ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007

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1 ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias 1

2 Definição: A uma função X de domínio Ω com valores em Ñ X:Ω Ñ, ω X(ω)=x, chamamos variável aleatória (v.a.) em Ω. Ao contradomínio da função X, designaremos por V X = X(Ω) 2

3 Exemplo 1: Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar ao ar duas vezes uma moeda equilibrada. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que sai cara. 3

4 ω = X -1 (x) (ca,ca) (ca,co) (co,ca) (co,co) X(ω) Nota: O contradomínio da função X é o conjunto V X =X(Ω)={0,1,2}

5 Exemplo 2: Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar ao ar dois dados equilibrados. Seja X a variável aleatória que representa a soma do nº de pintas. 5

6 6 ω = X -1 (x) X(ω) (1,1) 2 (1,2), (2,1) 3 (1,3), (3,1), (2,2) 4 (2,3), (3,2), (1,4), (4,1) 5 (2,4), (4,2), (3,3), (5,1), (1,5) 6 (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (6,1), (1,6) 7 (2,6), (6,2), (4,4), (3,5), (5,3) 8 (3,6), (6,3), (5,4), (4,5) 9 (4,6), (6,4), (5,5) 10 (5,6), (6,5) 11 (6,6) V X ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 12

7 X(A)= { X(ω): ωe A }Õ Ñ Ω ω A= X - 1 (B) B ÕÑ 7 X - 1 (B)= {ω: X(ω) e B }Õ Ω

8 Algumas considerações: A função X faz corresponder a cada elemento ω eωum e um só X(ω) e Ñ. Para espaços de resultados não numeráveis, tem de se garantir que a imagem inversa de qualquer subconjunto de R, seja um subconjunto do espaço de resultados, ao qual lhe possa ser atribuído uma probabilidade. 8

9 Algumas considerações (cont.): Utiliza-se também, para designar variável aleatória, a notação mais simples X, em vez de X(ω). De referir ainda que se designa variável aleatória por letras maiúsculas, enquanto que os valores observados da variável, que resultam da experiência, são representados pela respectiva letra minúscula. 9

10 Nota: Seja X uma v.a. definida sobre Ω, é possível calcular uma probabilidade de um conjunto de intervalos de números reais a partir da variável aleatória previamente definida. 10

11 X(A)= B Õ Ñ Ω ω A B ÕÑ P(X e B)=P(A) 11 X - 1 (B)= A Õ Ω

12 Exercício: Relativamente ao exemplo 2, que consiste na experiência aleatória de lançar ao ar dois dados equilibrados e em que X é uma variável aleatória que representa a soma do nº de pintas. Calcule a probabilidade de: a) P(X=5) b) P(X>10) c) P(3 X<6) 12

13 Teorema: Sejam X,Y duas variáveis aleatórias e a, b dois números reais. Tem-se X+Y X-Y X Y (X/Y),Y 0 ax+by são ainda variáveis aleatórias. 13

14 Teorema: Seja g uma função de uma variável aleatória X. Então g(x) é também uma variável aleatória. 14

15 Definição: Seja X uma variável aleatória com domínio Ω. Diz-se que X é uma variável aleatória discreta se existir um conjunto numerável EÕR tal que P(XœE)=1. 15

16 Nota: Numa variável discreta, o contradomínio da variável aleatória X,V X, é Um conjunto finito ou Um conjunto infinito numerável. 16

17 Definição: Seja X uma variável aleatória discreta definida sobre o espaço resultados Ω. A função f:v X [0,1], x i f(x i )=P(X= x i ) designa-se por função de probabilidade da variável aleatória X. 17

18 Nota: Geralmente os valores não nulos da função de probabilidade representam-se da seguinte forma, X x 1 x 2... x n... f(x i )=P(X= x i ) f(x 1 ) f(x 2 )... f(x n )... 18

19 Propriedades da função de probabilidade 1. f(x i ) 0, para todo x i œv X, 2. i f(x i ) = 1, para todo x i œ V X. 19

20 Exercício: Relativamente ao exemplo 1, calcule: a) A função de probabilidade. b) Mostre que esta função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade. 20

21 f(x)

22 Definição: Seja X uma variável aleatória definida sobre o espaço resultados Ω. A função F: Ñ [0,1], x F(x)=P(X x) designa-se por função de distribuição da variável aleatória X. 22

23 Exercício: Relativamente ao exemplo 1, calcule a função de distribuição da variável X. 23

24 F(x) 1 0,75 0,5 0,

25 Propriedades da função distribuição 1. F(x) é monótona não decrescente, isto é, 2. Lim x + F(x)=1 Lim x - } F(x)=0 x<y F(x) F(y) 3. F(x) é contínua à direita, ou seja, lim x a + F(x)=F(a) 25

26 Nota : A função de distribuição fica completamente determinada a partir da função de probabilidade e reciprocamente. 26

27 Definição: Seja X uma variável aleatória discreta com contradomínio V X. Define-se valor médio ou valor esperado de X, e representa-se por µ ou E(X), como sendo µ = E( X ) = x V i x x i P ( X = x ) i 27 desde que x V i x x i P ( X = x ) < + i

28 Algumas propriedades verificadas pelo valor esperado Seja X uma v.a. constante, X=a. Então E(X)=E(a)=a Seja X v.a. e a,b constantes reais. Então E(ax+b)=aE(X)+b 28

29 De uma forma geral Seja X v.a. discreta e g(x) uma função de X. Então E = [ g( X )] g( x ) P( X = x ) x V i x i i 29 desde que x V i x g ( x ) P( X = x ) < + i i

30 Exercício: Relativamente ao exemplo 1, calcule: a) E(X) b) E(2X+4) c) E(3X-5) 30

31 Definição: Seja X uma v.a. Define-se momento ordinário de ordem k como sendo o valor esperado da potência de ordem k da variável aleatória e representa-se por µ k = E(X k ). 31

32 Definição:Seja X uma v.a. Define-se momento centrado de ordem k como sendo o valor esperado da potência de ordem k da diferença entre a variável aleatória e o seu valor esperado e representa-se por µ k =E[(X-µ) k ] 32

33 Casos especiais: Valor esperado ou Valor Médio µ 1 = µ = E(X) Variância µ 2 = var(x)= E[(X-µ) 2 ] 33

34 Definição:Seja X uma v.a.. Ao segundo momento centrado de ordem 2 dá-se o nome de variância de X e representa-se por Var(X) ou σ 2 (X) Var(X) = σ 2 (X) =E[(X-µ) 2 ] À raíz positiva da variância de X, dá-se o nome de desvio-padrão de X, 34 σ ( X ) = Var( X)

35 Algumas propriedades verificadas pela variância Seja X uma v.a., Var(X)=E(X 2 ) E 2 (X) Seja X uma v.a., Var(X) 0 35

36 Seja X uma v.a. constante, X=a. Então Var(X)=Var(a)=0 Seja X v.a. e a,b constantes reais. Então Var(ax+b)=a 2 Var(X) 36

37 Exercício: Relativamente ao exemplo 1, calcule: a) Var(X) b) Var(2X+4) c) Var(3X-5) 37