Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

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1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática Estruturas Algébricas Prof. M.Sc. Guilherme Luís Roëhe Vaccaro vaccaro@mat.pucrs.br Prof. M.Sc. Eliane Allgayer Canto Versão deste material: Porto Alegre, agosto de Este material é de apoio para a disciplina de Estruturas Algébricas, oferecida ao curso de Informática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, não tendo a pretensão de esgotar os assuntos aqui abordados, mas sim de enfocar os aspectos importantes para o uso em Informática. O relato de quaisquer erros ou outras sugestões e criticas construtivas será sempre bem-vindo. Não alterar este material!

2 Estruturas Algébricas i Sumário 1 Introdução e Conceitos Básicos Comentários Iniciais Conjunto, Elemento & Relação de Pertença Exemplos Notações Observações Importantes Formas de Representação de Conjuntos Por Extensão Por Compreensão Por Gráficos Por Diagramas de Venn Conjunto Vazio & Conjunto Universo Notações Observações Uma Propriedade Importante Intervalos 5 2 Relações Entre Conjuntos Inclusão Exemplos Propriedades Exemplos Observações Inclusão Estrita Exemplos Propriedades Igualdade Exemplos Propriedades 8 3 Operações Entre Conjuntos União Exemplos Propriedades Observação Importante Exemplos Interseção Exemplos Propriedades 11

3 Estruturas Algébricas ii Observação Importante Exemplos Propriedades Comuns à União e à Interseção Diferença Exemplos Propriedades Observação Importante Complementação Exemplos Propriedades Exemplos Uma Identidade Fundamental Leis de De Morgan Diferença Simétrica Exemplos Propriedades Exemplo 15 4 Produto Cartesiano Seqüências Ordenadas de Elementos Produto Cartesiano de Dois Conjuntos Definição Exemplos Propriedades Observação Importante Exemplos Observação: Produto Cartesiano de Três Conjuntos 19 5 Guia de Consulta Rápida Notação Propriedades das Relações Entre Conjuntos Propriedades Fundamentais das Operações Entre Conjuntos Propriedades Auxiliares das Operações Entre Conjuntos Propriedades do Produto Cartesiano 22 6 Exercícios 23 7 Respostas dos Exercícios 25

4 Estruturas Algébricas 1 1 Introdução e Conceitos Básicos 1.1 Comentários Iniciais Conjuntos são fundamentais para a formalização de qualquer teoria. Uma teoria é normalmente construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a um conjunto de elementos primitivos (que não precisam ser definidos). A partir destes elementos, e utilizando um conjunto de regras de inferência (tais como as leis e propriedades da Lógica Matemática), é criado um conjunto de propriedades, enunciados e provados através de teoremas. Em particular, em Informática e Ciência da Computação, a Teoria de Conjuntos apresenta-se das mais diversas formas: Como fundamento para a construção das Álgebras Booleanas, cerne da Computação Digital; Como fundamento teórico para o desenvolvimento e validação da Teoria de Bancos de Dados; Como fundamento teórico para o desenvolvimento de Linguagens Formais; Etc. 1.2 Conjunto, Elemento & Relação de Pertença Os conceitos primitivos da Teoria de Conjuntos são: Conjunto Elemento Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência) Não se pode definir um destes conceitos sem fazer referência aos demais. Com efeito: Um conjunto é uma reunião de elementos segundo uma característica comum; Um elemento é uma entidade que pertence a um conjunto; A relação de pertença indica se um elemento pertence a um conjunto ou não. Se o elemento pertence ao conjunto é porque possui a característica de define aquele conjunto, e vice-versa. Todos estes conceitos podem ser resumidos em uma expressão: um elemento pertence a um conjunto Exemplos São exemplos de conjuntos: (a). A = { a } (b). B = { 0, 3, 6, 9, 12, 15,... } (c). C = { 1, 2, 3, 4, 6, 12,... } (d). D = { Terra, Sol, Lua }

5 Estruturas Algébricas Notações A seguinte notação é a usual em Teoria de Conjuntos: Elementos: são normalmente representados por letras latinas minúsculas Exemplos: a, b, c,... Conjuntos: são normalmente representados por letras latinas MAIÚSCULAS Exemplos: A, B, C,... Relação de Pertença: é representada pelo símbolo, criado por Georg Cantor. x A significa o elemento x pertence ao conjunto A x A significa o elemento x não pertence ao conjunto A Observações Importantes A definição de um conjunto é sempre feita através de uma igualdade =. Quando definidos em termos de seus elementos, conjuntos são sempre representados por expressões entre chaves. Exemplo: A = { 1, 2, 3 } 1.3 Formas de Representação de Conjuntos Há diversas formas de representação de conjuntos. Algumas são mais adequadas para a compreensão de propriedades e características. Outras, são necessárias para a demonstração de teoremas, comprovação de propriedades, ou mesmo, para simplificação da representação Por Extensão Consiste em descrever, um a um, todos os elementos do conjunto. Em conjuntos com muitos ou mesmo infinitos elementos podem ser usadas expressões indicando a lei de formação dos elementos pertencentes ao conjunto Exemplos (a). A = { C++, Delphi, Smalltalk, Java,... } (b). B = { análise, projeto, implementação, teste, correção, término } (c). C = { 1, 3, 5 } (d). D = { N, R, Q, I, C } (e). E = { ( 2, sair da cama ), ( 4, acordar ), ( 3, escovar os dentes ), ( 1, abrir os olhos ) } (f). F = { a, e, i, o, u } (g). G = { (1, a), (3, b), (5, c) } Observações Pontos positivos: permite a visualização de todos os elementos do conjunto, facilitando raciocínios de inspeção. Pontos negativos: só é prática ao se trabalhar com conjuntos finitos e com poucos elementos.

