Variáveis Aleatórias. Henrique Dantas Neder. April 26, Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia

Transcrição

1 Variáveis Aleatórias Henrique Dantas Neder Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia April 2, 202

2 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA O conceito de variável aleatória está intrínsicamente relacionado ao conceito de experimento aleatório. Seja um experimento E, cujo espaço amostral é Ω. Podemos para cada evento pertencente a Ω relacionar um número X pertencente ao conjunto dos números reais. Uma variável aleatória é uma função que relaciona um número real a cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. Estamos restringindo as variáveis aleatórias ao conjunto dos números reais. Mas nada impede, em princípio, que possamos ter uma variável aleatória denida mno conjunto dos números complexos. Esta relação deve ser tal que para dois eventos determinados de Ω podemos ter um mesmo número relacionado e pertencente a R. O contrário não é possível (ou permitido dentro desta denição): não podemos ter para um mesmo evento de Ω dois números distintos pertencentes a R.

3 Então podemos denir variável aleatória X, uma variável pertencente a R tal que para cada evento de Ω existe um e somente um número associado no espaço dos números reais R. Vejamos um exemplo: seja o experimento aleatório jogam-se 2 dados. Seja X, o número de caras do resultado. Então para cada evento de Ω temos uma e somente um número de caras. Desta forma X é uma variável aleatória. Uma variável aleatória é denida como uma função que relaciona um valor numérico a cada ponto amostral do espaço amostral de um experimento. Cada realização do experimento gera um valor experimental da variável aleatória. Este valor experimental da variável aleatória é igual ao valor da variável aleatória associado ao ponto amostral que corresponde ao resultado do experimento. Denição: Uma variável aleatória discreta é uma variável que pode assumir somente certos valores claramente separados (em descontinuidade) resultantes, por exemplo, de uma contagem de algum item de interesse. Exemplo: Seja X o número de caras quando uma moeda é

4 jogada 3 vezes. Aqui os valores de X são 0,,2 ou 3 (são claramente separados, em descontinuidade). Nota: uma variável aleatória discreta não precisa necessariamente assumir apenas valores inteiros. Poderia, por exemplo, ser uma variável que apresentasse os seguintes valores: 0, 23/7, 72/25, etc. A condição que deve ser cumprida é seus valores sejam descontínuos. Exemplo : Considere um experimento aleatório no qual uma moeda é jogada 3 vezes. Seja X o número de caras. Seja H o resultado cara e T o resultado coroa. O espaço amostral para este experimento será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH Assim, os possíveis valores de X (número de caras) serão: X = 0,, 2, 3. Nota: Neste experimento, há 8 possíveis resultados no espaço amostral. Desde que eles são todos igualemente prováveis de ocorrer, cada resultado tem uma probabilidade de /8 de ocorrer.

5 A gura a seguir ilustra a associação existente entre resultados do experimento (no espaço amostral) e os valores assumidos pela variável X.

6

7 Distribuição de probabilidade Uma distribuição de probabilidade atribuida a uma variável aleatória discreta é uma associação que relaciona a cada valor da variável aleatória um único valor de probabilidade. Assim no exemplo de jogar duas moedas e contar o numero de caras, a distribuição de probabilidade será: X P(X) 0 /4 /2 2 /4 Então podemos dizer que uma função de probabilidade é uma relação que estabelecemos entre cada valor da variável aleatória e suas respectivas probabilidades.podemos dizer que uma distribuição de probabilidade somente pode se referida em relação a uma variável aleatória discreta. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA ˆ Denição: Uma variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir um número innitamente grande de valores (com certas limitações práticas).

8 Exemplo: (a) Peso de um estudante (b) comprimento de um carro Podemos também denir variáveis aleatórias contínuas e um ponto de vista teórico. Esse é o caso da variava aleatória normal, da variável aleatória uniforme contínua, da variável t d e Student, da variável Qui-quadrado, etc. Função densidade de probabilidade Para as variáveis aleatórias discretas denimos o conceito de distribuição de a probabilidade. E esta distribuição de probabilidade só pode ser denida para uma variável aleatória discreta. Para uma variável aleatória continua temos que denir uma função de densidade de probabilidade. Seja f(x) uma função densidade de probabilidade (ou simplemente função densidade). Então esta função dever cumprir as seguintes propriedades.. f (x) 0 para qualquer x 2. P(a X b) = b 3. + f (x)dx = a f (x)dx Vejamos o exemplo da variável aleatória contínua uniforme.

