1. Conjuntos Fuzzy - Fundamentos. Sistemas Nebulosos

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1 Sistemas Nebulosos Heloisa de Arruda Camargo. Conjuntos Fuzzy - Fundamentos. Conceitos básicos de conjuntos fuzzy.2 Operações em conjuntos fuzzy.3 Relações fuzzy.4 Aritmética fuzzy.5 Variáveis linguísticas 2. Conceitos básicos de conjuntos fuzzy Conjunto convencional (conjunto binário, conjunto crisp ) pode ser definido por: Função característica: enumeração {2, 4, 6, 8,,...2} propriedade dos elementos A = {x Ν x é par} B = {x Ν - x 2} função caracterísitca 3 A : {, } elementos do conjunto universo pertencem totalmente ao conjunto A: A(x) = ou não pertencem ao conjunto: A(x) = 4

2 Conjuntos fuzzy Conjuntos fuzzy Função de pertinência A: [,] - conjunto base A - conjunto fuzzy elementos do conjunto base pertencem ao conjunto com um certo grau, que usualmente varia entre e. 5 Função de pertinência mapeia elementos do conjunto base em um número real entre e,8 A: [,] x p A 6 Representação de categorias Variável temperatura baixíssima baixa média alta altíssima Intervalos conjuntos fuzzy baixíssima baixa média alta altíssima [ ]( ]( ]( ]( ] baixíssima baixa média alta altíssima

3 Representações de funções de pertinência Representação gráfica Representação analítica Representação tabular Representação por lista Formas de conjuntos fuzzy (representação gráfica e analítica) A(x) = Triangulares, se x a (x-a)/(m-a), se x [a,m] (b-x)/(b-m), se x [m,b], se x b A a m b A(x; a, m, b) = max{min[(x-a)/(m-a),(b-x)/(b-m)],} 9 Formas de conjuntos fuzzy Formas de conjuntos fuzzy Trapezoidal, se x a (x-a)/(m-a), se x [a,m] A Gaussiana A(x) = e k (x-m)2 A(x) =, se x [m,n] (b-x)/(b-n), se x [n,b] onde k >, se x > b a m n b m k A(x; a, m, n,b) = max{min[(x-a)/(m-a),, (b-x)/(b-m)],} 2

4 Formas de conjuntos fuzzy Formas de conjuntos fuzzy Função tipo -exponencial A(x) = + k(x-m) 2 FunçãoΓ, se x a A(x) = -e k(x-a)2 se x > a A k >, ou A(x) = k(x-m)2 + k(x-m) 2 k > m A(x) =, se x a k(x-a) 2 se x > a + k(x-a) 2 a k onde k > 3 4 Formas de conjuntos fuzzy Representação tabular Função S, se x a 2((x-a)/(b-a)) 2, se x [a,m] A(x) = -2((x-b)/(b-a)) 2, se x [m,b] A Para conjuntos base finitos (discretizados) Ex: conjunto base contínuo: T = [,4] conjunto base discretizado: TD = {, 5,, 5, 2, 25, 3, 35, 4}, se x > b m = a + b /2 : cruzamento da função S a b A tabela lista elementos do conjunto base e seus graus de pertinência, podendo omitir os que tem grau de pertinência zero 5 6

5 Exemplo Conceito de Temperatura alta Representação por lista Conjunto base: TD = {, 5,, 5, 2, 25, 3, 35, 4} Tabela Gráfico x TD TA(x) TA T 7 TA= {,, 5,,,, 5,, 2,.34, 25,.67, 3,, 35,, 4, } Notação de lista: TA = / + /5 + / +.34/2 +.67/25 + /3 + /35 + /4 Ou: TA =.34/2 +.67/25 + /3 + /35 + /4 8 Notações Conceitos relacionados a conjuntos fuzzy Universos finitos = {x, x 2,., x n } A = {(a i /x i ) x i ε } onde a i = A(x i ) i =,, n Corte-α (α-cut) A α = {x A(x) α} A = a /x + a 2 /x a n /x n = Σ i=,n a i /x i ou na forma de vetor: A = [a a 2.a n ] Universos contínuos Corte-α forte (strong α-cut) A α+ = {x A(x) > α } Conjunto de níveis de A ΛA = {α A(x) = α para algum x } A(x) = 9 x a/x 2

