Sumário. 2 Índice Remissivo 11

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2 Sumário 1 Esperaça de uma Variável Aleatória Variáveis aleatórias idepedetes Esperaça matemática Esperaça de uma Fução de Variável Aleatória Propriedades da Esperaça Variâcia de uma variável aleatória Propriedades da variâcia Ídice Remissivo 11 ii

3 Capítulo 1 Esperaça de uma Variável Aleatória Vamos começar itroduzido uma otação que será útil ao estudar o coceito de esperaça matemática: variáveis aleatórias idepedetes. 1.1 Variáveis aleatórias idepedetes Relembre a defiição de evetos idepedetes: sejam Ω um espaço amostral, A e B evetos de Ω. Etão, dizemos que os evetos A e B são idepedetes se P(A B) P(A)P(B). Esta defiição motiva a defiição de idepedêcia etre variáveis aleatórias: Defiição: Variáveis Aleatórias Idepedetes Sejam X : Ω R e Y : Ω R duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são idepedetes se para todos os evetos A,B R, vale a fórmula: P(X A e Y B) P(X A)P(Y B). Nota Sejam X e Y são duas variáveis aleatórias discretas. Supoha que X toma valores o cojuto {a 1,a 2,a 3,...} e que Y toma valores o cojuto {b 1,b 2,b 3,...}. Etão, é possível mostrar que X e Y são idepedetes se, e somete se, para cada a i e b j, temos P(X a i,y b j ) P(X a i )P(Y b j ). 1.2 Esperaça matemática Vamos começar motivado a defiição de esperaça. A esperaça pode ser pesada como uma geeralização da média. De fato, supoha que temos 1 pesos. O primeiro possui 1 quilo, o segudo 2 quilos,..., o décimo 1 quilos. Supoha que uma pessoa escolhe um peso aleatoriamete, ode todos os pesos possuem a mesma probabilidade de serem escolhidos. Qual o peso médio? 1 / 11

4 Temos 1 quilo com probabilidade 1/1, 2 quilos com probabilidade 1/1,..., 1 quilos com probabilidade 1/1. Assim, o peso médio é m 1/1 + 2/ /1 5,5. Mais geralmete temos a Defiição: Esperaça de Variáveis Aleatórias Discretas Seja X uma variável aleatória discreta tomado valores o cojuto {a 1,a 2,a 3,...}. Seja p(a i ) P(X a i ) sua fução de probabilidade. Etão, defiimos a esperaça, ou valor esperado, de X como: a i p(a i ), se a série a i p(a i ) covergir, ou seja, se a série a ip(a i ) covergir absolutamete. Caso a série em questão ão covirja absolutamete, dizemos que a esperaça de X ão existe. É claro que se X toma apeas uma quatidade fiita de valores, digamos a 1,...,a, etão a esperaça de X é dada por a i p(a i ). Nota Observe que como a soma p(a 1 )+ + p(a ) 1, podemos pesar esta esperaça como uma média poderada, etre os valores a 1,...,a, com os pesos p(a 1 ),..., p(a ). Note aida que se todos os valores forem igualmete possíveis, ou seja, se para cada i, p(a i ) 1/, etão a esperaça será dada simplesmete pela média aritmética etre os valores possíveis: 1 a i. Exemplo 1.1 Exemplo de esperaça de variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória que toma valor 1 com probabilidade p, e valor com probabilidade 1 p. Temos etão que p() + 1p(1) p(1) P(X 1) p. Vamos agora defiir esperaça para variáveis aleatórias cotíuas. Defiição: Esperaça de Variáveis Aleatórias Cotíuas Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade f. Defiimos a esperaça de X como f (x)dx, se x f (x)dx <. No caso da itegral imprópria acima divergir, dizemos que a esperaça de X ão existe. 2 / 11

5 Exemplo 1.2 Exemplo de esperaça de variável aleatória cotíua Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade dada por { 1 f (x) b a, a < x < b,, caso cotrário. Portato, b x a b a dx 1 b a x2 2 b2 a 2 2(b a) (b+a)(b a) 2(b a) a+b 2. b a 1.3 Esperaça de uma Fução de Variável Aleatória Defiição: Esperaça de fução de variável aleatória Seja X uma variável aleatória e seja Y H(X), para uma fução real H. Temos etão dois casos: Se X for uma variável aleatória discreta tomado valores em {a 1,a 2,...}, e se p é a fução de probabilidade de X, temos que E(Y ) E(H(X)) H(a i )P(X a i ) H(a i )p(a i ). Se X for uma variável aleatória cotíua com fução de desidade f, etão temos que E(Y ) E(H(X)) H(x) f (x)dx. Exemplo 1.3 Exemplo de esperaça de fução de uma variável aleatória discreta Vamos relembrar um exemplo estudado quado itroduzimos fuções de variáveis aleatórias: seja X uma variável aleatória discreta tomado valores o cojuto 1,2,3,... Supoha que P(X ) (1/2). Defia a fução g : {1,2,3,...} R dada por f (2k) 1, k 1,2,3,..., e f (2k 1) 1, para k 1,2,3,... Ou seja, g(x) é igual a 1 se x é par, e é igual a -1 se x é ímpar. Desta forma, 3 / 11

