Lista de Exercícios 3 Probabilidades Escola Politécnica, Ciclo Básico

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1 Lista de Exercícios 3 Probabilidades Escola Politécnica, Ciclo Básico 1 o semestre ) Um equipamento tem tempo de vida T com distribuição normal, valor esperado de 40 horas e desvio padrão 10 horas. Considere um conjunto desses equipamentos, e suponha que os tempos de vida dos equipamentos são variáveis independentes. Suponha que um equipamento é instalado e usado até falhar, quando é então substituído por um novo. a) Você compra 5 equipamentos, cada um ao custo de $100,00. Se os dois primeiros equipamentos utilizados durarem menos que 20 horas, o fornecedor lhe devolve o valor total pago ($500,00). Qual é a receita esperada do fornecedor? b) Assumindo que há 25 equipamentos em estoque, qual a probabilidade de se possa obter um tempo de vida total superior a 1100 horas? Resposta: a) 499,5; b) 0, ) Uma loja de automóveis de luxo tem a seguinte função de probabilidade do número de vendas por semana: x P(X = x) 0,25 0,25 0,25 0,25 Considere um conjunto de N pessoas em que todas compraram automóveis. Para cada uma dessas pessoas que comprou automóvel, considere ainda o evento a pessoa comprou blindagem. Suponha que esses N eventos sejam independentes (dado que as N pessoas compraram automóveis). Suponha também que a probabilidade de uma pessoa comprar blindagem, dado que ela pertence ao grupo de pessoas que comprou automóvel, é 0,60. Seja Y o número de compradores em uma semana que solicitaram blindagens. a) Determine a distribuição conjunta de X e Y. b) Determine P(X > Y ). c) Determine a função de probabilidade marginal de Y. Resposta: a) Veja tabela abaixo; b) 0,456; c) P(Y = 0) = 0,406, P(Y = 1) = 0,342, P(Y = 2) = 0,198, P(Y = 3) = 0,054. y\x ,25 0,1 0,04 0, ,15 0,12 0, ,09 0, ,054 3) Uma faculdade de administração verificou, com base em sua experiência ao longo dos anos, que 1/3 dos alunos ingressantes concluem o curso. Com base nessa hipótese aprova 450 alunos no vestibular, pois considera que o número ideal de alunos numa turma seja 150 alunos. Calcule a probabilidade de que mais de 160 dos 450 ingressantes conclua o curso (use aproximação pela normal). Resposta: 0,1587 (usando normal de mesma esperança e variância). 4) A função densidade conjunta de variáveis aleatórias X e Y é { 2e f(x,y) = x e 2y para x 0, y 0, 0 caso contrário. a) Calcule P(X > 1,Y < 1). b) Calcule P(X < Y ). c) Calcule Cov(X,Y ).

2 Resposta: a) 1/e 1/e 3 ; b) 1/3; c) 0. 5) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson com parâmetros λ 1 e λ 2, calcule P(X = k X + Y = n) para quaisquer números naturais k e n, com k n. ( ) n Resposta: λ k k 1λ n k 2 /(λ 1 + λ 2 ) n. 6) Em uma lanchonete há apenas duas entradas, ambas para atendimento drive-through. Cada entrada situa-se em uma rua, com atendimento das 12 às 22 horas. Na rua A as chegadas de clientes obedecem a uma distribuição de Poisson com taxa de 20 clientes por hora. Na entrada pela rua B, os clientes chegam também com distribuição de Poisson e taxa de 15 clientes a cada meia hora. As chegadas são independentes. Em um período de 15 minutos constatou-se que chegaram 17 clientes à lanchonete. Qual a probabilidade de que 7 clientes tenham chegado pela rua A? Resposta: 0,19267 (use resposta da questão anterior). 7) A pontuação de Aldo no boliche é normalmente distribuída com esperança 170 e desvio padrão 20, enquanto a de Bruno é normalmente distribuída com esperança 160 e desvio padrão 15. Se ambos jogam um jogo cada, e supondo que as pontuações obtidas sejam independentes, determine: a) a probabilidade de que a pontuação de Bruno seja menor do que a pontuação de Aldo; b) a probabilidade de que o total de pontos supere 350. Resposta: a) 0,6554; b) 0, ) Sejam duas variáveis aleatórias contínuas independentes X e Y sobre as quais sabe-se que E(X) = 10, σ(x) = 10, σ(y ) = 10 e E(proposition) = 60. Define-se uma nova variável W dada por W = X 2 + Y 2. Quanto vale E(W )? Resposta: ) A tabela abaixo mostra a probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y. y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 0,125 a 0,10 0,125 x 2 0,05 0,06 b 0,05 x 3 c 0,09 0,06 0,075 Para que as duas variáveis sejam independentes, quais os valores de a e b e c? Resposta: 0,15, 0,04, ) Seja (X,Y ) uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidades é dada na seguinte tabela. y 1 = 1 y 2 = 2 y 3 = 3 x 1 = 1 8k 6k 7k x 2 = 2 5k 3k 6k x 3 = 3 0 1k 4k Para Z = XY, qual é a esperança condicional E(Z Y = 2)? Resposta: 3. 11) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas SEM reposição. Seja X o número de bolas vermelhas e Y o número de bolas pretas. Calcular a covariância Cov(X,Y ). Resposta: 9/25. 12) O eixo de um motor precisa ter um determinado comprimento e diâmetro; uma vez que o motor esteja