6 Conceitos Operações simples sobre conjuntos fuzzy Suporte de um conjunto fuzzy A Conjunto binário que contém todos os elementos de que tem grau de pertinência diferente de zero em A Normalização Norm_A(x) = A(x) / h(a) Altura h(a) de um conjunto fuzzy A Maior grau de pertinência obtido por qualquer elemento do conjunto Conjunto Normal Um conjunto fuzzy A é Normal quando h(a) = Concentração valores de pertinência se tonam relativamente menores Con_A(x) = A 2 (x) Dilatação valores de pertinência se tonam relativamente maiores Dil_A(x) = A.5 (x) 2 22 Operações simples sobre conjuntos fuzzy Generalização de concentração: Con_A(x) = A p (x) p> Generalização de concentração: Dil_A(x) = A r (x) r (,) Intensificação de contraste valores menores que ½ diminuem e os maiores aumentam Int_A(x) = 2A 2 (x), se A(x).5 Relações básicas igualdade e inclusão Igualdade Conjuntos fuzzy A e B A = B see A(x) = B(x) Inclusão Conjuntos fuzzy A e B A B see A(x) B(x) -2(-A(x)) 2, caso contrário 23 24

7 .2 Operações em Conjuntos Fuzzy Operações Padrão Operações padrão Complemento Fuzzy Intersecção Fuzzy União Fuzzy conjunto base Complemento: A (x) = A(x) Operações generalizadas T-normas e Intersecção generalizada T-conormas e União generalizada Dualidade e leis de De Morgan Intersecção: (A B) (x) = min(a(x), B(x)) = A(x) B(x) União: Operadores de Agregação 25 (A B) (x) = max(a(x), B(x)) = A(x) B(x) 26 Operações Padrão Complemento Padrão A (x)=-a (x) Exemplo Jovem:A Adulto:A 2 Terceira Idade:A 3 Jovem:A Adulto:A 2 Terceira Idade:A A

8 Intersecção Padrão A A 2 (x)=a (x) A 2 (x) União Padrão A A 2 (x)=a (x) A 2 (x) Jovem:A Adulto:A 2 Terceira Idade:A 3 Jovem:A Adulto:A 2 Terceira Idade:A A A 2 A A Operações Generalizadas Operações generalizadas São as operações entre conjuntos (complemento, interseção e união) que assumem formas diferentes das operações padrão No caso da interseção e união, são operações que utilizam outros operadores em substituição ao mínimo e máximo. Esses operadores pertencem a categorias denominadas genericamente por normas triangulares, as quais garantem que propriedades de operações entre conjuntos serão satisfeitas Normas triangulares: fornecem modelos genéricos para as operações de intersecção e união de conjuntos fuzzy Normas triangulares (t-normas) : intersecção Co-normas triangulares (s-normas): união 3 32

9 Normas Triangulares (t-normas) Operação binária t: [,] 2 [,] que satisfaz as propriedades: Comutatividade: x t y = y t x Exemplos de t-normas: Mínimo: x t y = min(x,y) Produto algébrico: x t 2 y = xy Diferença limitada: x t 3 y = max(, x + y ) Associatividade: x t (y t z) = (x t y) t z Monotonicidade: se x y e w z, então x t w y t z x se y = Interseção drástica: x t 4 y = y se x = caso contrário Relações entre as t-normas: x t 4 y x t y x t y Condições limite: t x =, t x = x Intersecção (produto) Jovem:A Adulto:A 2 Terceira Idade:A 3 A A 2 (x)=a (x). A 2 (x) Co-normas triangulares (snormas) Operação binária s : [,] 2 [,] que satisfaz as propriedades: Comutatividade: x s y = y s x A A 2 Associatividade: x s (y s z) = (x s y) s z Monotonicidade: se x y e w z, então x s w y s z Condições limite: x s = x, x s = 36

10 Exemplos de s-normas: União (soma algébrica) Máximo: x s y = max(x,y) Jovem:A Adulto:A 2 Terceira Idade:A 3 Soma algébrica: x s 2 y = x + y xy Soma limitada: x s 3 y = min(, x + y) x se y = União drástica: x s 4 y = y se x = caso contrário A A 2 A A 2 (x)=a (x)+a 2 (x)-(a (x).a 2 (x)) Relações entre as s-normas: x s y x s y x s 4 y Características das operações padrão Intersecção Padrão (com operador min): produz o maior Conjunto Fuzzy entre todos os produzidos por todas as possíveis intersecções (t-normas) União Padrão (com operadro max) : produz o menor Conjunto Fuzzy entre todos os produzidos por todas as possíveis uniões (s-normas) São operações idempotentes: x t x = x e x s x=x (são as únicas operações idempotentes entre as t-normas e s-normas) Dualidade e leis de De Morgan Para cada t-norma existe uma s-norma dual: x s y = (-x) t (-y) e x t y = (-x) s (-y) Escrevendo na forma: - x s y = (-x) t (-y) e - x t y = (-x) s (-y) Temos as leis de de Morgan: (A B) = A B e (A B) = A B 39 4

