DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA (parte II)

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Márcio Figueiredo Coimbra
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1 UFPE - Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estatística Disciplina: ET-406 Estatística Econômica Professor: Waldemar A. de Santa Cruz Oliveira Júnior DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA (parte II) Variáveis Aleatórias Independentes Caso Discreto: Seja (X, Y ) uma V.A. discreta bidimensional com distriuição de probabilidade p(x i, y j ), então, dizemos que X e Y são independentes se p(x i, y j ) = p(x i )p(y j ), para quaisquer i e j. Exemplo 1 De acordo com a distribuição de probabilidade abaixo X e Y são independentes. Distribuição de (X, Y ) X Y ,08 0,48 2 0,32 0,12 Exemplo 2 De acordo com a distribuição de probabilidade abaixo X e Y não são independentes. Distribuição de (X, Y ) X Y ,2 0,4 2 0,3 0,1 1

2 Caso Contínuo: Seja (X, Y ) uma V.A. contínua bidimensional com densidade de probabilidade f(x, y), então, dizemos que X e Y são independentes se f(x, y) = g(x)h(y), em que g(x) e h(y) são as densidades marginais de X e Y, respectivamente. Exemplo 3 A V.A. (X, Y ) tem densidade de probabildade dada por f(x, y) = e (x+y), em que x 0 e y. Verique se X e Y são independentes. Exemplo 4 A V.A. (X, Y ) tem densidade de probabildade dada por f(x, y) = 8xy, em que 0 x y 1. Verique se X e Y são independentes. Exemplo 5 Prove que se (X, Y ) são independentes, então, no caso discreto, p(x i y j ) = p(x i ), para quaisquer i e j. E no caso contínuo, f X Y (x y) = g(x), em que g(x) é a marginal de X. Funções de Variáveis Aleatórias Sejam as V.A.'s X e Y denidas no espaço amostral Ω, então, para cada subconjunto S Ω ca denido o subconjuto do plano euclidiano (X(S), Y (S)). Nesta seção estamos interessados em estudar funções das V.A.'s X e Y, por exemplo, Z = X + Y, Z = X Y, Z = XY etc. Estas funções geram para cada S um subconjunto Z(S) na reta real e encontrar a distrbição de probabilidade destas funções é uma tarefa relativamnte fácil no caso discreto. Porém, no caso contínuo temos que introduzir uma outra função W, recorrer ao jacobiano dessas funções para encontrarmos a distribuição conjunta da V.A. (Z, W ) e por m, encontrar a marginal Z. Neste curso, não iremos tratar do caso contínuo. 2

3 Exemplo 6 A tabela abaixo fornece a distribuição de probabildade da V.A. (X, Y ). Encontre a distribuição de probabilidade das funções Z = X + Y e W = XY, das marginais de X e de Y. Por m, encontre a esperança das V.A.'s X, Y, Z e W. Distribuição de (X, Y ) Y 0 1 X 0 1/ /8 1/8 2 1/8 2/ /8 Um resultado bastante conhecido da estatística garante que se Z(X, Y ) é uma função da V.A. (X, Y ), então, no caso disreto temos que E [Z(X, Y )] = Z(x i, y j )p(x i, y j ). E no caso contínuo, E [Z(X, Y )] = i=1 j=1 Z(x, y)f(x, y). Exemplo 7 No exemplo anterior encontre a esperança de Z = X + Y a partir da sua distribuição conjunta. Observe que não precisamos encontrar a distribuição de Z para cacular seu valor esperado, calculamos a partir de sua distribuição conjunta. 3

4 Teorema 1 Seja a V.A. (X, Y ), então, E [X + Y ] = E [X] + E [Y ]. Teorema 2 Seja a V.A. (X, Y ), tal que, X e Y são independentes, então, E [XY ] = E [X] E [Y ]. Observe que a recípocra do Teorema 2 não é verdadeira. Exemplo 8 Considere o exercício 10 da página 210 do livro do Bussab. Covariância e Coeciente de Correlação Podemos dizer que o coeciente de correlação é uma padronização da covariância e que é uma forma de medir o grau de correlação entre duas variáveis. Def. Denimos como a covariância de duas V.A.'s X e Y como Cov(X, Y ) = E [(X E[X]) (Y E[Y ])] Teorema 3 Cov(X, Y ) = E [XY ] E[X]E[Y ]. 4

5 Exemplo 9 Calcue a covariância das V.A.'s X e Y denidas no exemplo 6 e das denidas no exemplo 4. Teorema 4 Var [X ± Y ] = Var [X] Var + [Y ] ± 2Cov(X, Y ) Def. Dizemos que duas V.A.'s X e Y são não correlacionadas quando Cov(X, Y ) = 0. Observe que se X e Y são independentes, então, são não correlacionadas também. E que se são não correlacionadas, então, Var [X ± Y ] = Var [X] + Var [Y ]. Poderíamos pensar em medir o grau de correlação entre duas V.A.'s X e Y a partir de sua covariância, quanto mais próximo de zero sua covariância menos correlaconadas estariam as variáveis. Mas, a ordem de grandeza da covariância está relacionada com a ordem de grandeza de X e de Y, assim, poderíamaos ter uma covariância com valor pequeno e as variáveis estarem muito correlacionadas. Def. O coeciente de correlação de duas V.A.'s X e Y é denido como ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var[X]Var[Y ]. Exemplo 10 Calcue o coeciente de correlação das V.A.'s X e Y denidas no exemplo 6 e das denidas no exemplo 4. 5

6 Lista de Exercícios: Resolva todos os exercícios do capítulo 8 do Livro do Bussab, exceto os exercícios 27, 28, 29 e 34. No exercício 43 item b) encontre apenas a média e a variância da V.A. em questão. Referência Bibliográca: Bussab, W. O. & Morettin, P. A. (2002), Estatística Básica, 5a Edição, Editora: Saraiva. Meyer, P. (1969), Probabilidade: Aplicações à Estatística. Ao Livro Técnico. Morettin, L. G. (2009), Estatística Básica: Probabilidade e Inferência, Volume Único, Pearson Education. 6

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