Avaliação de Desempenho

Transcrição

1 Avaliação de Desempenho Aula passada Métricas, Técnicas, Erros Aula de hoje Conceitos importantes de probabilidade

2 Como fazer a análise de desempenho? Modelos Matemáticos Modelos de Simulação

3 Como fazer a análise de desempenho? Modelos Matemáticos Probabilísticos Processos Estocásticos Cadeias de Markov

4 Experimentos Aleatórios O que é um experimento aleatório? Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado! Exemplos: Resultado de jogar um dado Palavra de busca submetidas ao Google Tempo de espera no ponto de ônibus Vivemos num mundo aleatório...

5 Caracterizando Aleatoriedade Como caracterizar um experimento aleatório? Ingredientes necessários... Possíveis resultados do experimento Probabilidade de ocorrer cada um dos resultados Modelos Probabilísticos

6 Modelo Probabilístico Representação matemática de um fenômeno aleatório Componentes Espaço amostral (S): conjunto de eventos elementares que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório Probabilidade de eventos (P): quantificação da chance que cada evento ocorra Conjunto de eventos (E): subconjunto de eventos que são de nosso interesse

7 Exemplo: Dado Espaço amostral (S): cada uma das faces do dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidade de eventos (P): chance de que cada face ocorra: P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, etc. Conjunto de eventos (E): números pares, E = {2, 4, 6}

8 Variáveis Aleatórias Consideremos um experimento aleatório, com um espaço amostral S Em alguns casos, experimentos aleatórios não resultam em valores numéricos Necessidade de expressar resultados de forma precisa Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado Idéia: Mapear resultados de um experimento aleatório em números reais!

9 Exemplo: 1 dado Considere um dado Ganha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou

10 Definição de V.A. Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S X : S R v.a. é uma função (e não uma variável) imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um-para-um)

11 Definição de V.A.

12 Exemplo: 2 dados Considere dois dados (vermelho e preto) Espaço amostral: S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados X i, j =i j Inversa de X eventos que levam a um certo valor de X X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

13 Tipos de Variáveis Aleatórias (v.a) Discretas: O número de valores assumidos pela v.a é finito (infinito), porém contável números inteiros Contínuas: O conjunto dos valores assumidos pela v.a. é formado pelos pontos de um segmento de reta

14 Função de probabilidade de massa (pmf) Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? {s X s = x} Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x p X x = P[ X =x]=p [{s X s = x}]= X s = x notação de pmf (probability mass function) P [s]

15 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a pmf de X p X x = P[ X =x] Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? p X 2 =P [ X =2 ] = 1/36 p X 3 =P [ X =3 ] = 2/36 X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,2), (2,1)} p X 4 =P [ X =4 ] = 3/36... X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}

16 pmf, graficamente Exemplo: 2 dados P [X = x] x (valor que X pode assumir)

17 Função de distribuição cumulativa (cdf) Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual) Dada v.a. X, temos F X x =P [ X x]= P[{s X s x}]= X s x notação da cdf (cumulative distribution function) P [s] F X (x) é não decrescente Limite quando x tende a infinito é 1

18 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a cdf de X F X x = P [ X x ] F X 2 =P [ X 2 ]= 1/36 F X 3 =P [ X 3 ]= 3/36 F X 4 =P [ X 4 ]= 6/36... X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,1), (1,2), (2,1)} X=4 : {(1,1),..., (1,3)}

19 V.As Importantes v.a. discretas v.a. contínuas Bernoulli Uniforme Binomial Exponencial Geométrica Erlang Poisson Normal Usadas para modelar eventos que ocorrem na natureza Representam v.a. que iremos usar Relativamente fáceis de manipular

20 Poisson

21 Exemplo com Poisson Chegada de chamadas a uma central de atendimento segue a distribuição de Poisson Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto? Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?

22 Poisson Em sistemas com congestionamento (ou seja com filas), o número total de jobs que chegam, o número total de jobs que completam o serviço, o número total de mensagens transmitidas em um canal de comunicação, em um intervalo fixo de tempo, é aproximado por uma v.a de Poisson

23 Variável Aleatória Contínua Aplica-se quando espaço amostral não é contável Mesma idéia da v.a. discreta mapear o espaço amostral nos números reais X :S R Exemplo de experimento aleatório tempo até uma lâmpada queimar (medido com precisão infinita) X é uma v.a. que indica exatamente este tempo (função identidade)

24 Variável Aleatória Contínua Função de probabilidade de massa não faz sentido probabilidade de um ponto do espaço amostral é zero Função de distribuição cumulativa faz sentido probabilidade de uma região do espaço mapeado ex. prob. da lâmpada queimar em menos de 1 dia F X x =P [ X x]

25 Função de Densidade de Probabilidade (pdf) Aplicada a v.a. contínuas (facilita os cálculos) Define probabilidade da v.a. através de integrais f X x x = b P [a X b ]= x =a f X x d x Relação com cdf (função cumulativa) d d x F X x = f X x função de densidade da v.a. X pdf é a derivada da cdf