6 Estruturas Algébricas Por Compreensão Consiste em descrever o conjunto através de uma propriedade lógica (uma proposição) comum a todos seus elementos Exemplos (a). C = { x / x N x é ímpar x 5 } (b). F = { z / z é múltiplo de 4 } (c). U = { T / T é conjunto } (d). G = { ( x, y ) / x R y = x + 1 } (e). Q = { x / x = n m m Z n Z* } = { n m / m Z n Z* } (f). S = { x / x N } ou, simplesmente, S = N (g). P = { k / k = 2 n n N } Observações Pontos positivos: sucinta, fácil de manipular, formal e útil para o desenvolvimento de raciocínios. Permite representar conjuntos com muitos (ou infinitos) elementos. Pontos negativos: não permite a visualização direta dos elementos, exige a determinação formal de uma proposição para a propriedade que define o conjunto Por Gráficos Consiste em descrever o conjunto através de gráficos cartesianos Exemplos (a). A = { x R / -1 x < 2 } -1 2 R (b). B = { ( x, y ) / x Z y R } R Z Observações Pontos positivos: São úteis para a compreensão de propriedades gráficas. Pontos negativos: Em geral são difíceis de construir.

7 Estruturas Algébricas Por Diagramas de Venn Diagramas de Venn são representações esquemáticas de conjuntos Exemplos (a). A = { 1, 2, 3 } A (b). B = { 1, 2, 4 } C = { 2, 3, 4, 6 } B C Observações Pontos positivos: São úteis apenas para a compreensão de propriedades através de exemplos. Pontos negativos: Não podem ser usados em provas formais, pois não são capazes de representar propriedades de forma abstrata. Somente podem representar conjuntos finitos e discretos Conjunto Vazio & Conjunto Universo Outros elementos primitivos da Teoria de Conjuntos são o conjunto universo o conjunto vazio O conjunto universo é definido como o conjunto que contém todos os conjuntos. Isto é, é um conjunto do qual são tirados todos os elementos usados para a criação dos conjuntos com os quais se está trabalhando. Sua existência é fundamental para garantir a coerência da Teoria de Conjuntos. O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos. Sua existência também é fundamental para a definição das operações entre conjuntos Notações Conjunto Universo: usualmente representado pelo símbolo U. Conjunto Vazio: usualmente representado pelos símbolos ou { } Observações Há muitas formas de se definir, por compreensão, estes conjuntos. Por exemplo: U = { x / x = x } = { x / x existe } 1 Isto é, cujos elementos não necessitam ser dispostos de forma contígua, ou seja, podem ser contados com os dedos. Formalmente diz-se que a propriedade de densidade não é satisfeita, ou seja, que, chegará o momento que entre dois elementos quaisquer do conjunto não será possível encontrar outro elemento do mesmo conjunto. Por exemplo, no conjunto dos números naturais, N, não é possível encontrar outro número natural entre 2 e 3. O mesmo acontece com todos os naturais consecutivos...

8 Estruturas Algébricas 5 = { x / x x } = { x R / x > x+1 } = { x R / x 2 < 0 } Observe também que: { }. Por quê? Uma Propriedade Importante Proposição: O conjunto vazio é único. Demonstração 2 : Sejam A 1 e A 2 dois conjuntos vazios. A 1 A 2, pois ( x) (x A 1 x A 2 ) é verdadeira, já que x A 1 é sempre falso. Da mesma forma, ( x) (x A 2 x A 1 ) é verdadeira; assim A 2 A 1. Portanto, ( x) (x A 1 x A 2 ). Logo, A 1 = A Intervalos Intervalos são conjuntos de números reais. Devido a sua importância e para facilitar sua escrita, foi adotada a seguinte notação: Notação de Conjunto Notação de Intervalo { x R / a x b } [ a ; b ] { x R / a < x b } { x R / a x < b } { x R / a < x < b } ( a ; b ] ] a ; b ] [ a ; b ) [ a ; b [ ( a ; b ) ] a ; b [ 2 Explicação da Demonstração: Vamos demonstrar isto através de um raciocínio denominado por contradição ou redução ao absurdo. A idéia da prova é simples, apesar de os detalhes poderem ser um pouco indigestos para o leitor de primeira viagem... Queremos mostrar que o conjunto vazio é único. Pois bem: Inicialmente, vamos supor, por mais absurdo que seja, que existam dois conjuntos vazios diferentes; Em seguida, vamos chegar à conclusão de que isto não pode acontecer. Então estaremos mostrando que não há outra alternativa a não ser existir somente um conjunto vazio.

9 Estruturas Algébricas 6 2 Relações Entre Conjuntos O relacionamento entre conjuntos é o que torna a Teoria de Conjuntos útil. Este tópico será oportunamente abordado de forma mais geral posteriormente. Por hora, será suficiente compreender as relações básicas apresentadas a seguir. No entanto, é fundamental compreender que o relacionamento entre conjuntos é sempre feito através de proposições. Isto é, uma relação entre dois entes sempre gera uma proposição. 2.1 Inclusão Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está contido em B se e somente se qualquer elemento de A for também elemento de B. Nestas condições escreve-se A B. Em notação lógica: A B ( x) (x A x B) Exemplos (a). N Z (b). { x Z / ( y Z )( y = 6x ) } { x Z / ( y Z )( y = 2x ) } (c). { x / x é par } { x / 2 x Z } Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A A A (Reflexividade) ( A B ) ( B C ) A C (Transitividade) Prova: Seja A um conjunto. Então: A Pela definição de inclusão temos que ( x)( x x A ). Como a primeira proposição é falsa, então a implicação é verdadeira. Logo, A. (Reflexividade) Seja A um conjunto. Então: A A ( x)( x A x A ), já que x A é uma proposição verdadeira, então a implicação é verdadeira. (Transitividade) Sejam A, B, C conjuntos. Então A B B C A C Seja x A. Como A B, temos que x B. Da mesma forma, como x B e B C, então x C. Logo, podemos concluir que A C.

