Departamento de InformáAca - PUC- Rio. Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio. Probabilidade

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1 Introdução à Simulação Estocás5ca usando R INF2035 PUC- Rio, Departamento de InformáAca - PUC- Rio Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio Experimentos aleatórios: no estudo de probabilidade, qualquer processo de observação é chamado de experimento. Os resultados de uma observação são chamados de saídas do experimento. Um experimento é chamado aleatório se sua saída não pode ser prevista. Exemplos: jogada de uma moeda ou jogada de um dado. Espaço amostral: O conjunto de todas as saídas possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral, e será denotado por S. Um elemento de S é cahamado de ponto amostral. Cada saída de um experimento aleatório corresponde a um ponto amostral. Exemplos: jogada de uma moeda - > S={H,T} ou jogada de um dado- > S={1,2,3,4,5,6} 1

2 Eventos: uma vez idenaficados o espaço amostral S de um experimento aleatório, podemos definir outros conceitos: Qualquer subconjunto de S é chamado de evento. Um ponto amostral de S é chamado de um evento elementar. O próprio conjunto S, como subconjunto dele mesmo, é o conjunto de todas os possíveis eventos, e, por isso, é chamado de evento certo. O conjunto vazio como subconjunto de S é chamado de evento impossível. Medida de probabilidade: A associação de números reais à eventos definidos no espaço amostral S é chamada de medida de probabilidade. Considere um experimento aleatório com um espaço amostral S, e seja A um evento paracular em S. Suponha que um experimento aleatório seja repeado n vezes. Se o evento A ocorre n(a) vezes, então a probabilidade do evento A, denotada por P(A), é definida por: P(A) = lim n- > n(a)/n onde a razão n(a)/n é chamada de freqüência relaava do evento A. 2

3 Note que o limite P(A) = lim n- > n(a)/n pode não exisar, e adicionalmente podem exisar várias situação onde o conceito de repeação pode não ser válido. Por outro lado é claro que a freqüência relaava de A possui as seguintes propriedades: 1. 0 <= n(a)/n <= 1 2. Se A e B são eventos mutualmente exclusivos, então n(a U B) = n(a) + n(b). 3. Axiomas: Seja S um espaço amostral finito e A um evento de S. A probabilidade P(A) de um evento A é um número real que saasfaz os seguintes axiomas: 1. P(A) >= 0 2. P(S) = 1 3. P(A U B) = P(A) + P(B) se a interseção de A com B é vazia. Se o conjunto amostral S não é finito, então o axioma 3 pode ser alterado para: 3. Se A 1,A 2, é uma seqüência infinita de eventos mutualmente exclusivos em S, então P(U i=1 A i ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ 3

4 Condicional: A probabilidade condicional de um evento A dado um evento B, denotado por P(A B) é definida por: P(A B) = P(A B)/P(B), com P(B)>0. Como P(B A) = P(A B)/P(A), com P(A)>0, podemos deduzir que: P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A). E daí segue a regra de Bayes: P(A i B) = P(B A i )P(A i )/(Σ i=1..n P(B A i )P(A i )) Eventos independentes: dois eventos são ditos independentes se e somente se P(A B)=P(A)P(B) 4

5 Variáveis Aleatórias Considere um experimento aleatório com espaço amostral S. Uma variável aleatória X(s) é uma função real que associa a cada ponto amostral s de S a um número real. S s X(s) IR Variáveis Aleatórias Uma v.a. associada a uma jogada de moeda (S = {H,T}). S H T X(H) =0 X(T) =1 IR 5

6 Variáveis Aleatórias Se X é uma v.a. e x é um número real dado, podemos definir o evento (X=x) como o conjunto {s em S: X(s) = x}. Similarmente, para os números reaisx, x 1 e x 2 podemos definir os seguintes eventos: (X <= x) = {s em S: X(s) <= x} (X > x) = {s em S: X(s) > x} (x 1 < X <= x 2 ) = {s em S: x 1 < X(s) <= x 2 } Esses eventos possuem suas probabilidades que são denotadas por P(X<=x), P(X>x) e P(x 1 < X <= x 2 ), respecavamente. Variáveis Aleatórias Exercício: Considere o experimento de se jogar 3 vezes uma moeda justa. O espaço amostral consiste em oito pontos amostrais com igual probabilidade. Se X é a v.a. que conta o número de caras obados nas três jogadas, ache (a) P(X=2) e (b) P(X<2). 6

