IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação

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1 IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação Conceitos fundamentais sobre Teoria dos Conjuntos Evandro Eduardo Seron Ruiz evandro@usp.br Universidade de São Paulo E.E.S. Ruiz (USP) LFA 1 / 26

2 Frase do dia O sábio procura a sabedoria, o tolo encontra-a. George Lichtenberg a a Escritor alemão ( ). E.E.S. Ruiz (USP) LFA 2 / 26

3 Teoria de Conjuntos? Eu sei! Caso você consiga responder todas destas questões, você está dispensado desta aula. Questão 1 Usando os diagramas de Venn, verifique as identidades: 1 A = (A B) (A B) 2 A B = A + B A B, visto que X = número de elementos do conjunto X Questão 2 Seja A = {1, 2, 3}. Quais é o conjunto das partes de A? E.E.S. Ruiz (USP) LFA 3 / 26

4 Soluções: Questão 1 Parte 1 Verificando a identidade usando os diagramas de Venn: 1 A = (A B) (A B) A B A B A B = E.E.S. Ruiz (USP) LFA 4 / 26

5 Soluções: Questão 1 Parte 2 Verificando a identidade usando os diagramas de Venn: 1 A B = A + B A B A B A B A B A B + = + E.E.S. Ruiz (USP) LFA 5 / 26

6 Soluções: Questão 2 Parte 2 O conjunto das partes de A = {1, 2, 3} é 2 A = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}, } Vamos começar! E.E.S. Ruiz (USP) LFA 6 / 26

7 Conteúdo 1 Conjuntos Propriedades Operações Propriedades das operações E.E.S. Ruiz (USP) LFA 7 / 26

8 Conjunto Definição Um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada. Valemos-nos das seguintes propriedades: E.E.S. Ruiz (USP) LFA 8 / 26

9 Propriedades Pertinência x A Se x é um elemento de A, diz-se x pertence a A, ou em caso contrário, x / A. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 9 / 26

10 Propriedades Pertinência x A Se x é um elemento de A, diz-se x pertence a A, ou em caso contrário, x / A. Continência B A Se todos elementos de B são elementos de A, B está contido em A Mas... Dizemos que B é um subconjunto próprio de A, nota-se B A, se B A e B A. Explicando melhor... E.E.S. Ruiz (USP) LFA 9 / 26

11 Pausa para explicações! Dizemos que B é um subconjunto próprio de A (notação B A) se B A e B A. Ou seja, B está estritamente contido em A, ou ainda, existe pelo menos um elemento x A tal que x / B. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 10 / 26

12 Pausa para explicações! Dizemos que B é um subconjunto próprio de A (notação B A) se B A e B A. Ou seja, B está estritamente contido em A, ou ainda, existe pelo menos um elemento x A tal que x / B. Ou ainda, existe pelo menos um elemento em B que não é elemento de A. Seja: A = {1, 2, 3, 4, 5}. Então {1, 2, 3} e {1} são subconjuntos próprios de A. Os conjuntos: {1, 9} e {1, 2, 3, 4, 5} não são! E.E.S. Ruiz (USP) LFA 10 / 26

13 Caso particular Em particular, = {} (conjunto vazio) é um subconjunto próprio de todo conjunto não vazio. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 11 / 26

14 Caso particular Em particular, = {} (conjunto vazio) é um subconjunto próprio de todo conjunto não vazio. A é o único subconjunto de um conjunto A que não é próprio. A é um subconjunto (não próprio) de A. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 11 / 26

15 Propriedades Pertinência x A Se x é um elemento de A, diz-se x pertence a A, ou em caso contrário, x / A. Continência B A Se todos elementos de B são elementos de A, B está contido em A Mas... Dizemos que B é um subconjunto próprio de A, nota-se B A, se B A e B A. Igualdade A = B see A B e B A E.E.S. Ruiz (USP) LFA 12 / 26

16 Importante! Conjunto vazio {} ou Conjunto finito Aquele que pode ser denotado por extensão, ou seja, listando seus elementos Conjunto infinito Caso contrário: Exe: N 1, Z, Q e R Conjunto universo U é o nome normalmente dado ao conjunto universo 1 Definição mais comum: Número inteiro não negativo, (0,1,2,...) E.E.S. Ruiz (USP) LFA 13 / 26

17 Exercícios em sala: 5 minutos Determine se as asserções abaixo são Verdadeiras ou Falsas 1 = {0} 2 x {x} 3 = { } 4 { } E.E.S. Ruiz (USP) LFA 14 / 26

18 Soluções Determine se as asserções abaixo são Verdadeiras ou Falsas 1 = {0}; Falsa 2 x {x}, Verdadeira, x é o único elemento do conjunto 3 = { } Falsa, o vazio não é um conjunto unitário 4 { } Verdadeira, o vazio é o único elemento do { } E.E.S. Ruiz (USP) LFA 15 / 26