6 defiido Y g(x), temos que E(Y ) E(g(X)) g(2i)p(x 2i) + P(X 2i) + (1/2) 2i (1/2) 2i (1/2) 2i 2 1/4 1 1/4 1/3. (1/2) 2i (1/4) i g(i)p(x i) g(2i 1)P(X 2i 1) ( 1)P(X 2i 1) (1/2) 2i 1 2 (1/2) 2i (1/2) 2i Portato, E(Y ) 1/3. Note que, quado apresetamos o exemplo o Capítulo 4, vimos que Y só assume os valores 1 e 1. Além disso, calculamos sua fução de probabilidade: P(Y 1) 2/3 e P(Y 1) 1/3. Desta forma, usado diretamete a defiição de esperaça de variáveis aleatórias discretas, temos: E(Y ) ( 1) 2/ /3 2/3 + 1/3 1/3. Logo, vemos que ão há cotradição etre as defiições, e as esperaças sempre vão coicidir. Importate Como vimos o exemplo aterior, a hora de calcular a esperaça de fuções de variáveis aleatórias discretas, temos duas opções: Calcular diretamete, usado a fução de probabilidade de X, através da fórmula E(Y ) E(H(X)) H(a i )P(X a i ); Obter a fução de probabilidade de Y e depois calcular a esperaça de Y diretamete: E(Y ) ode Y toma valores em {b 1,b 2,...}. b j P(Y b j ), j1 4 / 11

7 Exemplo 1.4 Exemplo de esperaça de fução de uma variável aleatória cotíua Supoha que X é uma variável aleatória cotíua com fução de desidade { e x f (x) 2, x, e x 2, x >. Tome Y X, etão E(Y ) é dada por E(Y ) E( X ) x ex 2 dx + x f (x)dx x e x 2 dx. Observe que itegrado por partes, obtemos que F(x) xe x + e x é uma primitiva para xe x e que G(x) xe x e x é uma primitiva para xe x. Daí, x ex 2 dx 1 2 ( xex + e x ) 1 2 e x e x 2 dx 1 2 ( xe x e x ) 1 2. Fialmete, jutado todas as iformações, obtemos x ex E(Y ) 2 dx + x e x 2 dx Assim como o caso de variáveis discretas, podemos calcular a esperaça de Y diretamete. Para isto, vamos obter a fução de desidade de Y. Observe que como X é variável aleatória cotíua, P(X y) para todo y real. Assim, como Y, segue que para todo y : F Y (y) P(Y y) P( X y) P( y X y) P( y < X y) F X (y) F X ( y). Desta forma, por derivação, obtemos que a fução de desidade de Y, f Y (y) é dada por e f (y), se y <. Portato, E(Y ) f Y (y) f (y) + f ( y) e y 2 + e y 2 e y, y f Y (y)dy ye y dy (ye y e y ) 1, dode usamos que H(y) ye y e y é primitiva de ye y. Assim como o caso de fuções de variáveis aleatórias discretas, as duas formas de calcular a esperaça forecem o mesmo resultado. Importate Como vimos o exemplo aterior, e o caso de fuções de variáveis aleatórias discretas, a hora de calcular a esperaça de fuções de variáveis aleatórias cotíuas, temos duas opções: Calcular diretamete, usado a fução de desidade de X, através da fórmula E(Y ) E(H(X)) H(x) f (x)dx; Obter a fução de desidade de Y, f Y (y), e depois calcular a esperaça de Y diretamete: E(Y ) y f Y (y)dy. 5 / 11

