14/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 1. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Revisão de conjuntos. Modelos Probabilísticos

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1 Tratamento de Incertezas TIC Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes Material disponível em Tópicos da Aula Revisão de conjuntos Modelos probabilísticos Experimento aleatório Espaço amostral Evento Axiomas da probabilidade Lei probabilística Leituras Bertsekas and Tsitsiklis, 2nd ed., 2008, Seções 1.1 e 1.2 TIC Tratamento de Incertezas 2 Espaços Amostrais e Probabilidade Modelos Probabilísticos TIC Tratamento de Incertezas 3 1

2 Experimento Aleatório Experimento aleatório é uma atividade real ou conceitual que leva a um resultado possível Exemplos Lançar uma moeda Lançar, consecutivamente, duas moedas Lançar um dado Arremessar um dardo Rodar um programa de computador TIC Tratamento de Incertezas 4 Espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Os elementos de Ω precisam ser Mutuamente exclusivos Coletivamente exaustivos TIC Tratamento de Incertezas 5 Exemplo 1 Caso Discreto Lançamento de uma moeda representa cara representa coroa Ω, Mutuamente exclusivo e coletivamente exaustivo? TIC Tratamento de Incertezas 6 2

3 Exemplo 2 Caso Discreto Lançamento de duas moedas representa cara representa coroa Ω,,, ou Ω,, se a ordem dos resultados parciais não é importante Mutuamente exclusivo e coletivamente exaustivo? TIC Tratamento de Incertezas 7 Exemplo 3 Caso Discreto Lançamento de dois dados de 4 faces, assumindo que a ordem dos lançamentos é importante 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, Ω 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 4,1, 4,2, 4,3, 4,4 Segundo lançamento Primeiro lançamento ,1 1,2 1,3 1,4 Pensar graficamente ajuda muito! TIC Tratamento de Incertezas 8 Exemplo 4 Caso Contínuo Lançamento de um dardo em um alvo quadrado de lado igual a 1 Ω, 0, 1 1,1 0,0 TIC Tratamento de Incertezas 9 3

4 Classificação de Espaços Amostrais Espaço discreto Finito (e.g., faces de um dado) Infinito contável (e.g., conjunto dos números naturais, ) Espaço contínuo Finito não-contável (e.g., a superfície de um alvo) Infinito não-contável (e.g., conjunto dos números reais, ) TIC Tratamento de Incertezas 10 Evento Evento é uma coleção dos resultados possíveis de um experimento aleatório Um subconjunto do espaço amostral (Ω) Exemplo Resultados possíveis do lançamento de um dado de 6 faces o O número ser impar o O número ser menor do que quatro o O número ser um Um evento é representado como um conjunto de eventos atômicos, os elementos básicos de Ω TIC Tratamento de Incertezas 11 Definição Um conjunto é uma coleção de objetos, que são os elementos do conjunto Notação para conjunto discreto o Finito,,,, tal que o Infinito contável,,, tal que Notação para conjunto contínuo o Finito ou infinito não-contável Conjunto vazio é denotado por ou por TIC Tratamento de Incertezas 12 4

5 Pertinência Pertinência é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto, lê-se o elemento pertence ao conjunto, lê-se o elemento não pertence ao conjunto TIC Tratamento de Incertezas 13 Relações entre Conjuntos é subconjunto de se todo elemento de também é elemento de, lê-se é subconjunto de, lê-se é superconjunto de é igual a se e, lê-se é igual a, Diagrama de Venn TIC Tratamento de Incertezas 14 Operações com Conjuntos União ou e são partições de se e Intersecção e e são disjuntos se Complemento e, para ou e TIC Tratamento de Incertezas 15 5

6 Outras Operações e Identidades Diferenças (diferença entre conjuntos) (diferença simétrica) Algumas identidades,,,,, TIC Tratamento de Incertezas 16 Evento Recapitulando Evento é uma coleção dos resultados possíveis de um experimento aleatório Um subconjunto do espaço amostral (Ω) Exemplo Resultados possíveis do lançamento de um dado de 6 faces o O número ser impar o O número ser menor do que quatro o O número ser um Um evento é representado como um conjunto de eventos atômicos, os elementos básicos de Ω TIC Tratamento de Incertezas 17 Evento Exemplo 1 Caso Discreto Lançamento de um dado de 6 faces Espaço amostral Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6 Eventos o O número ser ímpar o O número ser menor do que quatro o O número ser um TIC Tratamento de Incertezas 18 6

7 Evento Exemplo 2 Caso Contínuo Lançamento de um dardo em um alvo quadrado de lado igual a 1 Espaço amostral Ω, 0, 1 Eventos o O dardo atingir o círculo inscrito no alvo o A soma de e ser menor ou igual a 0,3 TIC Tratamento de Incertezas 19 Probabilidade A probabilidade de um evento é a chance do evento acontecer como resultado de um experimento aleatório denota a probabilidade do evento ocorrer Definição axiomática da probabilidade Não se considera a forma como as probabilidades são obtidas, mas se assume que estas devem satisfazer certos axiomas TIC Tratamento de Incertezas 20 Axiomas da Probabilidade 1) Não-negatividade 2) Normalização 3) Aditividade 0 Ω 1 se, então de maneira mais geral, se Ω possui um número infinito de elementos e,, é uma sequência de eventos disjuntos TIC Tratamento de Incertezas 21 7

8 Propriedades da Probabilidade Para um evento 1, 0 ( evento impossível) Para quaisquer eventos e Para qualquer evento TIC Tratamento de Incertezas 22 Lei Probabilística Uma lei probabilística associa a um evento a probabilidade que codifica o conhecimento ou crença sobre as possibilidades coletivas dos elementos em TIC Tratamento de Incertezas 23 Lei Probabilística Exemplo 1 Caso Discreto Experimento Lançamento de dois dados de quatro faces Lei Todo resultado possível tem probabilidade de Eventos, ser 2,2 ou 3,2 2, Lançamento 3 4 Lançamento TIC Tratamento de Incertezas 24 8

9 Lei Probabilística Exemplo 2 Caso Contínuo Experimento Sorteio de dois número reais no intervalo 0,1 Lei Probabilidade equivale à área Eventos 0,3, 0,5, 0,5 0,0 1,1 TIC Tratamento de Incertezas 25 Modelo Probabilístico Modelo probabilístico é a descrição matemática de uma situação incerta Elementos de um modelo probabilístico Um espaço amostral Ω Uma lei probabilística TIC Tratamento de Incertezas 26 9

18/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 2. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Probabilidade Condicional

18/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 2. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Probabilidade Condicional Tratamento de Incertezas TIC-00.176 Aula 2 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.1/tic-00.176

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