9 Dizemos que esta varuável aleatória tem uma distribuição uniforme. Ela pode ser denida como: f (x) = para a X b b a Uma caso particular desta distribuição seria: f (x) = 0 5 = 5 P(7 X 9) = 9 7 para 5 X 0 5 dx = X = = 2 5 O Valor Esperado (média) de uma Distribuição de Probabilidade Discreta Como vimos, uma variável aleatória é qualquer variável cujo valor não pode ser predito exatamente. Uma variável aleatória discreta é aquela que tem um conjunto especíco de possíveis valores. Um exemplo de variável aleatória discreta é o valor da soma quando se jogam dois dados. Um exemplo de variável aleatória contínua é a temperatura que será observada em um determinado dia do ano. O valor esperado de uma variável discreta é a média

10 ponderadaa de todos os seus possíveis valores considerando-se como peso os valores das probabilidades de cada resultado. Esta média ponderada pode ser calculada através da soma acumulada (somatório) do produto dos valores (resultados) por suas respectivas probabilidades. Em termos matemáticos, se a variável aleatória é denotada por X e seu valor esperado simbolizado por E(X), temos: E(X ) = x P(X = x ) + x 2 P(X = x 2 ) x n P(X = x n ) = n i= x i P(X = x i ) Vejamos o exemplo do experimento dos dois dados. Neste caso, a variável aleatória discreta associada a este experimento pode assumir os valores X=,2,...,2 com distribuição de probabilidade dada por:

11 X P(X = x i ) x i P(X = x i ) soma E(X ) = = 7 Interpretação do valor esperado (ou esperança matemática) de uma variável aleatória discreta: o valor esperado é a média de longo prazo - a média dos resultados de uma variável aleatória se pudéssemos realizar o experimento um número innito de vezes.

12 A Variância e o Desvio Padrão de uma Distribuição de Probabilidade Discreta A variância mede a quantidade de dispersão ou variabilidade de uma distribuição. Ela é denotada pela letra grega σ 2 (sigma ao quadrado). O desvio padrão é obtido através da raiz quadrada de σ 2. A variância de uma distribuição de probabilidade discreta é calculada através da fórmula: V (X ) = σ 2 X = (X µ) 2 P(X ) Outra expressão para a variância de uma variável aleaatória discreta é dada por: V (X ) = σ 2 X = (X µ) 2 P(X ) = (X 2 2X µ + µ 2 )P(X ) = X 2 P(X ) 2µ XP(X ) + µ 2 P(X ) = X 2 P(X ) µ 2 Exemplo Uma empresa especializa-se no aluguel de carros para famílias que necessitam de um carro adicional para um período curto de tempo. O presidente da empresa tem estudado seus registros para as

13 últimas 20 semanas e apresentou os seguintes números de carros alugados por semana. X f (semanas) P(X) XP(X) X 2 X 2 P(X ) = = = = Soma 20 E(X ) =, 3 28, Var(X ) = E(X 2 ) µ 2 = 28,, 3 2 =.9 Alguns teoremas para a esperança matemática (média) e para a variância. Se c é uma constante, então:e(cx ) = ce(x ) 2. Se X e Y são quaiquer variáveis aleatórias, então:e(x + Y ) = E(X ) + E(Y ) 3. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então:e(xy ) = E(X )E(Y ) 4. Se c é uma constante, então: var(cx ) = c 2 var(x )