3 montado, é possível medir o diâmetro do eixo, mas não o seu comprimento. Uma empresa produz eixos, cujos diâmetros e comprimentos estão distribuídos como descrito na tabela abaixo. Diâmetro ( ) / Comprimento ( ) 10 cm 11 cm 12 cm 13 cm 5mm 0,01 0,02 0,05 0,01 6mm 0 0,05 0,4 0,05 7mm 0,02 0,03 0,02 0,04 8mm 0,05 0,1 0,1 0,05 Dado que para um certo motor montado notou-se que o eixo tem o diâmetro D = 6mm, qual é a probabilidade do comprimento ser C = 12cm? Resposta: 0,8. 13) Um criador de frangos compra pintinhos a R$0,10 cada um e ração a R$200,00 por tonelada. Vende os frangos criados, prontos para o abate, por R$1,00/kg para o frigorífico. Cada frango come, durante sua fase de crescimento, uma quantidade de ração segundo uma distribuição normal de esperança 10kg e desvio padrão 2kg, independentemente de seu peso final. O custo fixo de criação dos frangos é de R$0,10 por frango (água, energia elétrica, mão de obra, manutenção, etc...). Os frangos ficam prontos para o corte com um peso médio de 2,5kg e variância de 0,09 kg 2. Qual a probabilidade de um frango escolhido ao acaso dar lucro ao produtor na hora da venda? Resposta: 0, ) As variáveis aleatórias X e Y têm densidade conjunta { x + y, se 0 x,y 1, f XY (x,y) = 0, caso contrário. a) Calcule a probabilidade de X < Y 2. b) Calcule a densidade marginal de X. c) X e Y são independentes? Justifique. d) Suponha que você saiba agora que ocorreu o evento A = {X = 0,5}. Qual é a probabilidade de B = {Y 0,5} dado A? Resposta: a) 7/20; b) x + 1/2 para 0 x 1; c) não; d) 5/8. 15) Considere duas variáveis X e Y, independentes, e ambas com distribuição geométrica com parâmetro p = 1/3. Considere também duas variáveis W = X + Y e Z = X Y + 3. a) Obtenha P(W Z). b) Obtenha P(Z = 4 W = 3). c) Obtenha o valor de F W,Z (2,3) (F é a função de distribuição cumulativa). Resposta: a) 4/9; b) 1/4; c) 23/81. 16) Dizemos que uma variável Z distribuição Gama com parâmetros α e β quando sua densidade é f(z) = βα Γ(α) zα 1 e βz, para z > 0 (e igual a zero para outros valores de z), onde a função Γ(z) é: Γ(z) = 0 u z 1 e u du. Uma propriedade interessante dessa função é que Γ(z) = (z 1)! para z inteiro. A distribuição Gama é muito usada em estatística e suas propriedades são diretamente ligadas a seus parâmetros; por exemplo, a esperança de Y é α/β e a variância de Y é α/β 2.

