Distribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais. Aula 9

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Nicolas Neto Rocha
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1 Distribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais Aula 9

2 Variáveis Aleatórias Discretas Variável aleatória discreta função definida em um espaço amostral que associa a cada resultado de um experimento um número discreto Variáveis Simples única - 1D Complexa várias nd - multidimensional

3 Exemplos de variáveis nd Exemplo 1 Evento: pouso de aviões em aeroportos (logística) Variáveis X GRU Y-LAX Z-IAH Exemplo 2 Evento: jogar dado e roleta Variáveis X número no dado Y número na roleta Exemplo 3 Experimento: Questionário do IBGE Variáveis X no. de banheiros Y no de carros

4 Exemplos de variáveis nd Engenharia Civil: Precipitação intensidade e duração Chuva e vento Terremotos: intensidade e duração Estrutura: esforços e resistência dos materiais Descarga atmosférica e turbulência Enfim...existem inúmeros fenômenos que devem ser tratados simultaneamente...

5 Distribuição de probabilidades nd Representa a intersecção dos conjuntos P(X1), P(X2), P(Xn) Muito empregada na representação de eventos multivariados em engenharia: probabilidade de marés e onda probabilidade de esforços longitudinais e verticais

6 Exemplo de Problema V.A. Discreta Sejam 32 cartas utilizadas no jogo de poquer (8 cartas em 4 naipes) Se duas cartas são dadas a cada jogador X - número de ases Y - número de cartas de copas Sabe-se que X = 0, 1, 2 e Y=0, 1, 2

7 Qual a probabilidade de nenhum ás e nenhuma carta de copas? P(X=0,Y=0)=? Espaço amostral : 32 cartas combinadas 2 a 2 32 =496 2 Não tirar nenhum ás nem copas representa combinar = 21 cartas 2 a 2 =210 P(X=0,Y=0)=0,43

8 Qual a probabilidade de um ás e uma carta de copas? P(X=1,Y=1)=? Se tirar o ás de copas a outra não é copas (32-4-7) Se tirar 1 ás, a outra é copas P(X=1,Y=1)=0,085 + =42

9 Qual a probabilidade de dois ás e nenhuma carta de copas? P(X=2,Y=0)=? Tirar 2 ases e nenhum copas P(X=2,Y=0)=0,0030 =1,5

10 Qual a probabilidade de um ás e outra carta também de copas? P(X=1,Y=2)=? P(X=1,Y=2)=0,014 =7

11 Função de Distribuição de Probabilidade nd A soma acima é a função de distribuição de probabilidades (acumulada) multi-variada (nd)

12 Distribuições Marginais Se P(X=x i, Y=y j ) para i=1,m e j=1,n representa a probabilidade conjunta do evento bivariado (X,Y) As funções representam a probabilidades marginais para X=x i e Y=y j

13 No problema do pôquer, determinar as probabilidades marginais P(X=0)=P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1) + P(X=0,Y=2) + + P(X=1)=P(X=1,Y=0)+ P(X=1,Y=1) + P(X=1,Y=2) P(X=2)=P(X=2,Y=0)+ P(X=2,Y=1) + P(X=2,Y=2) + + X ou Y P(X) P(Y) 0 378/ / / / /496 28/496

14 Tabela de Probabilidades Marginais X,Y

15 Probabilidade Conjunta Exemplo: considere o conjunto de 32 cartas e determine a probabilidade conjunta de serem recebidas Número de ases Cartas de copas Cartas de ouros

16 Solução P(X=0,Y=0,Z=0) = P(X=1,Y=0,Z=1) = P(X=1,Y=1,Z=0) = P(X=1,Y=1,Z=1) = =

17 Covariância X,Y variável bidimensional aleatória E(X) e E(Y) são as esperanças matemáticas A covariância representa a dispersão em torno do ponto E(X), E(Y) =

18 Exemplo Globo com 3 bolas brancas 2 duas vermelhas Retiram-se 2 bolas X e Y, sem reposição, atribuindo-se ao resultado 1 se a bola for branca e 0 se for vermelha E(X) = 3/5 E(Y) = 3/5 E(X,Y)=3/10 COV(X,Y) = 6/20-3/5 x 3/5 = -3/50

19 Coeficiente de Correlação Indica o grau de dependência entre variáveis Se Cov(X,Y) = 0 as variáveis são independentes!...mas o inverso nem sempre é verdadeiro.