11 Operadores de agregação Operação de agregação sobre conjuntos fuzzy: combinam uma coleção de conjuntos fuzzy para produzir um único conjunto fuzzy É definida por h : [,] n [,] Satisfazendo: Na agregação de conjuntos fuzzy A, A 2,..., A n, a função h produz um conjunto fuzzy A operando sobre os graus de pertinência dos conjuntos dados para cada x, ou seja: A(x) = h(a (x), A 2 (x),..., A n (x)) Condições limite: h(,..., ) = e h(,..., ) = Monotonicidade: para todo x OBS: interseção e união fuzzy são operações de h(a ) h(b,..., b n ) se a i b, i =,..., n i agregação 4 42 Operadores de média São operadores que dão resultados entre a interseção fuzzy padrão (min) e a união fuzzy padrão (max) Operadores de média generalizada Classe de operadores de média que cobrem todo o intervalo entre as operações min e max. Definidos por: min (a, a 2 ) h(a, a 2 ) max (a, a 2 ) h p (a ) = (/n (a p + a 2p a np )) /p p R, p São operadores idempotentes: h(a, a,..., a) = a A função h p representa uma classe parametrizada de operadores de agregação contínuos, simétricos e idempotentes. O parâmetro p distingue os operadores de média 43 44

12 Operadores de média: Média aritmética (p = ) h(a ) = /n (a + a a n ) Média harmônica ( p = -) h(a ) = n / (/a + /a /a n ) Média geométrica ( p ) h(a ) = (a a 2... a n ) /n Operadores de média ponderados ordenados (OWA) Outra classe de operadores de média que cobrem o intervalo entre as operações de min e max Seja w = (w,..., w n ) vetor de pesos tal que w w n = Seja a seqüência de valores {a i } i=,..., n ordenada como: a a 2... a n A operação OWA associada com w é a função h w (a, a 2 ) = w a + w 2 a w n a n Alguns operadores OWA ) w = (,,..., ) operador de mínimo h w (a, a 2 ) = min(a,a 2,...,a n ) 2) w = (,,..., ) operador de máximo h w (a, a 2 ) = max(a,a 2,...,a n ) 3) w = (/n, /n,..., /n) operador de média padrão Relação entre operadores de média e normas triangulares Para um operador de média h vale a inequação: min(a ) h(a ) max(a ) para toda n-upla a Todos os operadores de agregação entre a interseção fuzzy padrão e a união fuzzy padrão (operadores de média) são idempotentes Estes são os únicos Operadores de Agregação que são idempotentes h(a ) = /n (a + a a n ) 47 48

13 Escopo dos operadores de agregação.3 Relações Fuzzy i min Operadores de intersecção (Associativos) min Operadores de média (Idempotentes) max Operadores de união (Associativos) u max Definição de relação fuzzy Operações sobre relações: projeção e extensão cilíndrica Relações fuzzy binárias Composição de relações fuzzy Algumas classes de relações fuzzy 49 5 Definição de Relação Fuzzy Relações convencionais (crisp) Relações representam a presença ou ausência de associação, interação ou interconexão entre os elementos de dois ou mais conjuntos Relação entre conjuntos, 2,..., n subconjunto do produto cartesiano dos conjuntos i A relação é também um conjunto Função característica: R(x, x 2,..., x n ) = see x, x 2,..., x n R caso contrário 5 Exemplo Relação convencional = {inglês, francês} Y = {dolar, libra, franco, marco} Z = {USA, França, Canadá, Inglaterra, Alemanha} R(, Y, Z) = { inglês, dolar, USA, francês, franco, França, inglês, dolar, Canadá, francês, dolar, Canadá, inglês, libra, Inglaterra } 52

