunto nebuloso no universo, representando o seu significado M(L) Exemplo: considere a variável linguística velocidade X = velocidade. = [,5] Seja F(X) uma família de conjuntos nebulosos definidos no universo Então, a regra M mapeia T(X) F(X), ou seja, associa a cada rótulo do conjunto de termos T(X) a um conjunto nebuloso definido em A gramática G define como os termos primários {baixa, média, alta} serão associados aos modificadores {muito, pouco, maior, menor, ou, não} para formar os nomes dos termos não-primários T(velocidade) = {muito baixa, baixa, média, alta, muito alta} 3 4 Termos linguísticos Velocidade Variável linguística muito baixa baixa média alta muito alta Regra semântica Granularidade O número de valores linguísticos define a granularidade m número pequeno de termos linguísticos define uma partição esparsa ou grossa, ao passo que um número maior resulta numa partição fina muito baixa baixa média alta muito alta baixa alta x (velocidade) 5 Partição fina Partição grossa 4

5 5 6 Aplicações Metro Sendai: 6 estações e 3,5 km de trilhos, desenvolvido pela Hitachi. Lavadoras de roupa medem peso e sujeira da roupas para avaliar programa de lavagem. Máquinas para filmagens comparam imagens para diminuir tremidas. Aspiradores de pó medem quantidade de pó para variar potência de sucção. Fornos de microondas medem temperatura, umidade e peso dos alimentos para controlar tempo. Aplicações Ar condicionado mede a temperatura ambiente e preferências dos usuários. Sistemas ABS medem deslizamento e travamento das rodas para controlar freios. Mitsubishi desenvolveu sistema que controla suspensão, tração, transmissão e ar. Hitachi usa 5 regras para negociar bonds e mercados futuros. Yamaichi usava sistema com centenas de regras para negociar ações. Fujitec desenvolveu um controle de elevadores para reduzir tempo de espera. 5