10 Estruturas Algébricas Exemplos (a). N Z Z Q N Q (b). { x / x é par } { x / 2 x Z } { x / 2 x Z } { x / x é par } { x / x é par } = { x / 2 x Z } Observações Pode-se também dizer que B contém A, denotando por B A. Em Teoria da Computação é muito comum se utilizar a notação em vez de. Isto porque a intepretação da inclusão é feita de maneira diferente: Ao se escrever A B está-se dizendo que B contém todos os elementos de A e, provavelmente, mais alguns. Ao se escrever A B, que matematicamente é a mesma coisa, está-se dando a interpretação de que A possui mais qualidade de informação que B, pois possui menos elementos que B. 2.2 Inclusão Estrita Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está estritamente contido em B se e somente se qualquer elemento de A for também elemento de B, mas A for diferente de B. Nestas condições escreve-se A B. Em notação lógica: A B ( x)( x A x B ) ( y B / y A ) Exemplos (a). N Z (b). Z R Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A A ( A B ) ( B C ) A C (Transitividade) Não provaremos as propriedades acima pelo fato de as demonstrações serem semelhantes às apresentadas para a relação de Inclusão. 2.3 Igualdade Dois conjuntos, A e B, são iguais se e somente se tiverem exatamente os mesmos elementos. Nestas condições escreve-se A = B. Em notação lógica: A = B ( x)( x A x B )

11 Estruturas Algébricas Exemplos (a). { 3, 3 } = { x / x 2 = 3 } (b). { -4, -2, -1, 1, 2, 4 } = { x / x é divisor de 4 } x (c). { x / x é par } = { x / Z } Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A = A (Reflexividade) A = B B = A (Simetria) ( A = B ) ( B = C ) A = C (Transitividade) Prova: (Reflexividade) Seja A um conjunto. Então: A = A Para todo x, x A se e somente se x A. Como a primeira proposição é verdadeira, logo a equivalência é verdadeira. (Simetria) Sejam A e B conjuntos tais que A = B. Então: B = A Como A = B para todo x, x A se e somente se x B. Pela equivalência lógica ( p q ) ( p q ) (q p), vem que ( x ) ( x A x B ). Assim, temos que B A. Desta forma, A B e B A. Logo, B = A. (Transitividade) Sejam A, B, C conjuntos, tais que A = B e B = C A = C Como A = B, pela hipótese, então A B e B A. Tomando B = C, temos que B C e C B. Como A B e B C, pela propriedade transitiva da inclusão, vem que A C e C A. Logo, A = C.

12 Estruturas Algébricas 9 3 Operações Entre Conjuntos Relações e Operações não são sinônimos. Enquanto que as relações ( igualdade, inclusão,... ) são essencialmente formas de comparar conjuntos, as operações são formas de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes. Na verdade, a definição de operações entre conjuntos permite-nos construir uma Estrutura Algébrica de Conjuntos, de forma semelhante à Estrutura Algébrica das Proposições. Finalmente, é importante notar que uma operação entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como resposta. 3.1 União Dados dois conjuntos, A e B, a operação de união gera um novo conjunto cujos elementos são provenientes tanto de A, como de B. O conjunto união de A e B é denotado por A B. Em notação lógica: A B = { x / x A x B } Exemplos (a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A B = { a, b, c, d } (b). Sejam A = e B = { 1, 2, 4 }. Então A B = { 1, 2, 4 } (c). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A B =U Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A B = B A (Comutatividade) ( A B ) C = A ( B C ) (Associatividade) A A = A (Idempotência) A = A (elemento neutro) A U = U (elemento absorvente) Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de união, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe Observação Importante Note que ( A B ) C = A ( B C ) = A B C pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a união de A com B como a de B com C.

13 Estruturas Algébricas Exemplos Exemplo N Z = Z, pois N Z Seja x N Z. Então, x N, ou x Z. Como N Z, então podemos concluir que x Z. Por outro lado, se x Z, então x N Z. Logo, N Z = Z Exemplo Mostre que, sendo A e B conjuntos, então A A B. Demonstração: Sejam A e B conjuntos. ( x) (x A * x A x B x A B) * p p q Exemplo Mostre que ( A, B )( A B A B = B ). Demonstração: Sejam A e B conjuntos, tais que Caso 1: Seja x A B. Então x A ou x B. Como x B, temos que A B B. Logo, A B = B Caso 2: Seja x B. Como B A B e A B B. Logo, A B = B Logo ( A, B )( A B A B = B ). 3.2 Interseção Dados dois conjuntos, A e B, a operação de interseção gera um novo conjunto cujos elementos devem ser os comuns a A e B. O conjunto interseção de A e B é denotado por A B. Em notação lógica: A B = { x U / x A x B } Exemplos (a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A B = { a, b } (b). Sejam A = {,, } e B = {, }. Então A B = (c). Sejam A = e B = { 1, 2, 4 }. Então A B = (d). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A B = { 1, 2, 4 }

14 Estruturas Algébricas Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A B = B A (Comutatividade) ( A B ) C = A ( B C ) (Associatividade) A A = A (Idempotência) A = (elemento absorvente) A U = A (elemento neutro) Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de interseção, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe Observação Importante Note que ( A B ) C = A ( B C ) = A B C pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a interseção de A com B como a de B com C Exemplos Exemplo Mostre que ( A )( A = ). Demonstração: Seja A um conjunto. Então A = Vamos supor que A. Então existe x A. Assim, x A e x. Porém, x é falso. Então x A é falso. Logo, A = Exemplo Mostre que ( A, B )( A B A B = A ). Demonstração: Sejam A e B conjuntos, tais que A B. Mostraremos a tese observando que A B = A ( A B A ) ( A A B ). Caso 1: Seja x A B. Então: x A B x A x B x A Logo, A B A Caso 2: Seja x A. Se x A, então, pela hipótese, x B, pois A B x, x A x B V. Logo, A B A A B Logo ( A, B )( A B A B = A ).