14 Relações Fuzzy Conjuntos fuzzy definido no produto cartesiano de conjuntos convencionais, 2,..., n onde as t-uplas x, x 2,..., x n podem ter graus de pertinência variados na relação = {a, b, c} Y = {, 2} Representação matricial = {NY, Paris} Y = {Beijing, NY, Londres} Relação nebulosa representando muito longe: NY Paris Χ Y = { (a, ), (a, 2), (b, ), (b, 2), (c, ), (c, 2) } A =./(a,) +.6/(a,2) +.9/(b,) + /(b,2) + /(c,) +,2/(c,2) Beijing NY Londres Produto cartesiano de conjuntos fuzzy A e B conjuntos fuzzy sobre e Y A Χ B (produto cartesiano de A e B) é uma relação fuzzy T no conjunto Χ Y onde T(x, y) = min [A(x), B(y)] = {a, b, c} Y = {, 2, 3} A = /a +.6/b +.3/c B = / +.5/2 + /3 A Χ B = /(a,) +.5/(a,2) + /(a,3) +.6/(b,) +,5/(b,2) + /(b,3) +.3/(c,) +.3/(c,2) + /(c,3) 55 Operações sobre relações extensão cilíndrica Seja A conjunto fuzzy sobre Extensão cilíndrica de A para Χ Y : Relação fuzzy em Χ Y definida por  = A Χ Y tal que  (x,y) = A (x) Χ Y(y) = A (x) = A(x) = {a, b, c} Y = {, 2, 3} A = /a +.6/b +.3/c  = A Χ Y = /(a,) + /(a,2) + /(a,3) +.6/(b,) +.6/(b,2) +.6/(b,3) +.3/(c,) +.3/(c,2) +.3/(c,3) 56

15 Projeção A relação fuzzy sobre Χ Y Projeção de A em : Conjunto fuzzy A de A = Proj A tal que A (x) = Max y [A(x,y)] = {a, b, c} Y = {, 2, 3} A = /(a,) +.6/(a,2) +.4/(a,3) +.5/(b,) +.8/(b,2) +.2/(b,3) +.3/(c,) +.3/(c,2) +.3/(c,3) Proj A = /a +.8/b +.3/c Relações fuzzy binárias São generalizações de funções R(,Y) pode associar a cada elemento de dois ou mais elementos de Y Operações básicas de funções (inversa, composição) são aplicáveis a relações Proj Y A = / +.8/2 +.3/ Relações fuzzy binárias Relação fuzzy R(,Y) Domínio de R: conjunto fuzzy em dom R(x) = max y Y R(x,y) Co - domínio de R: conjunto fuzzy em y Co-dom R(y) = max x R(x,y) Composição de relações fuzzy Sejam P(,Y) e Q(Y,Z) Composição padrão( ou composição max-min): R(,Z) = P(,Y) Q(Y,Z) R(x,z) = [P Q](x,z) = max y Y min[p(x,y),q(y,z)] para todo x e z Z Composição max-t: R(x,z) = [P Q](x,z) = max y Y t [P(x,y),Q(y,z)] inversa de R: relação fuzzy em Y Χ Outras composições: min-max, min-s R - (y,x) = R(x,y) 59 6

16 Composição de relações binárias em termos de matrizes de pertinência P = [p ik ], Q = [q kj ], R = [r ij ], tal que R = P Q A composição pode ser escrita na notação de matrizes: [r ij ] = [p ik ] [q kj ] onde r ij = max k min (p ik, q kj ) Operação equivalente a multiplicação de matrizes, onde as operações de produto e de soma são substituídas pelas operações de min e max Exemplo composição max-min na forma matricial a b c Y Z o f g h i = 3 Z f g h i P(,Y) Q(Y,Z) R(,Z) a b c 6 62 Composição de relações fuzzy binárias - representação gráfica P.3 Y a b c.6.9 Q.8 Z α β Junção de relações fuzzy binárias Operação sobre duas relações fuzzy binárias que produz triplas em vez de pares. Sejam P(,Y) e Q(Y,Z) Junção relacional de P e Q correspondente a composição max-min: R(,Y,Z) = P(,Y) Q(Y,Z) R(,Z) R(, α) = min[p(,a),q(a, α)]= min[.7,.6] =.6 R(x,y,z) = [P Q](x,y,z) = min[p(x,y),q(y,z)] R(, β) = max{min[p(,a),q(a, β)], min[p(,b),q(b, β)]} = max{min[.7,.8], min[.5,]} = para todo x, y Y e z Z

17 Algumas classes de Relações fuzzy R sobre Χ pode ter as propriedades: reflexiva, simétrica, transitiva Relações entre conjuntos convencionais que são reflexivas, simétricas e transitivas: relações de equivalência Relações entre conjuntos fuzzy que são reflexivas, simétricas, transitivas: relações de similaridade Relações entre conjuntos convencionais que são reflexivas e simétricas: relações de compatibilidade Relações entre conjuntos fuzzy que são reflexivas e simétricas: relações de proximidade 65