8 1.4 Propriedades da Esperaça Nessa seção vamos apresetar várias propriedades da esperaça matemática e demostrar algumas delas. Propriedades da esperaça (Esperaça da costate): Seja c R um úmero real, e seja X a variável aleatória costate igual a c, ou seja, P(X c) 1. Etão c.. (Sial da esperaça): Se X, etão E(X), e se X, etão E(X). (Multiplicação por costate): Seja c R um úmero real, e seja X uma variável aleatória. Etão E(cX) ce(x). (Soma de variáveis aleatórias): Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer, etão E(X +Y ) E(X) + E(Y ). (Combiação liear de variáveis aleatórias): Sejam X 1,X 2,...,X variáveis aleatórias, e c 1,c 2,...,c úmeros reais. Etão ( ) E i X i c c i E(X i ). (Produto de variáveis aleatórias idepedetes): Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes, etão Demostração E(XY ) E(X)E(Y ). (Esperaça da costate): Note que X é uma variável aleatória discreta que toma apeas o valor c, e portato cp(x c) c. (Sial da esperaça): Vamos demostrar o caso X para variáveis aleatórias discretas e para variáveis aleatórias cotíuas. Os casos de variáveis aleatórias mistas e X ficam como exercícios para o leitor. Seja X variável aleatória discreta, X, tomado valores o cojuto {a 1,a 2,...}. Como X, segue que para todo i, temos a i. Além disso, P(X a i ). Logo, a i P(X a i ). Seja, agora, X variável aleatória cotíua, X, com fução de desidade f (x). Etão, como X, vale f (x) se x <. Daí x f (x)dx x f (x)dx. (Multiplicação por cotate): Vamos demostrar para variáveis aleatórias discretas e para variáveis aleatórias cotíuas. O caso de variáveis aleatórias mistas fica como exercício para o leitor. 6 / 11

9 Seja, etão, X variável aleatória discreta, e supoha que X toma valores o cojuto {a 1,a 2,...}. Etão, cx é fução da variável aleatória discreta, daí E(cX) ca i P(X a i ) c a i P(X a i ) ce(x). Supoha agora que X é variável aleatória cotíua com fução de desidade f (x). Etão, cx é fução de uma variável aleatória cotíua, e segue que cx f (x)dx c f (x)dx ce(x). (Soma de variáveis aleatórias): A demostração foge do escopo do livro. (Combiação liear de variáveis aleatórias): Usado a propriedade da soma de variáveis aleatórias vezes, temos que ( ) E i X i c E(c i X i ). Usado a propriedade da multiplicação por costate, obtemos o resultado desejado: ( ) E i X i c E(c i X i ) c i E(X i ). (Produto de variáveis aleatórias idepedetes): Foge do escopo do livro. 1.5 Variâcia de uma variável aleatória Vamos agora utilizar a esperaça para defiir uma oção de variabilidade da variável aleatória: a variâcia. A variâcia de uma variável aleatória mede o quato a variável aleatória flutua em toro da esperaça. Ou seja, mede quato os valores da variável aleatória X podem se afastar da esperaça. Vale observar também que se a variâcia de X for igual a zero, etão X ão varia ada, com relação à esperaça, e portato a variável aleatória X é costate igual à esperaça de X. Defiição: Variâcia de uma variável aleatória Seja X uma variável aleatória. Defiimos a variâcia de X como Var(X) E [ (X E(X)) 2]. Nota Observe que como (X E(X)) 2, temos pela propriedade do sial da esperaça que E [ (X E(X)) 2], e portato Var(X). Uma oção muito útil em estatística é dada pela raiz quadrada da variâcia (pois a variâcia é maior ou igual a zero). Mais precisamete, seja X uma variável aleatória, etão o úmero Var(X) é chamado de desvio padrão de X, e é deotado por σ X. O seguite resultado forece uma simplificação do cálculo da variâcia: 7 / 11

10 Proposição Seja X uma variável aleatória, etão Var(X) E(X 2 ) (E(X)) 2. Demostração Temos que como E(X) é um úmero real costate, podemos utilizar as propriedades: esperaça da multiplicação por costate; esperaça da costate; e esperaça da soma, para obter: Var(X) E [ (X E(X)) 2] E [ X 2 2XE(X) + E(X) 2] E(X 2 ) 2E(XE(X)) + E(X) 2 E(X 2 ) 2E(X) 2 + E(X) 2 E(X 2 ) (E(X)) 2. Importate É possível mostrar que se Var(X), etão P(X E(X)) 1. Ou seja, X é uma variável aleatória costate. Quato maior o valor da variâcia, mais a variável aleatória pode se afastar da esperaça, ou seja, maior a oscilação da variável aleatória em toro da esperaça. Exemplo 1.5 Exemplo de variâcia de uma variável aleatória discreta Seja X a variável aleatória discreta que toma valor 1 com probabilidade p e toma valor com probabilidade 1 p. Etão, temos que (1 p) + 1 p p. Daí, Var(X) E(X 2 ) E(X) 2 E(X 2 ) p 2 2 (1 p) + 1 p p 2 p(1 p). Exemplo 1.6 Exemplo de variâcia de uma variável aleatória cotíua Seja X variável aleatória cotíua com fução de desidade 1 + x, 1 x, f (x) 1 x, x 1,, caso cotrário. Comece otado que x(1 + x)dx + x + x 2 dx + ) ( x x3 3 1 x(1 x)dx x x 2 dx ) 1 ( + x x3 3 1/2 + 1/3 + 1/2 1/3. 8 / 11

