MDI0001 Matemática Discreta Aula 04 Álgebra de Conjuntos

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1 MDI0001 Matemática Discreta Aula 04 Álgebra de Conjuntos Karina Girardi Roggia Departamento de Ciência da Computação Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa Catarina 2016 Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 1 / 55

2 Sumário Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 2 / 55

3 Álgebras Álgebra refere-se a cálculos. Exemplo: números reais e operações aritméticas (adição, multiplicação,... ) Denominação alternativa para Matemática Discreta. Conceito formal: será visto mais tarde. Informalmente: operações definidas sobre um conjunto. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 3 / 55

4 Álgebra de Conjuntos Operações definidas sobre todos os conjuntos. Não Reversíveis: união, intersecção Reversíveis: complemento, conjunto das partes, produto cartesiano, união disjunta. Conceitos importantes : representação gráfica : auto-referência Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 4 / 55

5 Obs: Lógica Álgebra de Conjuntos Relação direta entre conectivos lógicos e operações sobre conjuntos Conectivo Lógico negação disjunção conjunção Relação Lógica implicação equivalência Operação sobre Conjuntos complemento união intersecção Relação sobre Conjuntos continência igualdade Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 5 / 55

6 Largamente conhecidos e utilizados. Usam figuras geométricas no plano. Linguagem Diagramática auxilia entendimento de definições facilita desenvolvimento de raciocínios permite identificação e compreensão fácil e rápida dos componentes e relacionamentos Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 6 / 55

7 Exemplos Um dado conjunto A Um determinado elemento b B O conjunto C = {1, 2, 3} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 7 / 55

8 Exemplos {a, b} {a, b, c} A B Para dado conjunto universo U, C U Em geral: U é representado por um retângulo demais conjuntos por elipses, círculos, etc em C U, conjunto C é destacado para auxiliar visualmente Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 8 / 55

9 Aplicação dos Considere que pode-se intuir que a noção de subconjunto é transitiva, isto é A B B C A C Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 9 / 55

10 Transitividade da Continência Teorema (Transitividade da Continência) Suponha A, B e C conjuntos. Se A B e B C, então A C. Demonstração: (Lembrando que X Y sse x X, x Y ) Suponha que A, B e C são conjuntos quaisquer com A B e B C. Seja a A. Então: a A (pela definição de subconjunto e A B) a B (pela definição de subconjunto e B C) a C Portanto, para qualquer a A, a C. Logo A C. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 10 / 55

11 Diagrama de Venn Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 11 / 55

12 Conjunto: coleção de zero ou mais elementos distintos os quais não possuem qualquer ordem associada Existem conjuntos de conjuntos. Então... um conjunto pode ser elemento de si mesmo? Definição (Conjunto Ordinário) Conjunto que não pertence a si mesmo. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 12 / 55

13 S = {A A é um conjunto ordinário} Conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos. determina uma contradição Teorema () não é conjunto. S = {A A é um conjunto ordinário} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 13 / 55

14 Demonstração Suponha que S é conjunto. S é um elemento de si mesmo? Caso 1. Suponha que S S S S [pela definição de conj. ordinário] S não é um conjunto ordinário [pela definição de S] S / S Caso 2. Suponha que S / S S / S [pela definição de conj. ordinário] S é um conjunto ordinário [pela definição de S] S S Absurdo! Logo S não é conjunto. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 14 / 55

15 Paradoxo de Russel A notação por compreensão permite definir algo que não é conjunto S seria um subconjunto do conjunto de todos os conjuntos como S não é conjunto... não existe o conjunto de todos os conjuntos Ou seja: nem toda coleção de elementos constitui um conjunto. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 15 / 55

16 As operações mais comuns nos estudos da Álgebra de Conjuntos. União Intersecção Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 16 / 55

17 União Definição (União de Conjuntos) Dados A e B conjuntos, a união destes, A B, é tal que x A B x A x B Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 17 / 55

18 Exemplos Digitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Vogais = {a, e, i, o, u} Pares = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} Digitos Vogais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, e, i, o, u} Digitos Pares = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14,...} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 18 / 55

19 Exemplos A = {x N x > 2}, B = {x N x 2 = x} A B = {0, 1, 3, 4, 5, 6,...} R (reais), Q (racionais), I (irracionais) R Q = R R I = R Q I = R Seja U o conjunto universo e A U = U = U U A = U U U = U Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 19 / 55

20 Propriedades da União Elemento Neutro Idempotência Comutatividade A = A = A A A = A A B = B A Associatividade A (B C) = (A B) C Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 20 / 55