19 Operações sobre conjuntos União A B = {x x A ou x B} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 16 / 26

20 Operações sobre conjuntos União A B = {x x A ou x B} Intersecção A B = {x x A e x B} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 16 / 26

21 Operações sobre conjuntos União A B = {x x A ou x B} Intersecção A B = {x x A e x B} Complemento A = A = {x x U e x / A} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 16 / 26

22 Operações sobre conjuntos União A B = {x x A ou x B} Intersecção A B = {x x A e x B} Complemento A = A = {x x U e x / A} Diferença A B = {x x A e x / B}, ou A B = A B E.E.S. Ruiz (USP) LFA 16 / 26

23 Operações sobre conjuntos União A B = {x x A ou x B} Intersecção A B = {x x A e x B} Complemento A = A = {x x U e x / A} Diferença A B = {x x A e x / B}, ou A B = A B Conjunto das partes 2 A = P(A) = {S S A} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 16 / 26

24 Operações sobre conjuntos União A B = {x x A ou x B} Intersecção A B = {x x A e x B} Complemento A = A = {x x U e x / A} Diferença A B = {x x A e x / B}, ou A B = A B Conjunto das partes 2 A = P(A) = {S S A} Produto cartesiano A B = {(a, b) a A e b B} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 16 / 26

25 Exercício em sala: 5 minutos Sejam o universo N e os conjuntos: A = {0, 1, 2} e B = {2, 3} então: A B = A B = A B = A = 2 B = P(B) = A B = E.E.S. Ruiz (USP) LFA 17 / 26

26 Exercício em sala: resolução Sejam o universo N e os conjuntos: A = {0, 1, 2} e B = {2, 3} então: A B = {0, 1, 2, 3} A B = {2} A B = {0, 1} A = {x N x > 2} 2 B = P(B) = {, {2}, {3}, {2, 3}} A B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 18 / 26

27 Considerações 1/4 Conjuntos disjuntos Dados os conjuntos A e B tais que A e B, se A B =, então A e B são conjuntos disjuntos, ou independentes, ou ainda, mutuamente exclusivos. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 19 / 26

28 Considerações 2/4 Par cartesiano: outra notação A A = A 2 Não confundir com 2 A (P(A)) Exemplo: Seja A = {0, 1, 2}, então 2 A = P(A) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} E.E.S. Ruiz (USP) LFA 20 / 26

29 Considerações 3/4 P(A) e suas propriedades O conjunto das partes de A tem duas propriedades: 1 Sejam os conjuntos X e Y, se X Y então P(X ) P(Y ) 2 Se X tem n elementos, então P(X ) tem 2 n elementos. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 21 / 26

30 Considerações 4/4 Notação do par cartesiano Um elemento do par cartesiano é denotado por (a, b). Não confundir com o conjunto {a, b }. Importante: Notar que a ordem no par ordenado é importante e que os componentes podem ser repetidos. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 22 / 26

31 Considerações 4/4 Notação do par cartesiano Um elemento do par cartesiano é denotado por (a, b). Não confundir com o conjunto {a, b }. Importante: Notar que a ordem no par ordenado é importante e que os componentes podem ser repetidos. Sejam: A = {1}, B = {1}, A B = {(1, 1)}. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 22 / 26

32 Propriedades das operações sobre conjuntos 1/2 Idempotência A A = A A A = A E.E.S. Ruiz (USP) LFA 23 / 26

33 Propriedades das operações sobre conjuntos 1/2 Idempotência A A = A A A = A Comutativa A B = B A A B = B A E.E.S. Ruiz (USP) LFA 23 / 26

34 Propriedades das operações sobre conjuntos 1/2 Idempotência A A = A A A = A Comutativa A B = B A A B = B A Associativa A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Notem que, dada a Associatividade, os parênteses não são importantes nestas operações. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 23 / 26

35 Propriedades das operações sobre conjuntos 2/2 Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) E.E.S. Ruiz (USP) LFA 24 / 26

36 Propriedades das operações sobre conjuntos 2/2 Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Duplo complemento ( A) = A E.E.S. Ruiz (USP) LFA 24 / 26

37 Propriedades das operações sobre conjuntos 2/2 Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Duplo complemento ( A) = A DeMorgan (A B) = A B (A B) = A B Saiba que: A B = ( (A B)) = ( A B) ou seja, o complemento da união pode ser calculado em termos da intersecção, e vice-versa. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 24 / 26

38 Em decorrência... Universo A A = U Vazio A A = E.E.S. Ruiz (USP) LFA 25 / 26

39 Lembrete Caros estudantes, Estes conceitos são importantes. Estudem, pois eles serão usados nas próximas etapas. E.E.S. Ruiz (USP) LFA 26 / 26