Resumo. Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade. Ramiro Brito Willmersdorf Introdução.

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1 Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco Resumo 1 Introdução 2 Espaço Amostral Sistemas de Probabilidade

2 Introdução Teoria da Probabilidade A Teoria da Probabilidade é o modelo matemático que permite estudar de forma abstrata um fenômeno físico ao qual está associado uma incerteza. Este modelo será composto por três elementos: um espaço amostral; uma álgebra de eventos; uma medida de probabilidade. Espaço Amostral Experiências Espaço Amostral Para um fenômeno físico, será denida uma experiência. A experiência caracteriza-se por: denir explicitamente todos os resultados possíveis; ser reprodutível em completa igualdade de condições; para cada repetição, um dos resultados possíveis deve necessariamente ocorrer; condições idênticas podem levar a resultados distintos. Cada resultado da experiência é chamado ponto-amostra e denotado por ω. O conjunto de todos os pontos-amostra é chamado espaço amostral e denotado por Ω.

3 Espaço Amostral Exemplos Lançamento de Dados Experiência: lançar 1 dado, anotar a face visível. ω: face visível. { } Ω = ou Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. A representação numérica é apenas uma conveniência. Espaço Amostral Exemplos Lançamento de Dados Experiência: lançar 2 dados, onde a ordem importa, e anotar as faces visíveis ω: (Face 1, Face 2). (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 6), Ω =.. (5, 1), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) A cardinalidade do espaço amostral é 36.

4 Espaço Amostral Exemplos Lançamento de Dados Experiência: lançar 2 dados, onde a ordem não importa, e anotar as faces visíveis ω: (Face 1, Face 2). (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (3, 3) Ω= (4, 4) (5, 5 ) (1, 6), (2, 6),... (4, 6), (5, 6), (6, 6) A cardinalidade do espaço amostral é 21. Espaço Amostral Exemplos Sinal Elétrico Ou tensão, pressão, temperatura, etc. Qualquer grandeza contínua, medida analógicamente. ω: uma leitura do mostrador. Ω = [Vmin, Vmax ] Em princípio, há in nitos eventos, que variam continuamente.

5 Espaço Amostral Exemplos Sinal Elétrico Ou tensão, pressão, temperatura, etc. Qualquer grandeza contínua, medida discretamente. ω: uma leitura do mostrador, restrita à resolução do mostrador. Ω = {V min,..., V max }, em saltos discretos. Em princípio, há um número nito de eventos, que variam discretamente. Espaço Amostral Exemplos Diâmetro de barras ω: um diâmetro medido (um número real). Ω = [d min, d max ]. ou, outra interpretação para a mesma experiência, ω: o diâmetro medido é aceitável (um resultado booleano). Ω = [Verdadeiro, Falso]. Uma mesma experiência pode originar espaços amostrais diferentes.

6 Espaço Amostral Exemplos Esquematicamente Conjuntos de Eventos É muito comum estarmos interessados em grupos de pontos amostra, ou subconjuntos de Ω. A manipulação de subconjuntos de pontos amostra, ou eventos, é uma das pedras fundamentais da teoria da probabilidade. Usa-se a Teoria dos Conjuntos para formalizar esta manipulação.

7 Teoria dos Conjuntos Igualdade Dois conjuntos são A e B são iguais se todo o ponto amostra que pertence a A também pertence a B, e todo elemento de B também pertence a A. Denição: A = B ω A ω B ω B ω A Teoria dos Conjuntos Inclusão Um conjunto A está incluído (ou contido) em B se todo elemento de A pertence a B. Inclusão: A B ω A ω B Ou, alternativamente, B A, isto é, B contém A.

