Lista 6 de Estatística e Probabilidade. Distribuição Amostral, Técnicas de Amostragem, Correlação e Regressão Linear Simples

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1 Lista 6 de Estatística e Probabilidade Distribuição Amostral, Técnicas de Amostragem, Correlação e Regressão Linear Simples Distribuição Amostral 1) As alturas dos alunos de uma universidade, apresenta distribuição normal com média 1,68 m e desvio-padrão de 0,20 m. a) Qual a probabilidade de que uma amostra com 100 alunos, selecionada ao acaso com reposição, tenha altura média inferior a 1,65m? b) Qual a probabilidade de que uma amostra com 100 alunos, selecionada ao acaso com reposição, tenha altura média entre 1,64 e 1,70 m? c) Determine o tamanho mínimo da amostra de moda que a probabilidade da sua altura média estar entre 1,65 e 1,71 seja de 85%. Respostas: a) 6,68% b) 81,86% c) 93 alunos 2) Uma máquina automática enche garrafas de cerveja, e o faz segundo uma distribuição normal com desvio padrão de 30 ml. Qual a probabilidade de que uma amostra com 12 garrafas, escolhida ao acaso com reposição, tenha um volume total inferior a 9,0 litros (9.000 ml)? Resposta: 16,6% 3) Uma população se constitui dos números 2, 3, 4, 5. Considere todas as amostras possíveis, de tamanho 2, que podem ser extraídas dessa população com reposição. Determine: a) a média da população b) o desvio-padrão da população c) a média da distribuição amostral das médias amostrais d) o desvio-padrão da distribuição amostral das médias Constate que μ(x ) = μ e σ(x ) =. Lembrete: Para o cálculo de variância populacional, o denominador da fórmula é apenas n. Respostas: a) 3,5 b) 1,1180 c) tabela de distribuição amostral da média d) 0,7906 4) Considere os dados da população do exercício anterior e amostras de tamanho 2 sem reposição. Constate que: μ(x ) = μ σ(x ) = zimar.weebly.com zimar@decea.ufop.br Página 1

2 5) Uma caixa contém 3 peças boas e 1 defeituosa. Considere amostras de tamanho 2, e sucesso à extração de uma peça boa. a) Supondo o processo com reposição, comprove os resultados: μ(p) = π e σ (P) = ( ) b) Supondo o processo sem reposição, comprove os resultados: μ(p) = π e σ (P) = ( ) Sugestão: Denote peças boas por: A, B, C e peças defeituosas por: D Respostas: a) π = 0,75 = μ(p) e σ (P) = 0,09375 b) σ (P) = 0,0625 Técnicas de Amostragem 6) Uma escola tem 90 alunos, sendo 54 homens e 36 mulheres. Queremos obter uma amostra estratificada por sexo de 10% dos alunos. Resposta: 5 homens e 4 mulheres aleatoriamente. 7) Seja uma população de 90 alunos, retire uma amostra de 10 alunos usando a tabela de números aleatórios abaixo, utilize a técnica de amostragem aleatória simples Pode-se usar critérios de linhas ou colunas ou diagonais... 8) Explique como você selecionaria uma amostra sistemática de 40 páginas de um livro de 400 páginas para fazer um levantamento de erros tipográficos. Correlação e Regressão Linear 9) O gerente de uma cadeia de supermercados deseja desenvolver um modelo de regressão com a finalidade de estimar as vendas médias semanais (em milhares de reais). Y Vendas semanais X Número de clientes Estas variáveis foram observadas em 20 supermercados escolhidos aleatoriamente. X Y 11,2 11,05 6,84 9,21 9,42 10,08 9,45 6,73 7,24 6,12 X Y 7,63 9,43 9,46 7,64 6,92 8,95 9,33 10,23 11,77 7,41 a) Obtenha a equação da reta e trace-a no diagrama de dispersão. zimar.weebly.com zimar@decea.ufop.br Página 2

3 b) Suponha que tem-se interesse em prever as vendas semanais para um supermercado com 600 clientes. Respostas: a) y = 0,0087x + 2,44 b) y = 7,66 10) Exercício 10.7 letras a,b,c pg 210 do livro Probabilidade para engenheiros Os dados mostrados na tabela a seguir representam o desempenho (medido em milhas percorridas por galão, MPG, de gasolina) dos carros em uma auto-estrada e o deslocamento do pistão no motor para uma amostra de 20 carros. Fabricante Modelo Milhas por Galão (auto-estrada) Deslocamento do Pistão no Motor (in³) Acura Legend BMW 735i Buick Regal Chevrolet Cavalier Chevrolet Celebrity Chryler Conquest Dodge Aries Dodge Dynasty Ford Escort Ford Mustang Ford Taurus Ford Tempo Honda Accord Mazda RX Mercedes 260E Mercury Tracer Nissan Maxima Oldsmobile Cutlass Plymouth Laser Pontiac Grand Prix a) Usando mínimos quadrados, ajuste um modelo linear simples relacionando MPG (y) ao deslocamento do pistão (x). b) Encontre uma estimativa do desempenho médio para um carro com deslocamento de pistão de 150 in³. c) Obtenha o resíduo correspondente para Chevrolet Cavalier. Resposta: a) a = -0, , b = 33, ; b) 28,225; c) 1,3 x 10-5 zimar.weebly.com zimar@decea.ufop.br Página 3

4 11) Exercício 10.9 letras a,b,c pg 210 do livro Probabilidade para engenheiros Um artigo no Journal of Sound and Vibration descreveu um estudo investigando a relação entre exposição ao barulho e hipertensão. Os seguintes dados são representativos daqueles reportados no artigo. Aumento da Pressão Sanguínea (mmhg) Nível de Pressão Sonora (db) a) Desenhe um diagrama de dispersão de y (aumento da pressão sanguínea) versus x (nível da pressão sonora). Encontre o valor do coeficiente de correlação de Pearson e diga se parece razoável um modelo de regressão linear simples para essa situação. b) Encontre o valor da inclinação e da interseção usando o método dos mínimos quadrados. c) Encontre o aumento médio previsto para a pressão sanguínea, associado com um nível de pressão sonora de 85 db. Respostas: a) Correlação razoável, R = 0, b) a = 0,171484, b = -9,8131; c) 4,76301 zimar.weebly.com zimar@decea.ufop.br Página 4

5 12) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson para os oito pontos seguintes: (1,1) (4,1) (5,3) (3,2) (3,4) (4,2) (1,4) (3,3) Construa o diagrama de dispersão e comente o resultado obtido. Resposta: R = -0,085 13) Dados os 7 pares de valores experimentais abaixo (x i,y i ), estabelecer a regressão linear y = ax+b, calculando os coeficientes a e b pelo método dos mínimos quadrados, supondo os valores x i isentos de erro. x i y i ) No começo de um determinado mês, as cotações de uma empresa na Bolsa de Valores apresentaram-se como no quadro que segue. Considerado um modelo linear, qual a estimativa para o 7 dia? Pode-se concluir que essa ação esteja num período de baixa? Dia Valor da ação 1 3,8 2 3,4 3 3,1 4 2,4 5 2,0 Resposta: Sim, y = 1,1 zimar.weebly.com zimar@decea.ufop.br Página 5

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