1. Conjuntos Fuzzy - Fundamentos. Sistemas Nebulosos

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1 Sistems Nebulosos Helois de Arrud Cmrgo. Conjuntos Fuzzy - Fundmentos. Conceitos básicos de conjuntos fuzzy.2 Operções em conjuntos fuzzy.3 Relções fuzzy.4 Aritmétic fuzzy.5 Vriáveis linguístics 2. Conceitos básicos de conjuntos fuzzy Conjunto convencionl (conjunto binário, conjunto crisp ) pode ser definido por: Função crcterístic: enumerção {2, 4, 6, 8,,...2} propriedde dos elementos A = {x Ν x é pr} B = {x Ν - x 2} função crcterísitc 3 A : {, } elementos do conjunto universo pertencem totlmente o conjunto A: A(x) = ou não pertencem o conjunto: A(x) = 4

2 Conjuntos fuzzy Conjuntos fuzzy Função de pertinênci A: [,] - conjunto bse A - conjunto fuzzy elementos do conjunto bse pertencem o conjunto com um certo gru, que usulmente vri entre e. 5 Função de pertinênci mpei elementos do conjunto bse em um número rel entre e,8 A: [,] x p A 6 Representção de ctegoris Vriável tempertur bixíssim bix médi lt ltíssim Intervlos conjuntos fuzzy bixíssim bix médi lt ltíssim [ ]( ]( ]( ]( ] bixíssim bix médi lt ltíssim

3 Representções de funções de pertinênci Representção gráfic Representção nlític Representção tbulr Representção por list Forms de conjuntos fuzzy (representção gráfic e nlític) A(x) = Tringulres, se x (x-)/(m-), se x [,m] (b-x)/(b-m), se x [m,b], se x b A m b A(x;, m, b) = mx{min[(x-)/(m-),(b-x)/(b-m)],} 9 Forms de conjuntos fuzzy Forms de conjuntos fuzzy Trpezoidl, se x (x-)/(m-), se x [,m] A Gussin A(x) = e k (x-m)2 A(x) =, se x [m,n] (b-x)/(b-n), se x [n,b] onde k >, se x > b m n b m k A(x;, m, n,b) = mx{min[(x-)/(m-),, (b-x)/(b-m)],} 2

4 Forms de conjuntos fuzzy Forms de conjuntos fuzzy Função tipo -exponencil A(x) = + k(x-m) 2 FunçãoΓ, se x A(x) = -e k(x-)2 se x > A k >, ou A(x) = k(x-m)2 + k(x-m) 2 k > m A(x) =, se x k(x-) 2 se x > + k(x-) 2 k onde k > 3 4 Forms de conjuntos fuzzy Representção tbulr Função S, se x 2((x-)/(b-)) 2, se x [,m] A(x) = -2((x-b)/(b-)) 2, se x [m,b] A Pr conjuntos bse finitos (discretizdos) Ex: conjunto bse contínuo: T = [,4] conjunto bse discretizdo: TD = {, 5,, 5, 2, 25, 3, 35, 4}, se x > b m = + b /2 : cruzmento d função S b A tbel list elementos do conjunto bse e seus grus de pertinênci, podendo omitir os que tem gru de pertinênci zero 5 6

5 Exemplo Conceito de Tempertur lt Representção por list Conjunto bse: TD = {, 5,, 5, 2, 25, 3, 35, 4} Tbel Gráfico x TD TA(x) TA T 7 TA= {,, 5,,,, 5,, 2,.34, 25,.67, 3,, 35,, 4, } Notção de list: TA = / + /5 + / +.34/2 +.67/25 + /3 + /35 + /4 Ou: TA =.34/2 +.67/25 + /3 + /35 + /4 8 Notções Conceitos relciondos conjuntos fuzzy Universos finitos = {x, x 2,., x n } A = {( i /x i ) x i ε } onde i = A(x i ) i =,, n Corte-α (α-cut) A α = {x A(x) α} A = /x + 2 /x n /x n = Σ i=,n i /x i ou n form de vetor: A = [ 2. n ] Universos contínuos Corte-α forte (strong α-cut) A α+ = {x A(x) > α } Conjunto de níveis de A ΛA = {α A(x) = α pr lgum x } A(x) = 9 x /x 2

