Variável Aleatória Contínua (v.a.c)

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1 Variável Aleatória Contínua (v.a.c) Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina 1 / 14

2 (v.a.c.) Uma função Y definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais, é denominada variável aleatória contínua (v.a.c.). Exemplos altura de um adulto custo do sinistro de um carro; temperatura mínima diária; saldo de aplicações financeiras; ganho de peso após dieta. 2 / 14

3 As probabilidades referentes a variáveis contínuas são associadas a intervalos ou regiões de um espaço amostral, e não a pontos individuais. Exemplos 1) Podemos querer saber a probabilidade de que, num dado momento, um carro esteja correndo a uma velocidade entre 80 e 85 km/h, e não que esteja correndo a exatamente 27π = 84, km/h. 2) Podemos querer saber se um pacote de alimento congelado pesa pelo menos 195 g e não que pese exatamente 38, 5 = 196, g. 3 / 14

4 O comportamento probabiĺıstico de uma variável aleatória contínua será descrito pela sua função densidade de probabilidade (f.d.p.). Definição A f.d.p. de uma variável aleatória Y é uma função f (y) que satisfaz as seguintes propriedades: f (y) 0; A área total sob o gráfico de f (y) é igual a 1 ou seja: + f (y)dy = 1. 4 / 14

5 Exemplo 1 Seja uma função f (y) dada por: { 1 f (y) = 4, 1 y 5 0, c.c. Mostre que f (y) é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). 5 / 14

6 Exemplo 2 Seja uma função f (y) dada por: 0, y < 0; f (y) = ay 3, 0 y 2; 0, y > 2. em que a é uma constante. Obter a de modo que f (y) seja uma f.d.p. de uma variável aleatória Y. 6 / 14

7 Cálculo da probabilidade Definição A probabilidade P(a Y b) corresponde à área sob a curva no intervalo [a, b]. Em termos matemáticos P[a Y b] = b a f (y)dy, ou seja, a área limitada pela função f (y), eixo Y e pelas retas Y = a e Y = b. 7 / 14

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9 Exemplo 3 Seja f (y) = y 8 uma f.d.p. de uma variável aleatória Y definida sobre o intervalo de y = 0 a y = 4. Encontre as probabilidades a) P(0 Y 2); b) P(0 Y < 2). 9 / 14

10 Exemplo 3 Seja f (y) = y 8 uma f.d.p. de uma variável aleatória Y definida sobre o intervalo de y = 0 a y = 4. Encontre as probabilidades a) P(0 Y 2); b) P(0 Y < 2). Esse exemplo ilustra o fato importante de que, no caso contínuo, a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor específico é zero. Assim, será admitido que P[a < Y < b] = P[a Y < b] = P[a < Y b] = P[a Y b]. 9 / 14

11 Esperança e variância Definição A esperança matemática (ou valor médio) e a variância de uma variável aleatória contínua Y, são dadas, respectivamente, por: µ(y ) = E(Y ) = + yf (y)dy σ 2 Y = V (Y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 em que E(Y 2 ) = + y 2 f (y)dy 10 / 14

12 Exemplo 4 Seja Y uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: 0, y 0; f (y) = 2y, 0 y 1; 0, y > 1. a) Fazer o gráfico de f (y); c) Calcular P(0 < Y < 0, 75); d) Calcular a média e o desvio padrão de Y. 11 / 14

13 F(y) Definição Se Y é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f (y) define-se a sua função de distribuição acumulada F (y) como: F (y) = P(Y y) = y f (t)dt. Se a e b forem dois números reais quaisquer, tem-se que: P(a < Y < b) = F (b) F (a). 12 / 14

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15 Exemplo 4 Seja Y uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: 0, y 0; f (y) = 2y, 0 y 1; 0, y > 1. Encontre o valor de Y = y abaixo do qual existem 50% dos dados. 14 / 14