15 Estruturas Algébricas Propriedades Comuns à União e à Interseção Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade da união em relação à interseção) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade da interseção em relação à união) ( A B ) A = A (Absorção) ( A B ) A = A (Absorção) Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da associação com propriedades dos operadores lógicos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe. 3.4 Diferença Dados dois conjuntos, A e B, a operação de diferença entre A e B gera um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a A, mas não pertencem a B. O conjunto diferença de A e B é denotado por A B. Em notação lógica: A B = { x / x A x B } Exemplos (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 4 }. Então A B = { 1, 3 } (b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A B = { 1, 2, 3 } (c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = {,,, }. Então A B = { 1, 2, 3 } (d). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B =. Então A B = { 1, 2, 3 } (e). Sejam A = { x N / x é múltiplo de 5 } e B = { x N / x é par }. Então A B = { 5, 15, 25, 35,... } Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A B A A B = A B = A A B = A B = C A = C B ( A B ) B = ( A B ) B = A B ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade) A = A A U = A = Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.

16 Estruturas Algébricas Observação Importante Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos, A B B A, em geral. 3.5 Complementação Sejam A e E conjuntos tais que A E. Então: Define-se o conjunto complementar de A em relação a E como o conjunto formado por todos os elementos de E que não pertencem a A. Neste caso, o conjunto complementar é denotado por C E A, por A E ou por A E. Em notação lógica: C E A = { x / x E x A } Um caso particular, mas muito útil, é o conjunto complementar de A em relação ao conjunto universo. Neste caso, temos E = U. Então o conjunto complementar é denotado por CA, por A ou por A. Em notação lógica: A = { x U / x A } Observação: A Complementação é um caso particular (muito importante) da operação de diferença Exemplos (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2 }. Então C B A não está definido, pois A B. (b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 1,2, 3, 4, 5, 6 }. Então C B A = {4, 5, 6} (c). Seja A = { 1, 2, 3 }. Então A N = { 0, 4, 5, 6,...} Propriedades Sejam A, B e E conjuntos tais que A E e B E. Então são válidas as seguintes propriedades: Propriedade geral Em particular ( A E ) E = A. ( A ) = A. A B B E A E A B B A A E A = E A A = U A E A = A A = ( U ) = ( ) = U Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.

17 Estruturas Algébricas Exemplos Exemplo Mostre que ( U ) =. Demonstração: Pela definição de conjunto complementar, temos que ( U )' é o complementar de ( U )em relação ao conjunto Universo. Como U é o próprio conjunto universo. Logo, só podemos ter ( U )' = Exemplo Mostre que ( A, B )( A B A = ) Demonstração: Seja x A B. Assim x A e x B. Como x A, pela definição de complementar, x A'. Assim, podemos concluir que se x A B, então x A'. Logo, A B A' = Uma Identidade Fundamental Sejam A e B conjuntos. Então A B = A B. Demonstração: Seja x A B, então x A e x B. Assim, x B'. Como x A e x B', então x A B'. 3.6 Leis de De Morgan Sejam A e B conjuntos. São válidas as seguintes propriedades: ( A B ) = A B ( A B ) = A B Vamos demonstrar a primeira destas propriedades. A demonstração da outra é similar e poderá ser feita seguindo os passos aqui apresentados. Demonstração: Sejam A e B conjuntos. Seja x ( A B ). Então: x A' B' x ( A B ) x U x A B. Seja x (A B)', pela definição de complementar, x A B. Então x U, mas x A e x B. Assim, x A' e x B'. Logo, x A' B'. 3.7 Diferença Simétrica Dados dois conjuntos, A e B, define-se a diferença simétrica entre A e B como o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a apenas um conjuntos. Isto é, o conjunto resultante da diferença simétrica entre A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, juntamente com os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. A notação utilizada para representar este conjunto é A B.

18 Estruturas Algébricas 15 Em notação lógica: A B = { x / ( x A x B ) ( x B x A ) } = (A B) (B A) Exemplos (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4 }. Então A B = { 1 } { 4 } (b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A B = { 1, 2, 3 } { 4, 5, 6 } (c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 6, 9 }. Então A B = {1, 2 } { 6, 9} Propriedades Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A B = ( A B ) ( B A ) A B = ( A B ) ( B A ) A B = B A (Comutatividade) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade) A = A A B = A B = A B Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe Exemplo Mostre que Demonstração: ( A, B )( ( A B ) ( B A ) = ( A B ) ( B A ) ) Sejam A e B conjuntos. Seja x (A B) (B A). Então x (A B) ou x (B A). Como x ( A B ), então x A e x B. Assim, x A B e x B A. Logo, x (A B) (B A). Um outro modo: Demonstração: Sejam A e B conjuntos. Seja x (A B) (B A). Então x (A B) e x (B A). Como x (A B), então x A ou x B. Porém, x (B A), então x B ou x A. Logo, x (A B) (B A).