26 Função de Densidade de Probabilidade(pdf)

27 Exponencial Tempo até que um evento ocorra Relacionada com Poisson (tempo entre eventos) Parâmetros l: taxa de ocorrência de eventos cdf: F X t =1 e l t pdf: f X t =l e l t

28 Exponencial cdf pdf P[X <= t] f X (x) diferentes valores do parâmetro l t t

29 V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial Tempo entre chegadas de dois jobs sucessivos em um servidor de arquivos (interarrival time) Tempo de serviço de um servidor em uma rede de filas; o servidor pode ser uma CPU, um dispositivo de E/S ou um canal de comunicação Tempo para que um componente falhe (tempo de vida) Tempo para recuperar um componente

30 V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial Para todos estes casos, estamos somente fazendo uma SUPOSIÇÃO de que podemos usar a variável exponencial para representar a probabilidade de ocorrência dos valores dos experimentos aleatórios! Somente através de uma validação basead na análise de resultados reais poderá dizer se a nossa suposição está correta ou não!

31 Propriedade Memoryless Propriedade de memoryless Distribuição da probabilidade condicional é igual a distribuição da probabilidade original (para o restante do tempo) P [T s t T s ]=P [T t ] s, t 0 Exemplo P [T 4 0 T 3 0]=P [T 1 0] P [T 4 0 T 3 0]=P [T 4 0] Correto Errado! A chance de um evento não ocorrer nos próximos 10 segundos é igual a dos primeiros 10 segundos!

32 Processo Estocástico (I) Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias {X(t) t T}, definidas em um espaço de probabilidades, indexadas por um parâmetro t, onde t varia no conjunto T. Os valores assumidos pela variável aleatória X(t) são chamados estados, e o conjunto de todos os valores possíveis é denominado espaço de estados, definido por I.

33 Processo Estocástico (II) Classificação em relação aos estados: (1) Se o espaço de estados é discreto, temos um processo de estados discretos, ou cadeia (2) Se o espaço de estados é contínuo, temos um processo de estados contínuo Classificação em relação ao tempo: (1) Se o conjunto de índices é discreto, temos um processo de parâmetro de tempo discreto (2) Se o cnjunto de índices é contínuo, temos um processo de parâmetros de tempo contínuo

34 Processo Markoviano Um processo Markoviano é um processo estocástico cujo a dinâmica do comportamento é tal que a distribuição de probabilidade do futuro depende somente do estado presente e não no passado do processo. Se o espaço de estados é discreto, o processo Markoviano é conhecido como cadeia de Markov.

35 Cadeia de Markov Diagrama estados e transições Para que serve? B Representar comportamento de sistemas (modelar) que evoluem com o tempo obter medidas de interesse Avaliação de Desempenho! A C D Qual a probabilidade de termos mais de 10 pessoas na fila do banco?

36 Cadeia de Markov: Estado Estado representação abstrata do sistema Espaço de estado: conjunto dos possíveis estados que o sistema pode estar A B C D O que o estado representa? Qual é o espaço de estado da cadeia ao lado? Número de Estados finito ou infinito infinito, mas contável (nosso curso)

37 Cadeia de Markov: Estado Estado Conjunto de variáveis de estado A C O que são variáveis de estado? Como escolho as variáveis? B D Exemplos Corpo humano Fila Modelos de confiabilidade Protocolos de comunicação Etc, etc

38 Cadeia de Markov Importante: A escolha das variáveis depende do que se quer obter, isto é, das medidas de interese que se quer calcular Exemplos: Corpo humano Fila, etc, etc

39 Cadeia de Markov: Transições O que representam? Qual o próximo estado no próximo instante de observação Nota: próximo estado s é atingido com probabilidade p Ou próximo estado depois da ocorrência de um evento

40 Cadeia de Markov: Transições Exemplo: corpo humano (temperatura) estado Instantes de observação tempo

41 Cadeia de Markov: Transições Transições: outro exemplo Podem também representar possíveis eventos do sistema sistema transiciona quando evento ocorre eventos ocorrem de forma probabilística Quantos eventos podem ocorrer no estado C? Qual evento ocorre primeiro no estado A? A B C D

42 Cadeia de Markov: Simplicidade Técnica de modelagem muito utilizada Porque? Solução do modelo é muito simples Porque? (o que é solução do sistema?) Propriedade de Markov futuro depende apenas do estado presente transição para pŕoximo estado depende apenas do estado atual Porque? Todo o passado do sistema está representado pelo valor atual das variáveis de estado

43 Porque Markov? Markov: matemático russo wikipedia! Primeiros estudos sobre processos estocásticos sem nenhuma aplicação (na época) trabalho com processos sem memória Andrei A Markov ( )