21 Associatividade da União Teorema (Associatividade da União) Suponha que A, B e C são conjuntos quaisquer. Então A (B C) = (A B) C Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 21 / 55

22 Demonstração Suponha que x A (B C). x A (B C) [definição de união] x A x (B C) [definição de união] x A (x B x C) [associatividade de ] (x A x B) x C [definição de união] x (A B) x C [definição de união] x (A B) C Portanto A (B C) = (A B) C. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 22 / 55

23 Intersecção Definição (Intersecção de Conjuntos) Dados A e B conjuntos, a intersecção destes, A B, é tal que x A B x A x B Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 23 / 55

24 Exemplos Digitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Vogais = {a, e, i, o, u} Pares = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} Digitos Vogais = Digitos Pares = {0, 2, 4, 6, 8} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 24 / 55

25 Exemplos A = {x N x > 2}, B = {x N x 2 = x} A B = R (reais), Q (racionais), I (irracionais) R Q = Q R I = I Q I = Seja U o conjunto universo e A U = U = U A = A U U = U Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 25 / 55

26 Propriedades da Intersecção Elemento Neutro Idempotência Comutatividade A U = A = U A A A = A A B = B A Associatividade A (B C) = (A B) C Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 26 / 55

27 Propriedades da União e da Intersecção Distributividade da intersecção sobre a união A (B C) = (A B) (A C) Distributividade da união sobre a intersecção A (B C) = (A B) (A C) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 27 / 55

28 Distributividade da intersecção sobre a união Teorema (Distributividade da intersecção sobre a união) Suponha que A, B e C são conjuntos quaisquer. Então A (B C) = (A B) (A C) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 28 / 55

29 Demonstração Suponha que x A (B C). x A (B C) [definição de intersecção] x A x (B C) [definição de união] x A (x B x C) [de Morgan] (x A x B) (x A x C) [definição de intersecção] x (A B) x (A C) [definição de união] x (A B) (A C) Portanto A (B C) = (A B) (A C). Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 29 / 55

30 Operação Reversível: a partir do resultado, é possível recuperar os operandos originais em Álgebras de Conjuntos Complemento Conjunto das Partes Produto Cartesiano União Disjunta Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 30 / 55

31 Complemento Definição (Complemento de um Conjunto) Dado A um conjunto qualquer, o seu complemento, A, é tal que x A x / A Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 31 / 55

32 Exemplos U = Digitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 1, 2} A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 32 / 55

33 Exemplos A = {0, 1, 2}, U = N A = {x N x > 2} R conjunto universo Q = I I = Q Para qualquer conjunto universo U e A U = U U = A A = U A A = Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 33 / 55

34 Propriedades com o Complemento Duplo Complemento DeMorgan A = A A B = A B A B = A B Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 34 / 55

35 Conjunto das Partes Definição (Conjunto das Partes) Dado A um conjunto qualquer, o seu conjunto das partes, 2 A ou P(A), é tal que {X X A} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 35 / 55

36 Exemplos Dados A = {a}, B = {a, b}, C = {a, b, c} 2 = { } 2 A = {, {a}} 2 B = {, {a}, {b}, {a, b}} 2 C = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Dado D = {a,, {a, b}}, 2 D = {, {a}, { }, {{a, b}}, {a, }, {a, {a, b}}, {, {a, b}}, {a,, {a, b}}} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 36 / 55

37 Número de Elementos de 2 A Dado X um conjunto finito Supondo n o número de elementos de X Notação: X = n Então 2 X = 2 n ou seja: 2 X = 2 X Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 37 / 55

38 Reversibilidade de 2 X Sabendo-se quem é 2 X, podemos calcular quem é X união de todos os conjuntos pertencentes à 2 X Exemplos: 2 F = {, {a}, {b}, {a, b}} X = A 2 X A F = {a} {b} {a, b} = {a, b} 2 G = {, { }, { }, { }, {, }, {, }, {, }, {,, }} F = { } { } { } {, } {, } {, } {,, } = {,, } Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 38 / 55

39 Produto Cartesiano Noção de sequência finita Sequência de n componentes: n-upla ordenada n objetos, em uma ordem fixa Par ordenado n-upla ordenada x, y ou (x, y) x 1, x 2,..., x n ou (x 1, x 2,..., x n ) Não confundir x 1, x 2,..., x n com {x 1, x 2,..., x n } x, y y, x Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 39 / 55

40 Produto Cartesiano Definição (Produto Cartesiano) Sejam A e B conjuntos, o produto cartesiano A B é o conjunto A B = { a, b a A b B} Notação: Produto cartesiano de um conjunto com ele próprio A A = A 2 Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 40 / 55