6 Conceitos Operções simples sobre conjuntos fuzzy Suporte de um conjunto fuzzy A Conjunto binário que contém todos os elementos de que tem gru de pertinênci diferente de zero em A Normlizção Norm_A(x) = A(x) / h(a) Altur h(a) de um conjunto fuzzy A Mior gru de pertinênci obtido por qulquer elemento do conjunto Conjunto Norml Um conjunto fuzzy A é Norml qundo h(a) = Concentrção vlores de pertinênci se tonm reltivmente menores Con_A(x) = A 2 (x) Diltção vlores de pertinênci se tonm reltivmente miores Dil_A(x) = A.5 (x) 2 22 Operções simples sobre conjuntos fuzzy Generlizção de concentrção: Con_A(x) = A p (x) p> Generlizção de concentrção: Dil_A(x) = A r (x) r (,) Intensificção de contrste vlores menores que ½ diminuem e os miores umentm Int_A(x) = 2A 2 (x), se A(x).5 Relções básics iguldde e inclusão Iguldde Conjuntos fuzzy A e B A = B see A(x) = B(x) Inclusão Conjuntos fuzzy A e B A B see A(x) B(x) -2(-A(x)) 2, cso contrário 23 24

7 .2 Operções em Conjuntos Fuzzy Operções Pdrão Operções pdrão Complemento Fuzzy Intersecção Fuzzy União Fuzzy conjunto bse Complemento: A (x) = A(x) Operções generlizds T-norms e Intersecção generlizd T-conorms e União generlizd Dulidde e leis de De Morgn Intersecção: (A B) (x) = min(a(x), B(x)) = A(x) B(x) União: Operdores de Agregção 25 (A B) (x) = mx(a(x), B(x)) = A(x) B(x) 26 Operções Pdrão Complemento Pdrão A (x)=-a (x) Exemplo Jovem:A Adulto:A 2 Terceir Idde:A 3 Jovem:A Adulto:A 2 Terceir Idde:A A

8 Intersecção Pdrão A A 2 (x)=a (x) A 2 (x) União Pdrão A A 2 (x)=a (x) A 2 (x) Jovem:A Adulto:A 2 Terceir Idde:A 3 Jovem:A Adulto:A 2 Terceir Idde:A A A 2 A A Operções Generlizds Operções generlizds São s operções entre conjuntos (complemento, interseção e união) que ssumem forms diferentes ds operções pdrão No cso d interseção e união, são operções que utilizm outros operdores em substituição o mínimo e máximo. Esses operdores pertencem ctegoris denominds genericmente por norms tringulres, s quis grntem que proprieddes de operções entre conjuntos serão stisfeits Norms tringulres: fornecem modelos genéricos pr s operções de intersecção e união de conjuntos fuzzy Norms tringulres (t-norms) : intersecção Co-norms tringulres (s-norms): união 3 32

9 Norms Tringulres (t-norms) Operção binári t: [,] 2 [,] que stisfz s proprieddes: Comuttividde: x t y = y t x Exemplos de t-norms: Mínimo: x t y = min(x,y) Produto lgébrico: x t 2 y = xy Diferenç limitd: x t 3 y = mx(, x + y ) Associtividde: x t (y t z) = (x t y) t z Monotonicidde: se x y e w z, então x t w y t z x se y = Interseção drástic: x t 4 y = y se x = cso contrário Relções entre s t-norms: x t 4 y x t y x t y Condições limite: t x =, t x = x Intersecção (produto) Jovem:A Adulto:A 2 Terceir Idde:A 3 A A 2 (x)=a (x). A 2 (x) Co-norms tringulres (snorms) Operção binári s : [,] 2 [,] que stisfz s proprieddes: Comuttividde: x s y = y s x A A 2 Associtividde: x s (y s z) = (x s y) s z Monotonicidde: se x y e w z, então x s w y s z Condições limite: x s = x, x s = 36