19 Estruturas Algébricas 16 4 Produto Cartesiano O produto cartesiano de conjuntos ocupa lugar de destaque dentre as operações definidas na Teoria de Conjuntos, principalmente no que toca as suas aplicações à Informática. Isto porque permite definir conjuntos de natureza diferente dos originais, através da associação ordenada de seus elementos. Aplicações comuns do produto cartesiano são, entre outras: gráficos; especificação de relações entre conjuntos de dados; representação de regras lógicas através de relações. 4.1 Seqüências Ordenadas de Elementos Seqüências ordenadas de elementos (ou n-uplas ordenadas) são arranjos de elementos de forma seqüencial. Há diversas formas de se representar tais seqüências, tais como vetores ou matrizes linha. Na Teoria de Conjuntos, a representação adequada para uma seqüência ordenada de n elementos é dada da seguinte forma: ( a 1, a 2, a 3,..., a n ) Vale ressaltar que as seqüências ( a 1, a 2, a 3,..., a n ) e ( a 2, a 1, a 3,..., a n ) não são iguais, por exemplo. Além disso, observe-se que a natureza dos elementos a i (1 i n ) não precisa ser a mesma. Isto é, a 1 pode ser um número, enquanto que a 2 pode ser um nome, por exemplo. O importante é perceber que cada posição define a natureza do elemento que ali pode ser colocado. O conceito de seqüência ordenada é fundamental em Informática, pois é usado como fundamento para a definição de listas ordenadas, de vetores e de registros de bancos de dados. Por exemplo, os registros de banco de dados Número Nome Idade Cidade 1 João 20 Porto Alegre 2 Maria 19 Caxias do Sul Podem ser conceitualmente representados pelas tetra-uplas: ( 1, João, 20, Porto Alegre ) (2, Maria, 19, Caxias do Sul ) Matematicamente, os tipos mais usados de seqüências ordenadas são: Pares Ordenados: Um par ordenado é uma seqüência ordenada de dois elementos. Exemplos: ( 1, 2 ), ( a, 1 ), ( Informática, 401 ), ( ( nome, endereço ), código )

20 Estruturas Algébricas 17 Ternas Ordenadas: Uma terna ordenada é uma seqüência ordenada de três elementos. Exemplos: ( 1, 2, 3 ), ( a, 1, v ), ( Informática, 401, PUCRS ), ( ( nome, endereço ), código, saldo ) 4.2 Produto Cartesiano de Dois Conjuntos Definição Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B é o conjunto formado por pares ordenados cujo primeiro elemento é proveniente de A e o segundo, de B. Este conjunto é denotado por A x B. Em notação lógica: A x B = { ( x, y ) / x A y B } Exemplos (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5 }. Então: A x B = { ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 4 ), ( 3, 5 ) } B x A = { ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 5, 1 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ) } Estes conjuntos podem ser representados pelos gráficos abaixo: Em particular, observe que A x B B x A. (b). Sejam A = [ 1, 2 ] e B = [ 3, 4 ). Então, o produto A x B pode ser representado pelo gráfico ao lado.

21 Estruturas Algébricas 18 (c). O plano cartesiano é dado pelo conjunto R x R. Observação: Uma outra notação para R x R é R 2, mas isto nada tem a ver com elevar os números reais ao quadrado! É apenas uma notação!!! (d). Sejam A = { -1, 1 } e B = [ -2, 3 ]. O produto cartesiano A x B é o conjunto representado no gráfico ao lado. (e). Sejam A = e B = [ 2, 3 ]. Então: A x B = B x A = Propriedades Sejam A, B, C e D conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades: A x ( B C ) = ( A x B ) ( A x C ) A x ( B C ) = ( A x B ) ( A x C ) A B A x C B x C ( A x B ) ( C x D ) = ( A C ) x ( B D ) A x B = ( A = ) ( B = ) A x B = B x A ( A = ) ( B = ) ( A = B ) Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe Observação Importante Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos, Exemplos A x B B x A, em geral Exemplo Determine { x N / ( x 1 )( x 3 ) = 0 } x { x N / ( x 2 )( x 3 ) = 0 }. Solução: { 1, 3 } x { 2, 3 } = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) } Exemplo Encontre o valor lógico da proposição ( A, B, C )( A x C = B x C A = B ) Solução: Seja ( x, y ) A x C. Então x A e y C. Como A x C = B x C, então ( x, y ) B x C. Assim, x B e y C. Logo, A = B. Logo, a proposição é verdadeira.

22 Estruturas Algébricas Exemplo Represente graficamente o subconjunto do produto cartesiano R 2 definido por S = { ( x, y ) / x+y 1 }. Solução: 4.3 Observação: Produto Cartesiano de Três Conjuntos Sejam A, B e C conjuntos. O produto cartesiano de A, B e C é o conjunto formado por ternas ordenadas cujo primeiro elemento é proveniente de A, o segundo, de B e o terceiro, de C. Este conjunto é denotado por A x B x C. Em notação lógica: Note que A x B x C = { ( x, y, z ) / x A y B z C } Da mesma forma Por quê? ( A x B ) x C A x B x C A x ( B x C ) A x B x C Observe que os elementos do conjunto gerado por A x ( B x C ) serão, na verdade, pares ordenados! No entanto, os elementos do conjunto gerado pela operação de produto cartesiano triplo, A x B x C, serão ternas ordenadas. Isto fica mais fácil de se entender se descrevermos os conjuntos em termos de seus elementos: Utilizaremos, apenas por simplicidade, a variável x para referir aos elementos do conjunto A, a variável y para referir aos elementos do conjunto B e a variável z para referir aos de C. Isto é: A = { x / x A } B = { y / y B } C = { z / z C } Então: B x C = { ( y, z ) / y B z C } Ora, mas A x ( B x C ) = { ( x, w ) / x A w B x C } Da definição acima, temos que = { ( x, ( y, z ) ) / x A y B z C } A x B x C = { ( x, y, z ) / x A y B z C } Observe-se, então, que a proposição que define os conjuntos é a mesma, mas a estrutura dos elementos, não!