8 Teoria dos Conjuntos Diagramas de Venn São extremamente úteis para a visualização de operações com conjuntos. Por exemplo, A B: Teoria dos Conjuntos União A união dos conjuntos A e B é denida como todos os elementos de Ω que pertencem a A ou pertencem a B (ou aos dois.) União: A B A B {ω Ω : ω A ω B}

9 Teoria dos Conjuntos Observação representa a operação lógica ou clássica, não exclusiva isto é: E 1 E 2 E 1 E 2 V V V V F V F V V F F F Teoria dos Conjuntos Intersecção A intersecção dos conjuntos A e B é denida como todos os elementos de Ω que pertencem a A e pertencem a B. Intersecção: A B A B {ω Ω : ω A ω B}

10 Teoria dos Conjuntos Complemento O complemento de A é o conjunto dos elementos de Ω que não pertencem a A. Complemento: A A {ω Ω : ω / A} Teoria dos Conjuntos Diferença O conjunto dos elementos que pertencem a B e não pertencem a A é a diferença entre B e A. Diferença: B A B A {ω Ω : ω B ω / A}

11 Teoria dos Conjuntos Denições Úteis O conjunto que não contém elementos é o conjunto vazio, denotado por. Dois conjuntos que não tem elementos em comum são chamados disjuntos. Classe é o nome dado a um conjunto de conjuntos. Teoria dos Conjuntos Comutatividade As operações de união e intersecção são comutativas. Comutatividade A B = B A e A B = B A. Isto pode ser facilmente demonstrado através das denições e de os operadores lógicos e serem comutativos.

12 Teoria dos Conjuntos Associatividade As operações de união e intersecção são associativas. Associatividade A (B C) = (A B) C e A (B C) = (A B) C. Isto pode ser facilmente demonstrado através das denições e de os operadores lógicos e serem associativos. Teoria dos Conjuntos Distributividade A operação de intersecção é distributiva em relação à união. Distributividade A (B C) = (A B) (A C).

13 Teoria dos Conjuntos Leis de De Morgan Primeira lei: o complemento da união é a intersecção dos complementos. Primeira Lei A B = A B. Segunda lei: o complemento da intersecção é a união do complementos. Segunda Lei A B = A B. Álgebra Álgebra de conjuntos Estamos interessados em trabalhar com subconjuntos do espaço amostral. Os subconjuntos são denominados subconjuntos de interesse. Estes subconjuntos formam uma classe. Para consistência da Teoria da Probabilidade, esta classe deve ter algumas propriedades. As propriedades requeridas denem uma álgebra.

14 Álgebra Álgebra Uma classe A é dita uma álgebra quando satisfaz as condições: 1 A A A A. 2 A A B A (A B) A. Consequências: 1 A A B A (A B) A. 2 A A B A (B A) A. 3 A. 4 Ω A. 5 A i A; i = 1, 2,..., n n i=1 A i A. Álgebra σ-álgebra Se A é uma álgebra e n A i A; i = 1, 2,..., n A i A é válida para um número innito (contável) de conjuntos, isto é i=1 A i A; i = 1, 2,..., n A i A i=1 então a álgebra é uma σ-álgebra. A menor σ-álgebra que contém todos os elementos de uma classe C é representada por A(C) e denominada σ-álgebra gerada por C.

15 Álgebra Exemplo Na experiência do lançamento de um dado, o espaço amostral é: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Denindo C = {, Ω, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, {1}}, claramente, C não é uma álgebra, pois não pertence a C. {1} = {2, 3, 4, 5, 6} Álgebra Exemplo Por inspeção, podemos vericar que C = {, Ω, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, {1}, é uma álgebra, e é uma σ-álgebra. {1, 2, 4, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {3, 5}}, Observação: É possível mostrar que para uma classe qualquer C, existe pelo menos uma σ-álgebra contendo C.

16 Álgebra Denições Evento Evento é qualquer subconjunto de Ω que pertença à σ-álgebra. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos são mutuamente exclusivos quando correspondem a conjuntos disjuntos de Ω. Uma σ-álgebra é conveniente para representar os resultados de interesse pois operações entre os membros da classe permitem obter todos as combinações possíveis. Frequência Relativa Noção Intuitiva Temos uma noção muito intuitiva de probabilidade. A idéia é que, se um processo se mantém inalterado, mais ou menos a mesma proporção de coisas que aconteceram no passado acontecerão no futuro. Claramente, a idéia da proporção é fundamental na nossa percepção da chance das coisas acontecerem. Vamos quanticar a proporção numericamente, usando a frequência relativa dos eventos de interesse.