10 Exemplos de s-norms: União (som lgébric) Máximo: x s y = mx(x,y) Jovem:A Adulto:A 2 Terceir Idde:A 3 Som lgébric: x s 2 y = x + y xy Som limitd: x s 3 y = min(, x + y) x se y = União drástic: x s 4 y = y se x = cso contrário A A 2 A A 2 (x)=a (x)+a 2 (x)-(a (x).a 2 (x)) Relções entre s s-norms: x s y x s y x s 4 y Crcterístics ds operções pdrão Intersecção Pdrão (com operdor min): produz o mior Conjunto Fuzzy entre todos os produzidos por tods s possíveis intersecções (t-norms) União Pdrão (com operdro mx) : produz o menor Conjunto Fuzzy entre todos os produzidos por tods s possíveis uniões (s-norms) São operções idempotentes: x t x = x e x s x = x (são s únics operções idempotentes entre s t-norms e s-norms) Dulidde e leis de De Morgn Pr cd t-norm existe um s-norm dul: x s y = (-x) t (-y) e x t y = (-x) s (-y) Escrevendo n form: - x s y = (-x) t (-y) e - x t y = (-x) s (-y) Temos s leis de de Morgn: (A B) = A B e (A B) = A B 39 4

11 Operdores de gregção Operção de gregção sobre conjuntos fuzzy: combinm um coleção de conjuntos fuzzy pr produzir um único conjunto fuzzy É definid por h : [,] n [,] Stisfzendo: N gregção de conjuntos fuzzy A, A 2,..., A n, função h produz um conjunto fuzzy A operndo sobre os grus de pertinênci dos conjuntos ddos pr cd x, ou sej: A(x) = h(a (x), A 2 (x),..., A n (x)) Condições limite: h(,..., ) = e h(,..., ) = Monotonicidde: pr todo x OBS: interseção e união fuzzy são operções de h(,..., n ) h(b,..., b n ) se i b, i =,..., n i gregção 4 42 Operdores de médi São operdores que dão resultdos entre interseção fuzzy pdrão (min) e união fuzzy pdrão (mx) Operdores de médi generlizd Clsse de operdores de médi que cobrem todo o intervlo entre s operções min e mx. Definidos por: min (, 2,..., n ) h(, 2,..., n ) mx (, 2,..., n ) h p (,..., n ) = (/n ( p + 2p np )) /p p R, p São operdores idempotentes: h(,,..., ) = A função h p represent um clsse prmetrizd de operdores de gregção contínuos, simétricos e idempotentes. O prâmetro p distingue os operdores de médi 43 44

12 Operdores de médi: Médi ritmétic (p = ) h(,..., n ) = /n ( n ) Médi hrmônic ( p = -) h(,..., n ) = n / (/ + / / n ) Médi geométric ( p ) h(,..., n ) = ( 2... n ) /n Operdores de médi ponderdos ordendos (OWA) Outr clsse de operdores de médi que cobrem o intervlo entre s operções de min e mx Sej w = (w,..., w n ) vetor de pesos tl que w w n = Sej seqüênci de vlores { i } i=,..., n ordend como: 2... n A operção OWA ssocid com w é função h w (, 2,..., n ) = w + w w n n Alguns operdores OWA ) w = (,,..., ) operdor de mínimo h w (, 2,..., n ) = min(, 2,..., n ) 2) w = (,,..., ) operdor de máximo h w (, 2,..., n ) = mx(, 2,..., n ) 3) w = (/n, /n,..., /n) operdor de médi pdrão Relção entre operdores de médi e norms tringulres Pr um operdor de médi h vle inequção: min(,..., n ) h(,..., n ) mx(,..., n ) pr tod n-upl,..., n Todos os operdores de gregção entre interseção fuzzy pdrão e união fuzzy pdrão (operdores de médi) são idempotentes Estes são os únicos Operdores de Agregção que são idempotentes h(,..., n ) = /n ( n ) 47 48

13 Escopo dos operdores de gregção.3 Relções Fuzzy i min Operdores de intersecção (Associtivos) min Operdores de médi (Idempotentes) mx Operdores de união (Associtivos) u mx Definição de relção fuzzy Operções sobre relções: projeção e extensão cilíndric Relções fuzzy bináris Composição de relções fuzzy Algums clsses de relções fuzzy 49 5 Definição de Relção Fuzzy Relções convencionis (crisp) Relções representm presenç ou usênci de ssocição, interção ou interconexão entre os elementos de dois ou mis conjuntos Relção entre conjuntos, 2,..., n subconjunto do produto crtesino dos conjuntos i A relção é tmbém um conjunto Função crcterístic: R(x, x 2,..., x n ) = see x, x 2,..., x n R cso contrário 5 Exemplo Relção convencionl = {inglês, frncês} Y = {dolr, libr, frnco, mrco} Z = {USA, Frnç, Cndá, Inglterr, Alemnh} R(, Y, Z) = { inglês, dolr, USA, frncês, frnco, Frnç, inglês, dolr, Cndá, frncês, dolr, Cndá, inglês, libr, Inglterr } 52