23 Estruturas Algébricas 20 5 Guia de Consulta Rápida 5.1 Notação Conjuntos Elementos = A E ou C E A A ou CA x Representados sempre usando chaves. A única exceção é feita aos intervalos, que possuem notação própria. Os nomes são dados por letras maiúsculas. A atribuição é feita pelo sinal de igualdade. Exemplo: A = { 1, 2, 3 }. Representados por letras minúsculas. Um elemento pertence a um conjunto. Exemplo: x R. Relação de pertença. Um elemento pertence a um conjunto. Negação da relação de pertença. Indica que um elemento não pertence a um conjunto. Escrever x A é o mesmo que escrever ( x A ). Relação de igualdade. A = B ( x )( x A x B ) Relação de inclusão. A B ( x )( x A x B ) Relação de inclusão estrita A B ( x )( x A x B ) ( y )( y B y A ) Negação da relação de inclusão. A B ( x )( x A x B ) Operação de união. A B = { x / x A x B } Operação de Interseção. A B = { x / x A x B } Operação de Diferença. A B = { x / x A x B } Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto E. A E A E = E A = { x / x E x A } Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto Universo. A = U A = { x / x A } Operação de Diferença Simétrica. A B = { x / ( x A x B ) ( x B x A ) } Operação de Produto Cartesiano de dois conjuntos. A x B = { ( x, y ) / x A y B }

24 Estruturas Algébricas Propriedades das Relações Entre Conjuntos Sejam A, B e C conjuntos. Seja o conjunto vazio. Então: (1). A = A (Reflexividade) (2). A = B B = A (Simetria) (3). ( A = B ) ( B = C ) A = C (Transitividade) (4). A (5). A A (Reflexividade) (6). ( A B ) ( B C ) A C (Transitividade) (7). ( A B ) ( B A ) A = B (Anti-Simetria) (8). A A (9). ( A B ) ( B C ) A C (Transitividade) 5.3 Propriedades Fundamentais das Operações Entre Conjuntos Sejam A, B e C conjuntos. Sejam o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então: (1). A A = A (Idempotência ou Idemponência) (2). A B = B A (Comutatividade) (3). ( A B ) C = A ( B C ) (Associatividade) (4). A = A (5). A U = U (6). A A = A (Idempotência ou Idemponência) (7). A B = B A (Comutatividade) (8). ( A B ) C = A ( B C ) (Associatividade) (9). A = (10). A U = A (11). ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade da união em relação à interseção) (12). ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (Distributividade da interseção em relação à união) (13). ( A B ) A = A (Absorção) (14). ( A B ) A = A (Absorção) (15). A A = U (16). A A = (17). ( A ) = A ( U ) = ( ) = U (18). ( A B ) = A B (Lei de De Morgan) (19). ( A B ) = A B (Lei de De Morgan)

25 Estruturas Algébricas Propriedades Auxiliares das Operações Entre Conjuntos Sejam A, B e C conjuntos. Sejam o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então: (1). A B A (2). A B = A B = A (3). A B = A B = C A = C B (4). ( A B ) B = (5). ( A B ) B = A B (6). ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (7). ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (8). A = A (9). A U = (10). A = (11). ( A E ) E = A. (12). A B B E A E (13). A B B A (14). A E A = E (15). A E A = (16). A B = ( A B ) ( B A ) (17). A B = ( A B ) ( B A ) (18). A B = B A (19). ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (20). ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) (21). A = A (22). A B = A B = A B 5.5 Propriedades do Produto Cartesiano Sejam A, B e C conjuntos. Seja o conjunto vazio. Então: (1). A x ( B C ) = ( A x B ) ( A x C ) (2). A x ( B C ) = ( A x B ) ( A x C ) (3). A B A x C B x C (4). ( A x B ) ( C x D ) = ( A C ) x ( B D ) (5). A x B = ( A = ) ( B = ) (6). A x B = B x A ( A = ) ( B = ) ( A = B )

26 Estruturas Algébricas 23 6 Exercícios 1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos : (a) { x R / x < 2 } (b) { x N / ( y ) ( y é par x y ) } 2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A B = { d, e } e A B = { a, b, d, e, f }. 3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A B e B C. Sejam a, b, c, d, e, f U tais que a A, b B-A, c C-B, d A, e B e f C. Quais das afirmações abaixo são corretas? (a) a C (b) b A (c) c A (d) b B (e) e A (f) f A 4. Sejam A = { ( x, y ) / ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ) } e B = { ( x, y ) / ( x 1 ) 2 + ( y 4 ) 2 25 }.Prove que A B. Dica: Pense em termos de circunferências. As fórmulas você encontra no seu material de 2º Grau. 5. programa QUAD encontra e imprime soluções de equações quadráticas da forma a.x 2 + b.x +c = 0. O programa PAR lista todos os inteiros da forma -2n a 2n, para cada n dado. Seja Q o conjunto dos valores de saída de QUAD e E o conjunto dos valores de saída de PAR. Mostre que para a = 1, b = -2,c = -24 e n =50, Q E. 6. Para cada uma das sentenças a seguir, encontre as condições mais gerais possíveis para os conjuntos A e B de modo a tornar as sentenças verdadeiras: (a) A B = A (b) A = (c) A B A B (d) A B = A (e) B - A = 7. Sejam A e B dois conjuntos. Prove que: A B A B = A. 8. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que: (a) A - B = B' - A' (b) A ( B - C ) = ( A B ) - ( C - A ) (c) ( A - B )' = A' B 9. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta. (a) A B = C B B - A = B C (b) A ( B - A ) = A B