17 Frequência Relativa Frequência Relativa Supondo que uma experiência tenha sido realizada N vezes, e que dentre estas, n(a) o evento A tenha ocorrido, a frequência relativa é f = n(a) N Propriedades óbvias: e 0 n(a) N 1 n(ω) N = 1. Frequência Relativa Propriedade Aditiva Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A B =, então, e consequentemente n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) N = n(a) N + n(b) N A frequência relativa da união de dois eventos mutuamente exclusivos é a soma das frequências relativas.

18 Frequência Relativa Probabilidade como Frequência Relativa Naturalmente, esperamos que a frequência relativa estabilize, quando o número de experimentos cresce; Podemos tentar denir a probabilidade de um evento A como P(A) = lim N n(a) No entanto, não faremos isto; para uma dada experiência, N nito não garante a convergência; Tomaremos as propriedades da frequência relativa e deniremos axiomaticamente uma função de eventos que tenha o mesmo comportamento. N Axiomas da Probabilidade Denição Axiomática da Probabilidade A medidade de probabilidade é uma função denida em A que obedece aos três axiomas a seguir Axioma 1 P(A) 0. Axioma 2 P(Ω) = 1.

19 Axiomas da Probabilidade Denição Axiomática da Probabilidade Axioma 3 Se A B =, então P(A B) = P(A) + P(B). Se A i A j =, i, j = 1, 2,... (i j), então P ( ) A i = i=1 i=1 P(A i ). Axiomas da Probabilidade Observações Algumas observações interessantes. O domínio de P é a σ-álgebra A. O contradomínio de P é [0, 1] R. Qualquer função P que atenda aos axiomas é aceitável. A função P pode ser representada pela seguinte notação: P : A = R A P(A)

20 Axiomas da Probabilidade Propriedades A função P tem proprieadades importantes, a saber Aditividade Para n eventos disjuntos {A i, i = 1, 2,..., n}, isto é A i A j = ; i, j = 1, 2,..., n (i j) temos P ( n ) A i = n P(A i ). i=1 i=1 Axiomas da Probabilidade Propriedades Probabilidade do Complemento P(A) = 1 P(A) Probabilidade do Evento Vazio P( ) = 0 Limitante Superior para P(A) P(A) 1

21 Axiomas da Probabilidade Propriedades Probabilidade da União P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, denimos a probabilidade condicional de B dado A como: P(B A) = P(A B). P(A) A probabilidade condicional mede a probabilidade do evento B ter ocorrido se o evento A ocorreu.

22 Probabilidade Condicional Interpretação A probabilidade condicional mede a parcela das ocorrências do evento A nas quais o evento B ocorreu também. Em termos de frequência relativa, a probabilidade de B, quando A ocorreu é : n(a B). n(a) Rescrevendo: n(a B) n(a) = n(a B) N N n(a) P(A B) =. P(A) Probabilidade Condicional Interpretação Importante: Como não usamos a frequência relativa como denição de probabilidade, não tomamos a expressão anterior como denição de probabilidade condicional.

23 Probabilidade Condicional Consequências 1 Se P(A) > 0 e A e B são mutuamente exclusivos, A B = e P(A B) = 0, portanto 2 Se A B, então A B = A, e 3 Se A B, então A B = B, e P(B A) = 0. P(B A) = 1. P(B A) = P(B) P(A) P(B). Probabilidade Total Partição do Espaço Amostral Dene-se uma partição do espaço amostral com um conjunto de eventos {B i }, i = 1,..., m tal que e B i B j =, i, j = 1,..., m, (i j), m B i = Ω. i=1 Os eventos que compõe a partição são portanto mutuamente exclusivos e exaustivos. O conceito também é válido para qualquer evento C Ω.