11 Além disso, Logo, Var(X) E(X 2 ) 1/6. E(X 2 ) x 2 (1 + x)dx + x 2 + x 3 dx + ) ( x x4 4 1 x 2 (1 x)dx x 2 x 3 dx ) 1 ( + x x4 4 1/3 1/4 + 1/3 1/4 1/ Propriedades da variâcia Nesta seção vamos apresetar algumas propriedades da variâcia e provar algumas delas. Propriedades da variâcia (Variâcia da costate): Seja c R um úmero real, e seja X a variável aleatória costate igual a c, ou seja, P(X c) 1. Etão, Var(X). (Soma por costate): Seja X uma variável aleatória e seja c R uma costate. Etão, Var(X + c) Var(X). (Variâcia da soma de variáveis idepedetes): Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes. Etão, Var(X +Y ) Var(X) +Var(Y ). (Variâcia da multiplicação por costate): Seja X variável aleatória, e seja c R uma costate. Etão, Var(cX) c 2 Var(x). (Variâcia de uma fução afim de X): Sejam a,b R, e seja X variável aleatória. Etão, Var(aX + b) a 2 Var(X). Demostração (Variâcia da costate): Observe que se X é costate igual a c, temos pela propriedade da esperaça que c. Daí [ Var(X) E (X E(X)) 2] E[(c c) 2 ]. (Soma por costate): Usado as propriedades da esperaça, temos diretamete que [ Var(X +c) E (X +c E(X +c)) 2] [ E (X +c E(X) c) 2] [ E (X E(X)) 2] Var(X). (Variâcia da soma de variáveis idepedetes): Foge do escopo do livro. (Variâcia da multiplicação por costate): Usado as propriedades da esperaça, temos que [ Var(cX) E (cx E(cX)) 2] E [(cx ce(x)) 2] [ E c 2 (X E(X)) 2] c 2 E [(X E(X)) 2] c 2 Var(X). 9 / 11

12 (Variâcia de uma fução afim de X): Usado a variâcia da soma por costate, temos que Var(aX + b) Var(aX), e usado a variâcia da multiplicação por costate obtemos Var(aX) a 2 Var(X). Combiado as duas igualdades obtemos Var(aX + b) a 2 Var(X). Exercício Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade { 1 f (x) b a, a < x < b,, caso cotrário. Ecotre Var(X). Solução Já vimos o exemplo de esperaça de variável aleatória cotíua que a+b 2. Temos agora que b E(X 2 ) x 2 1 a b a dx 1 b b a a 1 ( b 3 b a 3 a3 ) 3 b3 a 3 3(b a). Mas observe agora que temos o produto otável: Portato, segue que Fialmete, temos (b a)(a 2 + ab + b 2 ) a 2 b + ab 2 + b 3 a 3 a 2 b ab 2 b 3 a 3. E(X 2 ) b3 a 3 3(b a) (b a)(a2 + ab + b 2 ) 3(b a) a2 + ab + b 2. 3 Var(X) E(X 2 ) (E(X)) 2 a2 + ab + b 2 3 Resumido, Var(X) (b a) 2 /12. (a + b)2 4 a2 2ab + b 2 12 (b a) / 11

13 Capítulo 2 Ídice Remissivo D Desvio padrão, 7 E Esperaça Variável Aleatória, 1 Fução de, 3 Variável Aleatória Cotíua, 2 Variável Aleatória Discreta, 2 F Fução de, 3 I Idepedetes, 1 V Variáveis Aleatórias Idepedetes, 1 Variável Aleatória, 1, 7 Desvio padrão, 7 Fução de, 3 Variâcia, 7 Variável Aleatória Cotíua, 2 Variável Aleatória Discreta, 2 Variâcia, 7 Variável Aleatória, 7 11 / 11

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