27 Estruturas Algébricas 24 (c) A B = A C B = C (d) ( A' B' )' = A B (e) ( A B ) - C = A ( B - C ) (f) ( A B )' = B' A B (g) ( A B ) B' = A A B = (h) A B = A B' (i) A - B = A - C B = C (j) A x B = B x A A = B (k) ( A x C ) ( B x C ) = ( A B ) x C (l) ( A B ) C = A ( B C ) (m) A B = ( A B ) - ( A B ) (n) A B A B 10. Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B = [-2,1] e C = { x R / x x }. Represente graficamente os produtos cartesianos: (a) A x B (c) C x C (b) C x B (d) B x C Seja A um conjunto. Chamamos de Conjunto das Partes de A ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) Ex.: A = { 1, 2 } P(A) = {, {1}, {2}, A } 11. Sejam os conjuntos A = { 1 } e B = { 2, 3 }. Determine: (a) P( A B ) (b) P( A B ) B (c) C DxD AxB onde D = { n N n < 8 } 12. De acordo com o nosso uso da palavra conjunto, se A é um subconjunto do conjunto universo S, então qualquer elemento de S ou pertence ou não pertence a A. Em outras palavras, a probabilidade de um elemento x de S pertencer a A é 1 (quando x é um elemento de A) ou 0 (quando x não é um elemento de A).A é um conjunto FUZZY se todo elemento de S tem a probabilidade p, 0 p 1, de ser um elemento de A. A probabilidade p associada a x é uma estimativa da possibilidade de que x possa pertencer a A quando a composição de A é desconhecida. Operações de conjuntos podem ser realizadas com conjuntos FUZZY da seguinte maneira: Se o elemento x tem a probabilidade p 1 de pertencer a A e a probabilidade p 2 de pertencer a B, então a probabilidade de x ser um elemento de A B é dada por p 1 + p 2 p 1.p 2. Seja S um conjunto de possíveis agentes causadores de doenças, S = { genética, vírus, nutrição, bactéria, ambiente }. Os conjuntos FUZZY "AIDS" e "mal de ALZHEIMER" são definidos como: AIDS = { genética, 0.2; vírus, 0.8; nutrição, 0.1; bactéria, 0.4; ambiente, 0.3 } e ALZHEIMER = { genética, 0.7; vírus, 0.4; nutrição, 0.3; bactéria, 0.3; ambiente, 0.4 } Encontre o conjunto FUZZY AIDS ALZHEIMER

28 Estruturas Algébricas 25 7 Respostas dos Exercícios 1. (a). ( -2; 2 ) = { x R / -2 < x < 2 } (b). { 1, 3, 5, 7,..., 2n+1,... } = { x / x = 2n + 1, n N } 2. A = { a, b, d, e }, B = { d, e, f } 3. (a). V (b). F (c). F (d). V (e). V (f). V 4. Seja ( x,y ) A. Então ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ). Neste caso temos que ( ( x 1 ) 2 + ( y 4 ) 2 ) 1/2 = 3, ou seja ( x 1 ) 2 + ( y 4 ) 2 = Logo ( x, y ) B. Temos então que ( x, y ), ( x, y ) A ( x, y ) B A B. 5. Q = { -4, 6 } { x Z / -100 x 100 } = E 6. (a) B A (b) A = (c) A = B (d) A B (e) B A 7. Sejam A, B conjuntos tais que A B. Seja x A. Como A B,temos que x B. Então x A x B x A B. Portanto, A A B. Por outro lado, temos que: x A B x A x B. Portanto x A. Temos então que A B A. Desta forma podemos concluir que A B = A. Logo, A B A B = A. 8. (a). Sejam A, B conjuntos. Então: B' - A'= { x / x B' x A'} = { x / x B x A } = { x / x A x B } = A - B Logo, A B = B - A'. (b). Sejam A, B, C conjuntos. Então: x, x A ( B - C ) x A x (B - C) x A ( x B x C ) ( x A x B ) ( x A x C ) x (A B) - (C - A) Logo, A ( B - C ) = (A B) - (C - A).

29 Estruturas Algébricas 26 (c). Sejam A, B conjuntos. x, x (A - B)' x A - B x A x B x A' B Logo, (A - B)' = A' B. 9. OBSERVAÇÃO: Equivalências lógicas usadas em vários itens : p q ( p q ) ( q p ) ( p q ) r ( p r ) ( q r ) ( p q ) r ( p r ) ( q r ) p q p p f p p p v (a). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos tais que A B = C B. B - A = { x / x B x A }. Então: Usando a equivalência lógica p q ( p q ) ( q p ), iremos separar a prova da proposição em duas etapas: x, x B - A x B x A x A B, pois x A. Como A B = C B x C B. Mas, como x B x C. Portanto, x B x C x B - C. Temos então que x, x B - A x B - C. Logo B - A B - C. (Note que há implicações no raciocínio e, então, só vale a ida. Precisamos agora provar a volta!) Por outro lado x, x B - C x B x C x B C, pois x C. Como A B = C B x A B. Mas, como x B x A. Portanto, x B x A x B - A. Temos então que x, x B - C x B - A. Logo B - C B - A. Logo, A B = C B B A = B C. (b). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos. x, x A ( B - A ) x A ( x B x A ) ( x A x B ) (x A x A ) ( x A x B ) x A B. Logo, A ( B - A ) = A B. (c). A proposição é falsa. PROVA: Existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 1, 5, 9 } tais que: A B = { 1 } A C = { 1 }, ou seja: A B = A C.

30 Estruturas Algébricas 27 Mas B C. Logo, (A B = A C B = C). Logo, a proposição (A B = A C B = C) é falsa. (d). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos. Então, usando uma das leis de De Morgan para conjuntos, temos: ( A' B' )' = ( A' )' (B' ) ' = A B. Logo, ( A' B' )' = A B. (e). A proposição é falsa. PROVA: Existem os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5 } e C = { 1, 5 } tais que: A B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e (A B) - C = {2, 3, 4 } Mas: B - C = { 4, 5 } - { 1, 5 } = { 4 } A ( B - C ) = { 1, 2, 3, 4 } Então, neste caso, (A B) - C A ( B - C ). Logo, a proposição é falsa. (f). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos. Sabemos que ( A B )' = A' B'. Então mostrar que A' B' = B' A B é o mesmo que mostrar a proposição original. Usando a equivalência lógica p q ( p q ) ( q p ), iremos separar a prova da proposição em duas etapas: Parte 1: A' B' = B' A B. Suponhamos que A' B' = B'. x, x A x A' x A' B'. Como A' B' = B então x A' B' x B' x B. Conclusão : x, x A x B. Logo: A' B' = B' A B. Parte 2: A B A' B' = B' Suponhamos que A B. x, x B' x B. Como A B então x B x A x A'. Conclusão: x B' x A' B'. Então B' A' B'. Por outro lado, x, x A' B' x A' x B' x B'. Conclusão: x A' B' x B'. Então A' B' B.

