Sucessões. Limites de sucessões O essencial

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Liliana Farias
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1 Sucessões Limites de sucessões O essencial

2 Limite de uma sucessão Dada uma sucessão (u n ), um número real l designa-se por limite da sucessão (u n ) ou limite de u n quando n tende para + quando, para todo o número real δ > 0, existir uma ordem p IN a partir da qual todos os termos da sucessão u n verificam a condição u n l < δ. Dizer que o limite da sucessão (u n ) é l é o mesmo que dizer que u n tende para l, o que se representa por u n l.

3 Sucessão convergente/divergente Uma sucessão u n que tem como limite um número real l designa- -se por convergente. Caso contrário, diz-se divergente.

4 Teorema da unicidade do limite de uma sucessão Uma sucessão (u n ) convergente admite um único limite. O limite de uma sucessão convergente representa-se por lim n u n, lim n u n ou lim u n.

5 Teorema Toda a sucessão convergente é limitada.

6 Teorema sobre sucessões monótonas e limitadas e convergência Uma sucessão crescente em sentido lato e majorada é convergente. Uma sucessão decrescente em sentido lato e minorada é convergente.

7 Teorema Dadas duas sucessões (u n ) e (v n ), se (u n ) é limitada e lim v n = 0, então, lim u n v n = 0.

8 Limites infinitos Uma sucessão u n tem limite +, (lim u n = + ), quando, para todo o L > 0, existe uma ordem p IN, tal que n IN, n p u n > L é verdadeira, dizendo-se, neste caso, que u n tende para + (u n + ). Uma sucessão u n tem limite, (lim u n = ), quando, para todo o L > 0, existe uma ordem p IN, tal que n IN, n p u n < L é verdadeira, dizendo-se, neste caso, que u n tende para (u n ).

9 Limite de uma progressão aritmética O limite de uma progressão aritmética de razão a é + se a > 0 ou se a < 0.

10 Limite de uma sucessão de termo geral u n = an + b cn + d (cn + d 0) Se c 0, então, lim an+b cn+d = a c ; Se c = 0, então, lim an+b d = + (respetivamente, lim an+b d = ) caso a e d tenham o mesmo sinal (respetivamente, sinais contrários); Se a = c = 0, então,lim b = b. Em particular, o limite de uma d d sucessão constante é a própria constante.

11 Limite de uma sucessão de termo geral u n = n r, r Q Dado um número racional r, tem-se: lim n r = +, se r > 0; lim n r = 0 se r < 0.

12 Limite da soma de sucessões convergentes Dadas duas sucessões (u n ) e (v n ) convergentes de limites a e b, respetivamente, tem-se que a sucessão (u n + v n ) é convergente e lim u n + v n = a + b.

13 Limite do produto de sucessões convergentes Dadas duas sucessões (u n ) e (v n ) convergentes de limites a e b, respetivamente, e k IR, tem-se que as sucessões (u n v n ) e ku n são convergentes e lim u n v n = ab e lim ku n = ka.

14 Limite do quociente de duas sucessões convergentes Dadas duas sucessões (u n ) e (v n ) convergentes de limites a e b, respetivamente, com v n 0, n IN e b 0, as sucessões são convergentes e 1 v n e u n v n lim 1 v n = 1 b e lim u n v n = a b.

15 Limite da potência de expoente racional de uma sucessão convergente Dada uma sucessão (u n ) convergente e um número racional r 0, se r IN, ou se todos os termos da sucessão são não negativos e r é positivo, ou ainda se todos os termos da sucessão são positivos, então, a sucessão de termo geral u n r é convergente e lim u n r = lim u n r.

16 Álgebra de limites infinitos Dadas duas sucessões u n e (v n ), se lim u n = + e lim v n = l IR, (ou lim v n = + ), lim u n + v n = +. Esta propriedade representa-se por + + l = + e = +, respetivamente. Dadas duas sucessões u n e (v n ), se lim u n = e lim v n = l IR, (ou lim v n = ), lim u n + v n =. Esta propriedade representa-se por + l = e + =, respetivamente.

17 Produto de uma sucessão convergente por uma com limite infinito Dadas duas sucessões, (u n ) com limite l, e (v n ) com limite +, lim u n v n = + se l > 0 ou lim u n v n = se l < 0. Estas propriedades representam-se por: l + = + se l > 0 e por l + = se l < 0 Dadas duas sucessões, (u n ) com limite l, e (v n ) com limite, lim u n v n = se l > 0 ou lim u n v n = + se l < 0. Estas propriedades representam-se por l = se l > 0 e por l = + se l < 0.

18 Limite do produto de sucessões com limites infinitos Dadas sucessões, (u n ) com limite + (respetivamente, ), e (v n ) com limite +, lim(u n v n ) = + (respetivamente, lim(u n v n ) = ). Esta propriedade representa-se, respetivamente, por: + + = + e + = Dadas sucessões, (u n ) com limite + (respetivamente, ), e (v n ) com limite, lim(u n v n ) = (respetivamente, lim(u n v n ) = + ) Esta propriedade representa-se, respetivamente, por: + = e = +

19 Limite da potência de uma sucessão com limite infinito Expoente natural Dada uma sucessão u n e um número natural r. Se lim u n = +, a sucessão de termo geral u n r tem limite +. Se lim u n =, a sucessão de termo geral u n r tem limite + se r for par e se r for ímpar. Esta propriedade representa-se por + r = +, r = + se r for par e r = se r for ímpar.

20 Limite da potência de uma sucessão com limite infinito Expoente racional positivo Dada uma sucessão u n de termos não negativos e limite +, e um número racional r positivo, a sucessão de termo geral u n r tem limite +. Esta propriedade representa-se por + r = +.

21 Inversa de uma sucessão de limite infinito Dada uma sucessão u n de termos não nulos, se lim u n = ou lim u n = +, então, lim 1 u n = 0. Esta propriedade representa-se escrevendo 1 = 0.

22 Inversa de uma sucessão com limite nulo Seja u n uma sucessão de termos não nulos e limite nulo. Se a partir de certa ordem todos os seus termos são positivos (respetivamente, negativos), lim 1 u n = + (respetivamente, lim 1 u n = ). Dada uma sucessão u n de termos não nulos: Se lim u n = 0 +, lim 1 u n = +, representando-se por = +. Se lim u n = 0, lim 1 u n =, representando-se por 1 0 =.

23 Limite da sucessão de termo geral a n, a IR + \{1} Se a 0, a sucessão de termo geral u n = a n é uma progressão geométrica de razão a. Se 0 < a < 1, tem-se que u n positivos e lim a n = 0. é uma sucessão decrescente de termos Se a > 1, lim a n = lim 1 1 a n = = +.

24 Limite de polinómios Dado um polinómio P(x) de grau m 1 com coeficiente do termo de maior grau a m, a sucessão P n de termo geral P n = P(n) é tal que: lim P n = +, se a m > 0 e lim P n =, se a m < 0.

25 Limite de sucessões com polinómios Dados números reais a i, 0 i m e b j, 0 j p, com a m 0 e b p 0 e a sucessão q n de termo geral q n = a mn m + a m 1 n m a 1 n + a 0 b p n p + b p 1 n p b 1 n + b 0 tem-se 1) Se m = p, lim q n = a m b p ; = + ; 2) Se m > p e a m b p > 0, lim q n 3) Se m > p e a m b p < 0, lim q n = ; 4) Se m < p, lim q n = 0.

26 Limite de n a, com a > 0 Dado um número real a > 0, lim n a = 1.

27 Indeterminações + (+ ) 0 0 0

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