RESPOSTAS - PROVA ESTATÍSTICA AGENTE PF 2018

Transcrição

1 RESPOSTAS - PROVA ESTATÍSTICA AGENTE PF 018 Determinado órgão governamental estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar a ser condenado por algum crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, seja igual a 0,5. Essa estimativa foi obtida com base em um levantamento por amostragem aleatória simples de processos judiciais, aplicando-se o método da máxima verossimilhança a partir da distribuição de Bernoulli. Sabendo que P(Z < ) = 0,975, em que Z representa a distribuição normal padrão, julgue os itens que se seguem, em relação a essa situação hipotética. 41 Em um grupo formado aleatoriamente por 4 ex-condenados libertos no mesmo dia, estima-se que a probabilidade de que apenas um deles volte a ser condenado por algum crime no prazo de 5 anos, contados a partir do dia em que eles foram libertados, seja superior a 0,4. Neste caso falamos de sucesso x fracasso, então resolveremos por distribuição Binomial! Assim, temos que: P(S Sucesso ) = C n,s. p S. q F n = 4 S = 1 F = 3 p = 0,5 q = 0,75 Substituindo na equação, temos: P = C 4,1. (0, 5) 1. (0, 75) 3 P = 4! 3!. 1!. (0, 5)1. (0, 75) 3 P = 4. 0, 5. 0, P = 0, O erro padrão da estimativa da probabilidade p foi igual a 0,01. O erro padrão é determinado pela seguinte fórmula: p. (1 p) Erro = [ n ] 1/ 1/4. (1 1/4) Erro = [ 1875 ] 1/ Erro = 0, 01

2 43 A estimativa intervalar 0,5 ± 0,05 representa o intervalo de 95% de confiança do parâmetro populacional p. A estimativa pode ser determinada pelo seguinte cálculo: p. Z. Erro Como o único valor que temos é: P(Z < ) = 0,975, ou seja, 97,5%, substituindo, teremos: 0, 5.. 0, 01 0, 5.. 0, 01 0, Se X seguir uma distribuição binomial com parâmetros n = e probabilidade de sucesso p, a estimativa de máxima verossimilhança da média de X será superior a 300. A média de uma variável de Distribuição Binomial é dada por: Média = n. p Média = , 5 Média = 50 Um pesquisador estudou a relação entre a taxa de criminalidade (Y) e a taxa de desocupação da população economicamente ativa (X) em determinada região do país. Esse pesquisador aplicou um modelo de regressão linear simples na forma Y = bx + a + ε, em que b representa o coeficiente angular, a é o intercepto do modelo e ε denota o erro aleatório com média zero e variância σ. A tabela a seguir representa a análise de variância (ANOVA) proporcionada por esse modelo. A respeito dessa situação hipotética, julgue os próximos itens, sabendo que b > 0 e que o desvio padrão amostral da variável X é igual a. 45 A correlação linear de Pearson entre a variável resposta Y e a variável regressora X é igual a 0,75. Através da tabela ANOVA, podemos encontrar o coeficiente de correlação linear (r), pela seguinte relação: r = SQM SQT r = 5 400

3 r = r = 15 = 0, A estimativa da variância σ é superior a 0,5. A estimativa da variância é calculada por: Estimativa σ = SQT = SQT Graus de Liberdade = 400 = 0, A estimativa do coeficiente angular b, pelo método de mínimos quadrados ordinários, é igual a 0,5. Sabemos que o desvio padrão é igual a, assim: Ou ainda S = (X i X) = ( (X i X) ) 1/ 4 = (X i X) (). 4 = (X i X) A tabela nos mostra que n-1 (graus de liberdade) = 900, assim: (X i X) = = Para o cálculo de b, temos que: b SQM 5 = = = 0, 065 (X i X) 3600

4 Logo: b = 0, 065 = 0, 5 O valor diário (em R$ mil) apreendido de contrabando em determinada região do país é uma variável aleatória W que segue distribuição normal com média igual a R$ 10 mil e desvio padrão igual a R$ 4 mil. Nessa situação hipotética, 48 se W1 e W forem duas cópias independentes e identicamente distribuídas como W, então a soma W1 + W seguirá distribuição normal com média igual a R$ 0 mil e desvio padrão igual a R$ 8 mil. Pelas propriedades de média e desvio padrão, temos: Se somarmos ou subtrairmos todas as observações x com um determinado valor fixo a, toda a média terá resultado igual ao anterior à operação mais ou menos a. Assim: W1 + W μ = Média (X + a) = X + a Ao somar ou diminuir qualquer valor fixo das observações do seu respectivo Desvio Padrão (σ), o resultado ficará inalterado. Assim: W1 + W σ = P(W > R$ 10 mil) = 0,5. σ(x + a) = σ(x) Como a média é igual a 10 mil e a probabilidade afirma que maior que 10 mil = 50%, temos uma distribuição normal, já que segue distribuição simétrica! 50 a razão segue distribuição normal padrão.

5 A distribuição normal padrão segue a seguinte fórmula: Assim, substituindo os valores, temos: Ou (em mil): X μ σ W W 10 4