41 Exemplos A = {a}, B = {a, b}, C = {0, 1, 2} A B = { a, a, a, b } B C = { a, 0, a, 1, a, 2, b, 0, b, 1, b, 2 } C B = { 0, a, 0, b, 1, a, 1, b, 2, a, 2, b } A 2 = { a, a } A N = { a, 0, a, 1, a, 2, a, 3,...} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 41 / 55

42 Exemplos Produto Cartesiano é não associativo A = {a}, B = {a, b}, C = {0, 1, 2} A (B C) = { a, a, 0, a, a, 1, a, a, 2, a, b, 0, a, b, 1, a, b, 2 } (A B) C = { a, a, 0, a, a, 1, a, a, 2, a, b, 0, a, b, 1, a, b, 2 } Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 42 / 55

43 Exemplos Dado A conjunto qualquer A = A = 2 = Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 43 / 55

44 Distributividade do Produto Cartesiano Sobre a união A (B C) = (A B) (A C) Sobre a intersecção A (B C) = (A B) (A C) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 44 / 55

45 Reversibilidade do Produto Cartesiano Nem sempre é possível Resultado da operação: conjunto vazio Não é possível definir todos os operandos originais Caso A B A = {x x, y A B} B = {y x, y A B} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 45 / 55

46 Exemplos { a, a, a, b } Operandos: {a} e {a, b} { a, a, a, b, b, a, b, b } Operandos: {a, b} e {a, b} { a, 0, a, 1, a, 2, a, 3,...} Operandos: {a} e N { a, a, 0, a, a, 1, a, a, 2, a, b, 0, a, b, 1, a, b, 2 } Operandos: { a, a, a, b } e {0, 1, 2} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 46 / 55

47 União Disjunta Pessoas da família Silva e Souza Silva = {João, Maria, José} Souza = {Pedro, Ana, José} Silva Souza = {João, Maria, Pedro, Ana, José} José ocorre somente uma vez A operação não refleta uma reunião familiar José Silva não é a mesma pessoa que José Souza Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 47 / 55

48 União Disjunta Distingue elementos com mesma identificação Considera os operandos conjuntos disjuntos Garante que não existem elementos em comum associa uma identificação do conjunto origem um tipo de sobrenome elemento, identificação da origem Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 48 / 55

49 União Disjunta Definição (União Disjunta) Dados A e B conjuntos, sua união disjunta, A B, é o conjunto A B = { a, 0 a A} { b, 1 b B} A B = {a A a A} {b B b B} Há diversas formas de denotar A B Importante é distinguir o conjunto originário Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 49 / 55

50 Exemplos Silva = {João, Maria, José} Souza = {Pedro Ana, José} Silva Souza = { João,Silva, Maria,Silva, José,Silva, Ana,Souza, Pedro,Souza, José,Souza } D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} V = {a, e, i, o, u} P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...} D V = {0 D, 1 D, 2 D, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 D, 9 D, a V, e V, i V, o V, u V } D P = {0 D, 1 D, 2 D, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 D, 9 D, 0 P, 2 P, 4 P,...} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 50 / 55

51 Exemplos A = {x N x > 2} e B = {x N x 2 = x} A B = {0 B, 1 B, 3 A, 4 A, 5 A,...} A = {a, b, c} = A = { a, 0, b, 0, c, 0 } A A = { a, 0, b, 0, c, 0, a, 1, b, 1, c, 1 } Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 51 / 55

52 Reversibilidade da União Disjunta Dado A B A = {x x, 0 A B} B = {x x, 1 A B} Exemplos: { a, 0, b, 0, a, 1, b, 1, c, 1 } Operandos: {a, b} e {a, b, c} Operandos: e { a, 1, b, 1 } Operandos: e {a, b} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 52 / 55

53 Mais uma Operação NÃO Reversível Definição (Diferença) Dados A e B conjuntos, o primeiro conjunto menos o segundo, ou seja, a diferença de A e B é o conjunto A B = {x x A x / B} = A B Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 53 / 55

54 Exemplos Digitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Vogais = {a, e, i, o, u} Pares = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} Digitos Vogais = Dígitos Digitos Pares = {1, 3, 5, 7, 9} Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 54 / 55

55 Exemplos A = {x N x > 2}, B = {x N x 2 = x} A B = {3, 4, 5, 6,...} B A = {0, 1} R (reais), Q (racionais), I (irracionais) R Q = I R I = Q Q I = Q Seja U o conjunto universo e A U = U = U U A = A U U = Karina G. Roggia 2016 MDI Aula04 55 / 55

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