14 5. A quantidade E(X a) 2 é mínima quando:a = µ = E(X ). Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: var(x + Y ) = var(x ) + var(y ) e var(x Y ) = var(x ) + var(y ) Exemplo: Sejam X e Y variáveis aleatórias associadas ao experimento jogar dois dados e ver o resultado de ambos. X é o resultado do primeiro dado e Y é o resultado do segundo dado. Calcule o valor esperado e a variância de X+Y e de X-Y. x i P(X = x i ) E(X ) = E(Y ) = XP(X ) = 3, 5 VAR(X ) = VAR(Y ) = E(X 2 ) µ 2 X = 9 3, 52 = 2, 97 Portanto: E(X + Y ) = 3, 5 + 3, 5 = 7 ; E(X Y ) = 3, 5 3, 5 = 0;VAR(X + Y ) = VAR(X Y ) = 2, 97 2 = 5, 8334 Veja que não podemos usar o teorema 4 para calcular V (X + Y )como sendo var(x + X ) = var(2x ) porque X não é indendente dela mesma. desta froma, o cálculo produz resultado incorreto: var(x + X ) = var(2x ) = 2 2 2, 97 =, 788

15 Covariância de duas variáveis aleatórias discretas Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Dene-se covariância de X e Y como sendo: cov(x, Y ) = E[(X µ x )(Y µ y )] = E(XY ) E(X )E(Y ) Duas variáveis aleatórias tem covariância positiva quando as mesmas covariam no mesmo sentido, ou seja, quando a primeira se eleva a outra também se eleva e quando a primeira se reduz, a segunda também se reduz. Duas variáveis aleatórias tem covariância negativa quando as mesmas covariam em sentidos opostos, ou seja, quando a primeira se eleva a outra se reduz e quando a primeira se reduz, a segunda se eleva. Quando duas variáveis aleatórias X e Y não são independentes, então: var(x + Y ) = var(x ) + var(y ) + 2cov(X, Y ) Exemplo: Seja o experimento aleatório joga-se um dado e observa-se o número de sua face. Seja X, o número da face e Y=2X+3. Então temos:

16 X P(X) Y X+Y X P(X ) Y P(Y ) (X + Y ) P(X + Y ) = = = = = = soma E(X ) = 2 X Y XY XY P(XY ) = = = = = = 90 soma E(XY ) = = 5 = 7 = 7 9 = 9 9 = 9 2 = 2 = 5 = 5 3 = 3 8 = 8 5 = 5 2 = 2 E(Y ) = 0 E(X + Y ) = 8 Vemos pela tabela acima que E(X + Y ) = 8 e que E(X ) + E(Y ) = = = E(X + Y ).

17 Também podemos calcular a covariância de X e Y: cov(x, Y ) = E(XY ) E(X ) E(Y ) = = Agora vamos calcular as variâncias em outro quadro: X Y X+Y X 2 P(X ) Y 2 P(Y ) (X + Y ) 2 P(X + Y ) 5 2 = = = = = = 3 soma E(X 2 ) = = = = 8 2 = = = 225 E(Y 2 ) = 70 2 = = = = = = 44 E((X + Y ) 2 ) = 25 Podemos calcular a variãncia de X + Y de duas formas. A primeira é a forma direta: var(x + Y ) = E((X + Y ) 2 ) E(X + Y ) 2 = 25 ( 8 )2 = 2, 25 A segunda forma é através de: var(x + Y ) = var(x ) + var(y ) + 2cov(X, Y ) = E(X 2 ) E(X ) 2 + E(Y 2 ) E(Y ) 2 + 2cov(X, Y ) = 9 ( 2 ) (0) = 2, 25

18 No caso deste exemplo a covariância entre X e Y é positiva e não poderia ser de outra forma já que o coeciente angular da reta y=2x+3 é postivo e igual a 2. Poderiamos aproveitar esta expressão e fazer os seguintes cálculos: var(x + Y ) = var(x + 2X + 3) = var(3x + 3) = var(3x ) = 9var(X ) = 9 ( 9 ( 2 )2 ) = 2, 25 cov(x, Y ) = cov(x, 2X + 3) = E(X (2X + 3)) E(X )E(2X + 3) = E(2X 2 + 3X ) E(X )(2E(X ) + 3) = (2 + 3) =