5 a Lista de PE Solução

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Rachel Cruz
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Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE Solução. Sejam X A e X B o números de jogos que o time ganha contra times da classe A e da classe B respectivamente.

1 Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE Solução. Sejam X A e X B o números de jogos que o time ganha contra times da classe A e da classe B respectivamente. Claramente X A e X B são variáveis aleatórias binomiais de parâmetros E X A, 4, 4 e VarX A, 4,, 4 E X B 8, 7, e VarX B 8, 7, 3 3, 78. a Como estamos interessados na probabilidade de que X A + X B seja maior ou igual a 5, observe que esta soma tem distribuição aproximadamente normal de média 3 e variância,. Se Y N3;,, aplicando o Teorema de DeMoivre- Laplace podemos aproximar a probabilidade desejada como abaixo: PX A + X B 5 PY 5 P Y 3, PZ, 38 PZ, 38, , b Agora, queremos calcular a probabilidade de que X A X B seja maior ou igual a. Observe então que esta subtração tem distribuição aproximadamente normal de média -, e variância,. Se Y N, ;,, aplicamos novamente o Teorema de DeMoivre-Laplace e aproximamos a probabilidade por PX A X B PY Y +, P +,,, PZ, 9 PZ, 9, 55. Considere a sequência X i de n v.a. s independentes onde com PX i p. X i {, se ocorrer sucesso,, se ocorrer fracasso,

2 Claramente X i Berp e se fizermos X X + + X n, X representa o número de sucessos em n lançamentos que já sabemos que representa uma binomial. Como e concluímos que X Binn, p. EX EX + + EX n np VarX VarX + + VarX n np p 3. A tabela abaixo apresenta as probabilidades PX i, Y j com as respectivas marginais: X / Y 3 PX i PY j a Ω {, C,, C, 3, C, 4, C, 5, C,, C,, K,, K, 3, K, 4, K, 5, K,, K}. b A tabela de distribuição segue abaixo: X / Y PX i PY j c Para todo i, e j,, 3, 4, 5, temos que PX i, Y j PX ipy j, d portanto X e Y são independentes. 4 PX, Y 4 PX i, Y j 8. i j 5. a As distribuições marginais seguem na tabela abaixo: Y / X 3 PY y,,,,3,,,3,5,,,, PX x,3,,5

3 b EX, 3 +, + 3, 5, EY, 3 +, 5 +,, 9 EX, 3 +, + 3, 5 5, EY, 3 +, +, 5, 3 VarX EX [EX], 7 VarY EY [EY ], 49 c Não são independentes. Basta observar que, PX, Y PX PY,, 5,. d e PX Y PY X 3 PX, Y PY PY, X 3 PX 3,, 3 3.,, 5 5. PX PX + PX, 5. PX, Y PX, Y + PX, Y,.. a As distribuições marginais seguem na tabela abaixo: Y / X - PY y PX x b EX + + EY EX + + EY + + 3

4 VarX EX [EX] VarY EY [EY ] 5 9 c De maneira análoga ao item d da Questão 5 encontramos PX Y, PX Y, PX Y, PY X, PY X 3, PY X. d Como X e Y são independentes CovX, Y e VarX + Y VarX + VarY a Lembre-se que podemos escrever ρx, Y E b Como X EX σx [ X EX σx Y EY, σy ] Y EY. σy temos X EX E Y EY σx σy X EX Y EY E + E E[X EXY EY ] σx σy σxσy VarX σ X + VarY σ Y CovX,Y σxσy ρx, Y. Logo ρx, Y. Substituindo por + na expressão acima, encontramos a outra desigualdade. ρx + a, Y + b E[X + ay + b] EX + aey + b σx + aσy + b EXY + ay + bx + ab [EX + a][ey + b] σxσy EXY EXEY σxσy ρx, Y.

5 c ρax, by EaXbY EaXEbY σaxσby abexy abexey a b σxσy ab CovX, Y ab σxσy ab ρx, Y. ab 8. a A distribuição de X + Y segue na tabela abaixo: Desse modo, k Total PX + Y k,,,3,4,, EX + Y, + 3, + 4, 3 + 5, 4 +, 4. Outra maneira de obter a resposta seria encontrar as distribuições marginais obtendo EX e EY, em seguida aplicar a lei da soma para esperanças. b A distribuição de XY segue na tabela abaixo: k Total PXY k,,,,,,4,,,, Desse modo, EXY, +, +3, +4, +5, +, 4+7, +8, +9, 4. c Claramente, EXY EXEY, mas PX 3, Y PX 3PY, 3,,. d Portanto, EX + Y, + 3, + 4, 3 + 5, 4 +, 7. VarX + Y a A tabela abaixo apresenta as probabilidades PX i, Y j com as respectivas marginais: X / Y 3 PX i 3 PY j