14 Relções Fuzzy Conjuntos fuzzy definido no produto crtesino de conjuntos convencionis, 2,..., n onde s t-upls x, x 2,..., x n podem ter grus de pertinênci vridos n relção = {, b, c} Y = {, 2} Representção mtricil = {NY, Pris} Y = {Beijing, NY, Londres} Relção nebulos representndo muito longe: NY Pris Χ Y = { (, ), (, 2), (b, ), (b, 2), (c, ), (c, 2) } A =./(,) +.6/(,2) +.9/(b,) + /(b,2) + /(c,) +,2/(c,2) Beijing NY Londres Produto crtesino de conjuntos fuzzy A e B conjuntos fuzzy sobre e Y A Χ B (produto crtesino de A e B) é um relção fuzzy T no conjunto Χ Y onde T(x, y) = min [A(x), B(y)] = {, b, c} Y = {, 2, 3} A = / +.6/b +.3/c B = / +.5/2 + /3 A Χ B = /(,) +.5/(,2) + /(,3) +.6/(b,) +,5/(b,2) + /(b,3) +.3/(c,) +.3/(c,2) + /(c,3) 55 Operções sobre relções extensão cilíndric Sej A conjunto fuzzy sobre Extensão cilíndric de A pr Χ Y : Relção fuzzy em Χ Y definid por  = A Χ Y tl que  (x,y) = A (x) Χ Y(y) = A (x) = A(x) = {, b, c} Y = {, 2, 3} A = / +.6/b +.3/c  = A Χ Y = /(,) + /(,2) + /(,3) +.6/(b,) +.6/(b,2) +.6/(b,3) +.3/(c,) +.3/(c,2) +.3/(c,3) 56

15 Projeção A relção fuzzy sobre Χ Y Projeção de A em : Conjunto fuzzy A de A = Proj A tl que A (x) = Mx y [A(x,y)] = {, b, c} Y = {, 2, 3} A = /(,) +.6/(,2) +.4/(,3) +.5/(b,) +.8/(b,2) +.2/(b,3) +.3/(c,) +.3/(c,2) +.3/(c,3) Proj A = / +.8/b +.3/c Relções fuzzy bináris São generlizções de funções R(,Y) pode ssocir cd elemento de dois ou mis elementos de Y Operções básics de funções (invers, composição) são plicáveis relções Proj Y A = / +.8/2 +.3/ Relções fuzzy bináris Relção fuzzy R(,Y) Domínio de R: conjunto fuzzy em dom R(x) = mx y Y R(x,y) Co - domínio de R: conjunto fuzzy em y Co-dom R(y) = mx x R(x,y) Composição de relções fuzzy Sejm P(,Y) e Q(Y,Z) Composição pdrão( ou composição mx-min): R(,Z) = P(,Y) Q(Y,Z) R(x,z) = [P Q](x,z) = mx y Y min[p(x,y),q(y,z)] pr todo x e z Z Composição mx-t: R(x,z) = [P Q](x,z) = mx y Y t [P(x,y),Q(y,z)] invers de R: relção fuzzy em Y Χ Outrs composições: min-mx, min-s R - (y,x) = R(x,y) 59 6

16 Composição de relções bináris em termos de mtrizes de pertinênci P = [p ik ], Q = [q kj ], R = [r ij ], tl que R = P Q A composição pode ser escrit n notção de mtrizes: [r ij ] = [p ik ] [q kj ] onde r ij = mx k min (p ik, q kj ) Operção equivlente multiplicção de mtrizes, onde s operções de produto e de som são substituíds pels operções de min e mx Exemplo composição mx-min n form mtricil b c Y Z f g h i o = Z f g h i P(,Y) Q(Y,Z) R(,Z) b c 6 62 Composição de relções fuzzy bináris - representção gráfic Junção de relções fuzzy bináris P.3 Y b c.6.9 Q.8 Z α β Operção sobre dus relções fuzzy bináris que produz tripls em vez de pres. Sejm P(,Y) e Q(Y,Z) Junção relcionl de P e Q correspondente composição mx-min: R(,Y,Z) = P(,Y) Q(Y,Z) R(,Z) R(, α) = min[p(,),q(, α)]= min[.7,.6] =.6 R(x,y,z) = [P Q](x,y,z) = min[p(x,y),q(y,z)] R(, β) = mx{min[p(,),q(, β)], min[p(,b),q(b, β)]} = mx{min[.7,.8], min[.5,]} = pr todo x, y Y e z Z