4 Considere uma variável aleatória X, com densidade conditional dado Y, ou seja f(x Y ), igual a uma densidade exponencial com parâmetro Y. Considere também que Y tem distribuição Gama com parâmetros α e β iguais a 2. Obtenha a densidade condicional de de Y dado X = 1. Resposta: densidade da distribuição Gama com parâmetros α = β = 3. 17) Considere duas variáveis aleatórias independentes X e Y, as duas com distribuição exponencial com parâmetro igual a 1. a) Qual é a probabilidade do evento X Y? b) Considere a variável Z = 3X 4Y. Qual é a variância de Z? Resposta: a) 1/2; b) ) Em um experimento científico, a variável X mede a temperatura de um sistema, e tem distribuição normal com esperança 1 e variância 16. A laboratório onde ocorre o experimento pode aguentar um sistema com temperatura até um valor Y. Sabe-se que se X for maior que Y, o laboratório explodirá. Ocorre que Y também varia, e tem distribuição normal com esperança 6 e variância 9. As variáveis X e Y são independentes. O experimento é um sucesso se X tem valor menor que zero. a) Qual a probabilidade do experimento ser um sucesso? [1.0] b) Qual a probabilidade do laboratório explodir? [1.5] Resposta: a) 0,4013; b) 0, ) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, independentes, sendo: E(X) = 1; E(Y ) = 2; E(X 2 ) = 4; E(Y 2 ) = 6. Definem-se duas novas variáveis aleatórias U e Z, dadas por: U = Y 2X e Z = 2Y + X. a) Encontre V (X), V (Y ) e Cov(X,Y ). b) Encontre V (U), V (Z), Cov(U,Z). Resposta: a) 3, 2, 0; b) 14, 11, ) Duas variáveis contínuas aleatórias X e Y tem densidade de probabilidade expressa por: { 2(x + y), 0 < x < y < 1; f X,Y (x,y) = 0 caso contrário. a) Obtenha a função densidade de probabilidade marginal de X. b) Calcule a probabilidade P(X < 1/2). c) Obtenha a densidade condicional de Y dado X. Resposta: a) 1 + 2x 3x 2 para 0 < x < 1; b) 5/8; c) 2(x + y)/(1 + 2x 3x 2 ) para 0 < y < 1. 21) O tempo de vida de um componente elétrico é uma variável aleatória com distribuição exponencial e com valor médio de 50 horas. Quando o componente falha, é imediatamente substituído por um outro componente do mesmo tipo. Dispõe-se de 100 componentes iguais e independentes. Considere a aproximação de distribuição normal para o conjunto de componentes. a) Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operação um componente depois de um total de 5250 horas de operação? b) Considere o caso no qual o tempo de substituição do componente falho é uma variável aleatória, que segue uma distribuição uniforme entre 0 e 6h, com valor esperado 3h e variância 1/3 h2. Qual a probabilidade de que todos os 100 componentes já tenham falhado no instante 5500 horas? Resposta: a) 0,3085; b) 0, ) Um médico considera que fumar influencia a probabilidade de uma pessoa ter câncer. Além disso, experimentos demonstram que a predisposição genética é relevante para o aparecimento de câncer. Denote por X a variável aleatória que tem valor 1 se Maria fuma e 0 caso contrário. Denote por Y a variável aleatória que tem valor 1 se Maria tem predisposição genética e 0 caso contrário. Assuma a hipótese que fumar e ter predisposição genética são variáveis aleatórias independentes. Denote por Z a variável aleatória que tem valor 1 se Maria tem câncer e valor 0 caso contrário. Estudos revelam que P (Z = 0 X = x, Y = y) = 1/(2x+y+1),

5 P (X = 1) = 0,3, P (Y = 1) = 0,1. a) Obtenha a probabilidade de Maria ter câncer. b) Obtenha a probabilidade de Maria fumar dado que Maria tem predisposição genética. c) Obtenha a probabilidade de Maria ter predisposição genética dado que Maria tem câncer. Resposta: a) 0,2375; b) 0.3; c) 0,