7 Função de distribuição Uma função de distribuição acumulada de uma v.a. X é a função definida por F X (x) = P(X<=x); x em IR. Propriedades (cdf): 1. 0 <= F X (x) <= 1 2. F X (x 1 ) <= F X (x 2 ) se x 1 <= x 2 3. lim x- > F(x) = 1 4. lim x- >- F(x) = 0 5. lim x- >a+ F(x) = F(a) Função de distribuição Seja X uma v.a. com cdf F X. Se F X muda de valor somente em saltos e é constante entre os saltos, i.e. F X é uma função escada, então dizemos que X é uma v.a. discreta. Ou de outra forma, X é uma v.a. discreta somente se o dominio de X é um conjunto finito ou enumerável de pontos. Suponha que esses saltos de F X ocorram nos pontos x 1,x 2, onde a seqüência pode ser finita ou infinitamente contável e assuma que x i <x j se i<j. Então F X (x i ) F X (x i- 1 ) = P(X<=x i ) P(X<=x i- 1 ) = P(X=x i ). Seja p(x i ) = P(X=x i ). A função p X (x) é chamada de função massa de probabilidade de X. 7

8 Função de distribuição Propriedades da função massa de probabilidade de X: 1. 0 <= p X (x k ) <= 1, k = 1,2,3, 2. p X (x) = 0 se x!= x k, k = 1,2,3, 3. Σ k p X (x k )=1 A função F X (x) pode ser obada por F X (x)=σ x_k<x p X (x k ) Função de distribuição Seja X uma v.a. com cdf F X. Se F X é conwnua e também tem derivada df X /dx que existe em todos os pontos exceto em um conjunto finito e é conwnua por partes, então X é chamada de uma v.a. conwnua. Portanto, se X é uma v.a. conwnua, então P(X=x) = 0. F X (x) = integral(-,x, f X (x)) A função f X = df X /dx é chamada função densidade de probabilidade de X. Essa função tem as seguintes propriedades: 1. 0 <= f X (x) 2. Integral(-,, f X (x))=1 3. f X (x) é conwnua por partes 8

9 Distribuições de variáveis aleatórias Neste ponto é conveniente lembrar que conhecer a distribuição de uma variável aleatória consiste em ser capaz de calcular a probabilidade de qualquer evento dentro da classe de eventos possíveis, suas uniões e interseções. A função de distribuição acumulada, definida por F(t)= Pr(X< t) para todo t real, é capaz de caracterizar a distribuição de qualquer variável aleatória X. Distribuições de variáveis aleatórias As propriedades das funções de distribuição acumulada são as seguintes: Se x n x então F(x n ) F (x). Se x então F (x) 0, e se x então F (x) 1 Se x<y então F(x) F (y). Reciprocamente, toda função saasfazendo as três propriedades acima é função de distribuição acumulada, isto é, ela caracteriza a distribuição de alguma variável aleatória real. 9

10 Funções densidade de probabilidade Caso exista uma função f : F(t) = t + f(x) dx para a qual então dizemos que F caracteriza a distribuição de uma variável aleatória conwnua. Nesse caso, f recebe o nome de densidade de probabilidade, ou simplesmente de densidade, e também caracteriza a distribuição da viariável aleatória. Funções densidade de probabilidade Toda densidade de probabilidade possui duas propriedades: Ela é não negaava, e o conjunto { x : f(x) > 0} recebe o nome de suporte da densidade ou da distribuição, e a sua integral é unitária, isto é: f(x) dx = 1. A função de distribuição acumulada de variáveis aleatórias conwnuas é estritamente crescente no suporte e, portanto, inversível nesse conjunto. 10

11 Variáveis aleatórias discretas Caso o espaço amostral da variável aleatória seja finito ou enumerável, dizemos se tratar de uma variável aleatória discreta. Nesse caso, basta conhecer a probabilidade de cada evento atômico para caracterizar a sua distribuição, isto é, a função (x i,p i = Pr(X = p i )) para todo evento elementar x i. A função (x i,p i = Pr(X = p i )) recebe o nome de função de probabilidade, e é possível ver que a função de distribuição acumulada, neste caso, é constante por partes: F(t)= xi t p i Média, Momentos e Variância Uma informação muito importante que decorre do conhecimento da distribuição de uma variável aleatória é a dos seus momentos. O momento de ordem k da variável aleatória X com distribuição caracterizada pela densidade f é dado pela integral E(X k )= x k f(x) dx se ela exisar. Caso se trate de uma variável aleatória discreta, a integral é subsatuída por uma soma. 11