significa ( x)[(x S P (x)) (P (x) x S)]

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1 Capítulo 2 Conjuntos e Contagem 2.1 Notação S = {2, 4, 6,... } (impreciso; conjuntos finitos) 1. 2 S 2. Se n S, então (n + 2) S S = {x x é um inteiro positivo par } S = {x P (x)} significa ( x)[(x S P (x)) (P (x) x S)] obs: A = B significa ( x)[(x A x B) (x B x A)] N=conjunto de todos os inteiros não negativos (0 N) Z=conjunto de todos os inteiros Q=conjunto de todos os números racionais R=conjunto de todos os números reais C=conjunto de todos os números complexos conjunto vazio: S = {} ou S = Exemplos: A = {x ( y)(y {0, 1, 2} e x = y 3 )} B = {x x N e ( y)(y N e x y)} C = {x x N e ( y)(y N x y)} 3

2 2.2 Relações entre conjuntos subconjunto: A B subconjunto próprio: A B A = B A B e B A conjunto de todos os subconjuntos de S (power set de S) Exemplo: se S = {0, 1}, então (S) = {0, {0}, {1}, {0, 1}} Problema: prove que, se S tem n elementos, então (S) tem 2 n elementos. Notação: 2 S 2.3 Operações em conjuntos operação binária : é uma operação binária em um conjunto S se, para todo par ordenado (x, y) de elementos de S, x y existe, é único e pertence a S. existe e é único (operação bem definida) x y S (S é fechado em relação à operação ) Exemplo: a soma, a subtração e a multiplicação são operações binárias em Z operação unária : para todo x S, x existe, é único e pertence a S. Exemplo: x definido por x = x é uma operação unária em Z (e em N?) 2.4 Operações com conjuntos união e interseção: sejam A, B (S). A união de A e B, denotada por A B é dada pelo conjunto {x x A ou x B}. A interseção de A e B, denotada por A B, é dada pelo conjunto {x x A e x B}. S é o conjunto universo ou universo do discurso. 4

3 diagramas de Venn. obs: se A B =, então A e B são ditos disjuntos. complemento de um conjunto: para um conjunto A p(s), o complemento de A, denotado A, é dado por: {x x S e x / A} obs (diferença entre dois conjuntos): A B = {x x A e x / B} produto cartesiano: sejam A e B subconjuntos de S. O produto cartesiano de A e B, denotado por A B é definido por: A B = {(x, y) x A e y B} notação: A n = A A A (n vezes) 2.5 Identidades A B = B A A B = B A comutatividade (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) associatividade A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) distributividade A = A A S = A elemento neutro A A = S A A = complemento obs: o dual não é coincidência 2.6 Cardinalidade conjuntos podem ser finitos ou infinitos. A cardinalidade de um conjunto finito de n elementos é denotada por S = n. um conjunto infinito que possui a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais é dito enumerável (caso contrário, é dito não enumerável). Um conjunto é dito contável se for finito ou enumerável (caso contrário, é dito não contável). 2.7 Princípio da multiplicação Se existem n 1 resultados possíveis para um primeiro evento e n 2 para um segundo, então existem n 1 n 2 resultados possíveis para uma seqüência dos 5

4 dois eventos. Exemplos: 1. Quantos números de telefone existem, mudando-se apenas os 4 últimos dígitos? 2. E se um dígito não puder ser repetido? 3. Sejam A e B conjuntos finitos. Quanto vale a cardinalidade de A B? 2.8 Princípio da adição Se A e B são eventos disjuntos com n 1 e n 2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento A ou B é n 1 + n 2. Exemplos: 1. Quantas escolhas existem para a compra de um veículo de uma concessionária que possui em estoque 23 automóveis e 14 caminhões? 2. Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então A B = A + B 3. Se A e B são conjuntos finitos, então A B = A A B ( A B = A B ) se B A Exemplo: Quantos números de telefone existem, onde os 4 últimos dígitos possuem pelo menos 2 repetidos? 2.9 Árvores de decisão Árvores de decisão enumeram o número de possibilidades (principalmente para problemas irregulares, onde o princípio da multiplicação não se aplica). Exemplo: Quantos resultados são possíveis de obter jogando-se 5 vezes uma moeda, sem que ocorram 2 caras consecutivas? 2.10 Princípio da inclusão e exclusão Dados n conjuntos finitos A 1,..., A n, n 2, temos 6

5 A 1 A n = A i A i A j + A i A j A k 1 i n 1 i<j n 1 i<j<k n + ( 1) n+1 A 1 A n 2.11 Princípio das casas de pombos Se mais de k itens são colocados em k caixas, então pelo menos uma caixa contém mais de 1 item. Exemplos 1. Quantas pessoas devem ser colocadas numa sala para garantir que duas delas tenham o nome iniciado com a mesma letra? 2. Se escolhermos 51 inteiros entre 1 e 100, então um deles tem que dividir algum outro. 7

6 Exercícios (Conjuntos e Contagem) 1. Seja n um inteiro positivo. Mostre que, em qualquer conjunto de n + 1 inteiros, existem pelo menos dois cujos restos são iguais quando divididos por n. 2. Quantos palíndromos de cinco letras são possíveis na língua portuguesa? 3. A seguinte tabela define uma operação entre elementos do conjunto S = {2, 5, 9}. Esta operação é uma operação binária? Justifique Prove que [A (B C)] ([A (B C)] (B C) ) =. 5. Prove que A B = A A B. 6. Usando o princípio da adição, prove que para quaisquer dois conjuntos A e B, A B = A + B A B. 7. Prove que (A) (B) = (A B). 8. Você está desenvolvendo um novo sabonete e contrata uma empresa que se utiliza da coleta de opiniões para pesquisar o mercado. O grupo afirma que, numa pesquisa com 450 consumidores, as seguintes propriedades foram destacadas como importantes para a compra de um sabonete: Cheiro 425 Facilidade em ensaboar 397 Ingredientes naturais 340 Cheiro e facilidade em ensaboar 284 Cheiro e ingredientes naturais 315 Facilidade em ensaboar e ingredientes naturais 219 Todos os três fatores 147 Você deveria confiar nesses resultados? Por quê? 9. Mostre que qualquer subconjunto S de {1, 2, 3,..., 12} contendo sete elementos possui dois subconjuntos cuja soma dos elementos é a mesma. 8

7 Algumas definições úteis: Um palíndromo é uma cadeia de caracteres que é lida da esquerda para direita da mesma forma que da direita para esquerda. 9