24 Probabilidade Total Teorema da Probabilidade Total Dado um evento A e uma partição de Ω {B j }, j = 1,..., m, podemos escrever ou m P(A) = P(A B j ) j=1 m P(A) = j=1 P(A B j )P(B j ) Probabilidade Total Regra de Bayes Considerando uma partição {B j }, j = 1,..., m de Ω, com P(B j ) > 0 para qualquer j e A um evento com P(A) > 0, podemos escrever P(B j A) = P(B j A) P(A) e P(A B j ) = P(B j A) P(B j ) juntando as duas expressões P(B j A) = P(A B j)p(b j ) P(A) e usando o teoremada da probabilidade total P(B j A) = P(B j )P(A B j ) m k=1 P(B k)p(a B k )

25 Probabilidade Total Regra de Bayes Regra de Bayes P(B j A) = P(B j )P(A B j ) m k=1 P(B k)p(a B k ) P(B j ) são as probabilidades a priori. P(B j A) são as probabilidades a posteriori. A regra de Bayes relaciona probabilidades a posteriori com as probabilidades condicionais e a priori. Independência Estatística Independência Estatística Independência Dois eventos A e B são estatisticamente independentes quando P(A B) = P(A)P(B) Em termos da probabilidade condicional, se P(A) > 0 e P(B) > 0, se A e B são independentes, então P(B A) = P(B) e P(A B) = P(A)

26 Independência Estatística Observações 1 Se A e B são mutuamente exclusivos, então P(A B) = 0, e, se P(A) > 0 e P(B) > 0, então os eventos não são independentes, pois P(B A) = P(A B) P(A) = 0 P(B). 2 Se os eventos A e B são independentes e mutuamente exclusivos, então P(A) = 0 ou P(B) = 0. Independência Estatística Generalização Eventos {A k }, k = 1,..., n são estatiscamente independentes quando para qualquer conjunto de índices distintos {k i }, i = 1,..., j com k i {1,..., n}, i = 1,..., j e j 2,..., n temos P ( j A ki ) = j P(A ki ) i=1 i=1

27 Sistemas de Probabilidade Sistema de Probabiliade O trio formado por Um espaço amostral Ω; Uma σ-álgebra A; Uma medida de probabilidade P; congura um sistema de probabilidade, denotado por S = (Ω, A, P) Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Produto Cartesiano Pode ser interessante observar mais de uma experiência simultaneamente. Se os espaços amostrais de duas experiênciais são Ω 1 e Ω 2, com pontos amostrais ω 1 i e ω 2 j, respectivamente, construimos pares ordenados (ω 1 i, ω 2 j ) que denem um novo conjunto Ω, o produto cartesiano de Ω 1 e Ω 2, denotado por Ω = Ω 1 Ω 2.

28 Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Produto Cartesiano Podemos considerar uma única experiência, cujos resultados são (ω 1 i, ω2 j ). Se as experiências originais correspondem a S 1 = (Ω 1, A 1, P 1 ) e S 2 = (Ω 2, A 2, P 2 ) e a experiência combinada ao sistema seria muito natural tomar S = (Ω, A, P) Ω = Ω 1 Ω 2 e A = A 1 A 2. Infelizmente não é possível arma nada sobre P. Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Sistemas Independentes Sistemas de Probabilidade Independentes Dois sistemas de probabilidade S 1 = (Ω 1, A 1, P 1 ) e S 2 = (Ω 2, A 2, P 2 ) são estatisticamente independentes quando para qualquer A 1 A 1 e A 2 A 2, temos P(A 1 A 2 ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ) P é a medida de probabilidade da experiência combinada. Observação: Se uma experiência puder ser analisada como a combinação de duas experiências com sistemas independentes, normalmente é conveniente fazê-lo.

29 Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Generalização Considerando n sistemas de probabilidades S k = (Ω k, A k, P k ), k = 1,..., n associados a n experiências, e n eventos tais que A ik A k, k = 1,..., n, os sistemas de probabilidade S k, k = 1,..., n são independentes quando a medida probabilidade P da experiência combinada é P(A i1 A i2... A in ) = P 1 (A i1 )P 2 (A i2 ) P n (A in ).