6 b A distribuição de Z X + Y segue na tabela abaixo k Total PX + Y k enquanto a distribuição da variável W XY é dada pela tabela k Total PXY k c PX < Y PX, Y + PX, Y 3 + PX, Y 3 / + / + / /. d EX EY e Primeiramente calculamos f EZ EW EX EY e, consequentemente. Da definição temos VarX VarY CovX, Y EXY EXEY EW EXEY /3 /3 VarX + Y EX + Y {EX + Y } EX + XY + Y {EX + EY } EX + EXY + EY {[EX] + EXEY + [EY ] } EX [EX] + {EXY EXEY } + EY [EY ] VarX + CovX, Y + VarY. Analogamente, encontramos VarX Y VarX CovX, Y + VarY.

7 . Vamos supor que homens e mulheres entrem na drogaria de forma independente. Como a soma de duas poissons é uma poisson com os parâmetros somados seja X Pois5 e X Pois5 as variáveis que representam o números de homens e mulheres que entram na drogaria respectivamente. Desse modo, X + X Pois como esperávamos. A probabilidade desejada é PX 3 X PX 3. PX k X + Y n e 5 + 5e 5 + 5! e ! e 5. PX k, X + Y n PX + Y n PX k, Y n k PX + Y n PX kpy n k PX + Y n e λ λ k k! e λ λ n k n k! [ e λ +λ λ + λ n n! ] n λ k λ k λ + λ λ + λ n k ou seja, é a distribuição de uma binomial de parâmetros n e 3. a Sabendo que X N,, segue que λ λ +λ. 9 P9 < X < P P < Z < PZ <, 8434, 88. < X < b Como X N, /, temos que P 9 < X < 9 P /4 P 4 < Z < 4 PZ < 4, 99997, < X /4 < /4

8 c As densidades seguem na figura abaixo.8 Densidade das Normais. N, N,/ d Partindo da equação fornecida e sabendo que X N, /n, segue que P 9 < X <, 95 9 P / n < X / < n /, 95 n P n < Z < n, 95 PZ < n, 95 PZ < n, 975 n, 9 n 3, 84. Como n deve ser inteiro concluímos que seu valor deve ser, pelo menos, 4.

9 4. a Nós temos que X N µ,, então PX < 5, X µ P < 5 µ, P Z < 5 µ, P Z > 5 µ, P Z < µ 5, P Z < µ 5, 9 µ 5 µ 5, 8. b O peso total dos pacotes é dado por, 8 S 4 X + + X 4 N 4 5, 8 ; 4. Desse modo temos PS 4 < S4 5, P PZ <, 5 PZ >, 5 PZ <, 5, 99477, 53. < 5, 5. O peso total dos passageiros é dado por S 7 X + + X 7 N 7 7, 7. Desse modo temos S7 49 PS 7 > 5 P 7 > PZ >, 38 PZ <, 38, 483, 3597.

10 . Inicialmente temos X N,. a A probabilidade de um pacote pesar menos de 5 gramas é 5 PX < 5 P Z < PZ <, 5, 94. Como sorteamos 5 pacotes aleatoriamente, o número esperado de pacotes com peso menor que 5 gramas é, , 85. b Denotando S 5 X + +X 5, sabemos que S 5 N 5, 5. Desse modo 55 5 PS 5 < 55 P Z < PZ <, 5, a O valor esperado é dado por e o desvio padrão é dado por µ, 45 9, σ, 45, 45 7, 35. b Como estamos interessados em aproximar a probabilidade pela normal, se representarmos por X o número de indivíduos a favor do candidato e Y uma v.a. com distribuição N µ, σ, basta aplicarmos o Teorema de DeMoivre-Laplace e PX > PY >, 5 Y 9, 5 9 P > 7, 35 7, 35 PZ >, 49 PZ <, 49, 9389, Se o máximo de um conjunto é menor que um valor então, obviamente, todos os outros elementos do conjunto também serão menores que este valor. Com base nessa idéia note que para X, uma v.a. com mesma distribuição dos X i s temos F M m PM m PMaxX,..., X n m PX m,..., X n m PX m PX n m [F X m] n. Para encontrar a densidade basta derivar a função distribuição:

11 f M m d dm F Mm d dm [F Xm] n n[f X m] n f X m. 9. Se X U, θ, temos, se m, θ, f X m θ se m /, θ. e F X m, se m, m, θ se m, θ, se m θ. Portanto e f M m F M m nm n θ n, se m, θ,, se m /, θ., se m, m n, θn se m, θ,, se m θ.

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