Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Algoritmo para simular uma fila Medidas de interesse Média amostral Aula de hoje Teorema do Limite Central Intervalo de Confiança Variância amostral Método de replicações independentes

2 Soma de Variáveis Aleatórias Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado e variância μ< σ 2 < Seja n S n = i=1 X i a soma da sequência Para onde vai esta soma? soma possui valor único (para um dado n)?

3 Soma de Variáveis Aleatórias Seja n S n = i =1 X i a soma da sequência Sabemos que : Logo: S n =n X n E[ S n ]=E [n X n ]=n E [X n ]=nμ Var [S n ]=Var [n X n ]=n 2 Var[ X n ] Var [S n ]=n 2 σ 2 /n=nσ 2 E sua distribuição? P [S n z ]=? o que podemos afirmar?

4 Teorema do Limite Central Distribuição da soma de v.a. iid converge para distribuição Normal Resultado fundamental em probabilidade Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado Seja n S n = i =1 X i e variância a soma da sequência 2 Então Normal com mesma média e variância P [S n z ] N n, n 2 quando n

5 Distribuição Normal Importante distribuição (conhecida também como distribuição de Gauss) Dois parâmetros: média Normal padrão: =0, 2 =1 e variância 2 Exemplos da distribuição Normal (função de densidade) diferentes parâmetros

6 Normalização Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado Seja e variância σ 2 < Transformar a soma S n numa v.a. com valor esperado 0 e variância 1 Temos que: a nova sequência E[ Z n ]=E [ S nμ n σ n ]=0 Var [Z ]=Var [ S n μ n n σ n ]=1 Então Z n = S n nμ σ n P [ Z n z ] z quando n Normal padrão N(0, 1)

7 Teorema do Limite Central Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado Z n = S n n n Resultado lim n = P[ X n X n / n e variância dividindo numerador e denominador por n onde X n = 1 n S n 2 função de distribuição cumulativa da Normal padrão / n z ] = z convergência em probabilidade média amostral

8 Comparação com Grandes Números Qual é a diferença? Lei dos grandes números média converge para seu valor esperado lim n P [ X n ]=1 Teorema do Limite Central distribuição converge para Normal lim n P [ X n / n z ] = z

9 Teorema do Limite Central na Prática Na prática n é finito TLC vale no limite Com n grande, mas finito resultado é aproximado usaremos esta aproximação P [S n z] N n, n 2 quando n é suficientemente grande (ex. n > 30)

10 Intervalo de Confiança Média amostral não é igual ao valor esperado Idéia tende ao valor esperado Utilizar a média para calcular um intervalo onde o valor esperado pode estar Probabilidade de obter um intervalo que contém o valor esperado depende do tamanho do intervalo intervalo menor, menor probabilidade Confiança do intervalo

11 Distribuição Normal (0,1) P [ Z > z α ] = Onde é a área da curva A partir da simetria da distribuição Normal temos: P [ z Z n z ]=1 2 P [ z / 2 Z n z /2 ]=1 z

12 Calculando o Intervalo Temos então P [ z / 2 Z n z /2 ]~1 P [ z / 2 X n S / n z / 2 ]~1 S é desvio padrão amostral pois desvio padrão real não é conhecido P [ z / 2 X n S / n z / 2]~1 P [ X n z / 2 S n X n z / 2 S n ]~1 A confiança do intervalo X n ±z / 2 S / n é ~ 1

13 Intervalo de Confiança P [ X n z / 2 S n X n z / 2 S n ]~1 μ X n z α/2 S / n X n +z α/2 S / n

14 Aproximando a Normal Seja Z n = X n S / n P [Z n z]~ z outra aproximação pois S é uma estimativa do desvio padrão aproximadamente N(0,1) quando n é suficientemente grande

15 Como obter o valor de z /2? Suponha intervalo de confiança de 90% Temos que 1- =0.9, logo /2=0.05 P [Z n z 0.05 ]=0.05 P [Z n z 0.05 ]=0.95 z 0.05 =1.645 F Z n z 0.05 =0.95

16 Tabela da Distribuição Normal P [N 0, 1 z ]= z

17 Explicando Intervalo de Confiança Com probabilidade 1 o intervalo gerado contém o valor esperado Intervalos de confiança gerados (dado n amostras) Invervalo de confiança de 95% boa chance do intervalo gerado conter o valor esperado, mas não é garantido

18 Estimando Variância da Medida de Interesse X n estimativa para valor esperado da medida de interesse E[X] não é conhecido (objetivo é estimá-lo) Como você estimaria a variância da medida de interesse? Var[X] também não é conhecida

19 Variância Amostral Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado e variância 2 Seja S 2 = 1 n n 1 i=1 X i X n 2 Então E [ S 2 ]= 2 S 2 é um estimador não-tendencioso (unbiased) da variância de X

20 Organizando as execuções da simulação Objetivo: Estudar o sistema em estado estacionário Descartar o período transiente Descartar amostras até que o evento de menor taxa tenha ocorrido uma centena de vezes Requisitos quando aproximamos por uma v.a. Normal Z n = X n S / n As v.a. X 1, X 2,..., X n devem ser iid e ter média e variância finitas (teorema do limite central)

21 Método de Replicações Executar a simulação diversas vezes de forma que os valores coletados para os X i 's sejam independentes Execução 1 Independentes m X 1 =1/m j=1 X 1j Execução 2 m X 2 =1/ m j =1 X 2j Execução n n X n = 1 n i =1 m X n =1/m j =1 X nj X i S 2 = 1 n X X 2 n 1 i=1 i n

22 Critério de Parada Escolher valores iniciais para (confiança do intervalo) e l (largura do intervalo) Calcule S e tamanho m: X n a partir das n amostras de X X 1m X X 2m... X n1... X nm Se X 1 X 2 X n então parar a simulação 2 z / 2 S / n l senão aumentar m e/ou n