31 Estruturas Algébricas 28 Conclusão final : Por (1) e (2) vem que A' B' = B' A B. (g). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos. Sabemos que dados conjuntos E, F e H quaisquer, temos ( E F ) H = ( E H ) ( F H ). Usando esta propriedade, temos: ( A B ) B' = ( A B' ) ( B B' ) = ( A B' ) = A B'. Então, a proposição A B' = A A B = diz o mesmo que a original. Vamos prová-la dividindo-a em duas partes: Parte 1: A B' = A A B =. Iremos fazer esta prova usando a equivalência lógica p q q p. Isto se chama prova por contraposição. Para isto, escreveremos a proposição na seguinte forma: A B A B' A. PROVA: Suponhamos que A B. Então há pelo menos um elemento nesta intersecção. Isto é: ( x )( x A B ) ( x )( x A x B ). Mas: x A x B x A x B' x A x A B'. Então, A e A B têm pelo menos um elemento diferente. Logo A - A B' A. Logo A B A B' A. Logo A B' = A A B =. Parte 2: A B = A B' = A PROVA : Suponhamos que A B =. x A B x A x B' x A x B. Como A B = então x A x B x A Logo x A. Logo A B = A B' = A. Conclusão: A B' = A A B = Conclusão geral: ( A B ) B' = A A B = (h). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos tais que A B =. Então: x, x A x B, pois A B =. Mas: x B x B'. Logo, x, x A x B'. Conclusão : A B'.

32 Estruturas Algébricas 29 (i). A proposição é falsa. PROVA: Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica p q ( p q ) ( q p ). Assim, temos de mostrar duas partes: Sejam A, B, C conjuntos. Parte 1: A - B = A - C B = C Suponhamos que A B = A C. Esta proposição é falsa. Com efeito, existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 2, 3 } e C = { 2, 4 } tais que A - B = { 1 } e A - C = { 1 } Mas B C. Logo a proposição é falsa. Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A - B = A - C B = C é falsa, em geral. (Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.) Parte 2: B = C A - B = A - C Suponhamos que B = C. Então: A B = A B = A C = A C. Logo, B = C A - B = A - C. (j). A proposição é falsa. PROVA: Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica p q ( p q ) ( q p ). Assim, temos de mostrar duas partes: Sejam A, B conjuntos. Parte 1: A x B = B x A A = B Suponhamos que A x B = B x A. A proposição é falsa. Se escolhermos A = { 1, 2 } e B =, teremos: A x B = e B x A = Porém A B. Logo, a proposição é falsa, em geral. Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A x B = B x A A = B é falsa, em geral. (Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.) Parte 2: A = B A x B = B x A Suponhamos que A = B. Então: A x B = { ( x, y ) / x A y B } = { ( x, y ) / y B x A } = B x A Logo, A = B A x B = B x A. (k). A proposição é verdadeira. PROVA:

33 Estruturas Algébricas 30 Sejam A, B e C conjuntos. Então: ( x, y ), ( x, y ) (A x C) (B x C) ( x, y ) (A x C) ( x, y ) (B x C) ( x A y C ) ( x B y C ) ( ( x A y C ) x B ) ( ( x A y C ) y C ) ( x A x B ) ( y C x B ) ) ( x A y C ) ( y C y C ) ( x A x B ) ( y C x B ) ) ( x A y C ) y C ( x A x B ) y C ( x, y ) ( A B ) x C. Logo, ( A x C ) ( B x C ) = ( A B ) x C. (l). A proposição é falsa. PROVA: Existem A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, C = { 4, 5 }. Então: A B = { 1, 2, 3, 4 } e ( A B ) C ={ 4 }. B C = { 4 } e A ( B C ) = {1,2,4 }. Como { 4 } { 1, 2, 4 }, a proposição é falsa, em geral. (m). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos. Então: A B = { x / ( x A x B ) ( x B x A ) } = = { x / ( ( x A x B ) x B ) ( ( x A x B ) x A ) } = = { x / ( x A x B ) ( x A x B ) } = = { x / ( x A x B ) ( x A x B ) } = = { x / x A B x A B } = = ( A B ) - ( A B ). Logo, A B = ( A B ) - ( A B ). (n). A proposição é verdadeira. PROVA: Sejam A e B conjuntos. Então: A B = ( A B ) - (A B ) = { x / x A B x A B } Mas: x, x A B x A B x A B x A B. Então: x, x A B x A B. Conclusão: A B A B.

34 Estruturas Algébricas (a). (b). (c). (d). 11. (a). A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ) } P( A x B ) = {, { ( 1, 2 ) }, { ( 1, 3 ) }, A x B } (b). P( A x B ) x B = { (, 2 ), (, 3 ), ( { ( 1, 2 ) }, 2 ), ( { ( 1, 2 ) }, 3 ), ( { ( 1, 3 ) }, 2 ), ( { ( 1, 3 ) }, 3 ), ( A x B, 2 ), ( A x B, 3 ) } (c). C DxD A x B = 12. AIDS ALZHEIMER = { genética, 0.76; vírus, 0.88; nutrição, 0.37; bactéria, 0.58; ambiente, 0.58 }