17 Relções fuzzy bináris sobre um único conjunto Um relção binári (crisp ou fuzzy) pode ser definid como um subconjunto de = 2 São denotds por R(,) ou R( 2 ) e chmds de grfos dirigidos ou dígrfos Forms de Representção: s mesms ds relções bináris geris e mis um digrm formdo por nós e rcos rotuldos N relção binári crisp dizemos que os elementos x, y estão relciondos por R ou pertencem relção R denotndo por xry ou <x,y> R N relção binári fuzzy dizemos que os elementos x, y estão relciondos por R com um certo gru, que é denotdo por R(x,y) Exemplo relção binári fuzzy Proprieddes ds relções bináris,7 2,9,3 3,8 4,7,5 x y R(x,y),7,3,7,9,8,5 Relções CRISP R(,) Reflexiv: see <x,x> R pr todo x Irreflexiv: Qundo propriedde nterior não vle pr todo x Anti-reflexiv: see <x,x> R pr todo x 67 68

18 Simétric: Se pr todo <x,y> R é verdde que <y,x> R sendo x, y Assimétric: Qundo propriedde nterior não é válid pr todo x, y Anti-simétric: Se sempre que <x,y> R e <y,x> R é verdde que x=y. Trnsitiv: Se sempre que <x,y> R e <y,z> R é verdde que <x,z> R Proprieddes pr relções bináris fuzzy Relção fuzzy binári R(,) Reflexiv: see R(x,x) = pr todo x Irreflexiv: qundo condição não é válid pr lgum x. Anti-reflexiv: qundo condição não é stisfeit pr todo x. 7 Simétric: see R(x,y) = R(y,x) pr todo x, y Assimétric: Qundo condição não é stisfeit pr todo x, y. Anti-simétric: Se R(x,y) = R(y,x) implic x=y pr todo x, y 72

19 Fechmento trnsitivo Mx-min Trnsitiv: mx y Y [R(x,y) R(y,z)] R(x,z) Mx-t trnsitiv: Substitui o o perdor mínimo pel t-norm t. O Fechmento trnsitivo de R é definido como trns(r) = R R 2... R Algoritmo pr encontrr o fechmento trnsitivo:. R = R (R R) 2. Se R R fç R=R e vá pr o psso. 3. Se R = R, pre Relções de equivlênci fuzzy ou relções de similridde Relções de equivlênci (crisp) são quels que são reflexivs, simétrics e trnsitivs. Pr cd elemento x do conjunto bse, todos os elementos relciondos com x formm um conjunto conhecido como clsse de equivlênci de R com relção x: A x = {y xry} A fmíli de tods s clsses de equivlênci definids por R e denotds por /R é um prtição de. Relções de similridde são relções fuzzy que são reflexivs, simétrics e trnsitivs b c d e,8 b,8 c,9,5 d,9,5 e,5,

20 Pr cd α-cut de R temos um relção de equivlênci crisp que represent presenç de similridde entre os elementos com gru α. Cd um dels form um prtição em. α= α=,9 α=,8 Arvore de prtição induzid pel relção R b b c c,d,b c,d e d e e Relções de comptibilidde e proximidde Relções de comptibilidde ou tolerânci (crisp) são quels que são reflexivs e simétrics. Um clsse de comptibilidde é um subconjunto A de tl que <x,y> R pr todo x, y, A. Um clsse de comptibilidde máxim é um clsse de comptibilidde que não está contid proprimente em nenhum outr clsse de comptibilidde. α=,5,b c,d,e Relções de similridde são relções fuzzy que são reflexivs e simétrics. Algums clsses de Relções fuzzy R sobre Χ pode ter s proprieddes: reflexiv, simétric, trnsitiv Um clsse de α-comptibilidde de R é um conjunto A tl que R(x,y) α pr todo x, y, A. 79 Relções entre conjuntos convencionis que são reflexivs, simétrics e trnsitivs: relções de equivlênci Relções entre conjuntos fuzzy que são reflexivs, simétrics, trnsitivs: relções de similridde Relções entre conjuntos convencionis que são reflexivs e simétrics: relções de comptibilidde Relções entre conjuntos fuzzy que são reflexivs e simétrics: relções de proximidde 8