20 Exercício

21 Exercício

22 Agora vamos ver o caso em que as variáveis aleatórias são contínuas

23 As equações vistas se mantém para as variáveis contínuas: $ $, "" = 1 %$ %$ As Distribuições Marginais de x e y $ & =,." %$ ( =,." $ %$

24 EXERCÍCIO: Seja (x,y) uma v.a. bidimensional cuja densidade de probabilidade é dada por:, ) +,-, 0 / / 2 e 0 / / 4 Sendo zero no complementar desse retângulo. Determinar as distribuições marginais de x e y e calcular a probabilidade x+y/ " " Cálculo da probabilidade de x+y/ 3,,45 678ã :56-,- ;786-,< " "4í7; "658, +-:,:;<;","6 P((x+y/ 3 >?> %0 )."@." )

25 A relação entre função acumulada (F) e sua função densidade de probabilidade (f) Propriedades Básicas:, = " A, d 0 " 3 0<=F(x,y)<=1 F(x,y) é continua à direita em cada uma das variáveis x e y lim 0 %$3 %$ A, = 0 lim A, = 1 0 $ 3 $ Lembrando que no caso uni variado: G, < : = A : A, Agora para a bivariada temos: G, < :,, < :2)=A :,: A,,: A,,: +A,,,

27 Independência entre v.a. s As variáveis aleatórias X e Y cuja densidade conjunta é f(x,y), para o domínio de x e y, e cujas densidades marginais são denotadas por 0 6 ( Elas são ditas independentes para todo par de valores de (x,y) se tivermos: &(, = &. ( Vale também a seguinte relação: A &,(, = A &.A ( Sejam X e Y v.a. contínuas, se elas forem independentes: E(XY) = E(X). E(Y)

28 Exercício: Seja:, = 6 %03 +,-, 0 < < 6 0 < < 6 J6-7 K4+<64678,-,6-; ;K, ã ;7"6+67"67865 Solução: Determinar as funções marginais de x e y $ 0 = 6 %03 $." = 6 %0 ( = 6 %03 1 dx = +1 Observa-se que o produto das marginais é diferente da conjunta, portanto, NÃO SÃO INDEPENDENTES!!!!

29 Distribuição Condicional ( & &,(, &0

30 imagens

32 f(x,y) P(x, y A) = A f (x, y)dxdy y x

33 f(x,y) Marginal Distribution f (y) = x= f (x, y)dx y x

34 f(x,y) Conditional Distribution f (y x) = f (x, y) f (x) y x

35 A Distribuição Normal

36 Demonstra-se que as marginais de x e y são normais ~O P ;R 6 ~O P ;R A Função Acumulada: P(X, =A, 0 %$ 3 %$ A, = > > S,."S."

37 Normal Bivariada Normal Bivariada (x,y) com P,P,R,R 6 T, = UV V %W expz W 0%\ 3%\ [ 0%\ %W V + 3%\ V V V ]^K4 < < +, < < + 6 T 1

38 Outras propriedades da Normal: Se é S4, O P;R 678ã =,+: é um N aμ+:;,r onde Y= ax+b é um modelo de regressão linear Se ~O P 0 ;R 0 6 ~O P 3 ;R 3 6 5ã ;7"6+67" ã e + ~OP 0 +P 3 ;R 0 +R 3 ~ OP 0 P 3 ;R 0 +R 3

39 EXERCÍCIOS

40 y Dica de integração das funções bivariadas x y x

41 Considere a Função densidade bivariada: Determinar:, 6 %03 K4 d 0 6 d 0 G d d 2 Vamos em primeiro lugar determinar o espaço (x,y) em será feita a integral para determinar a probabilidade desejada: d 2 d 2 6 d 0 $ G d d 2 6 %03 " " 0e 0 3e Resposta: 6%2

42 Seja a seguinte distribuição densidade conjunta:, 0,1 7, -6f;ã g, 0,2 7, -6f;ã gg, 0,3 7, -6f;ã ggg, 0,4 7, -6f;ã gh Determinar a P(X+Y<2) Qual a região de integração da função densidade? G H 2 >,."i > 0,1"i > 0,2"i > 0,4"i m l k j = 0,1x1+0,2x1/2+0,4x1/2 = 0,4

43 Funções de Diversas Variáveis Aleatórias Mudança de Variável X e Y são variáveis independentes e cada uma possui distribuição de parâmetro λ. Determinar a distribuição da variável aleatória Z dada por: Z=Y-X n6 %o0 +,-, 0 = n6 %o3 +,-, 0 Portanto:, =. = n 6 %o03 +,-, Portanto: A p J = G q J = G J =, "i mrstãu

44 A região é formada pelo conjunto de pontos (x,y) no universo tal que: / J Imaginando que z é uma constante. A Região é diferente para diferentes z s, temos dois casos: Caso 1 -J d 0 $ 0v A p J n 6 %o03 "" %ov 0e 3e Caso 2 -J / 0

45 J / 0, -6f;ã "6 ;786f-,çã é: A p J $ 0e%v 0v n 6 %o03 "" 3e 1 2 6%ov A p J 1 2 6%ov 56 J / %ov 56 J d 0 p J "A pj "J Ver também exemplos do livro Dantas nas páginas 197 e 199

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