Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 1 / 1

2 Definição 14.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, denotada por χn 2, se sua função densidade for dada por: Sendo, Γ(w) = 1 f(x) = 2 n/2 Γ(n/2) x n/2 1 e x/2, x > 0, n > 0 0 x w 1 e x dx, w > 0. IDEIA Graus de liberdade: Considere um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Exemplo Consideremos que 10 estudantes obtiveram em um teste média 8.0. Assim, a soma das 10 notas deve ser 80 (restrição). Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade de 10 1 = 9, pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente, contudo a 10 a nota deve ser igual a [80 (soma das 9 primeiras)]. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 2 / 1

3 A distribuição qui-quadradao pode ser interpretada de duas formas: Interpretação 1) Como um caso particular da distribuição Gama (α, β), fazendo β = 1/2 e α = n/2, onde n é um inteiro positivo. Ou seja, se X χn 2, então temos que X Gama(n/2,1/2). 2) Como a soma de normais padronizada ao quadrado. Ou seja, se X i N(0,1), então n i=1 X 2 i χ 2 n Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 3 / 1

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5 A distribuição qui-quadradao possui numerosas aplicações importantes em inferência estatística. Devido a sua importância a distribuição qui-quadrado está tabulada para diferentes valores do parâmetro n. Assim, poderemos achar na tabela o valor χα 2 que satisfaça P(X χ α 2) = α ou P(X χα 2 ) = α, dependendo da tabela. O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita ou à esquerda de cada curva. Isto é, dado um valor de área na cauda direita, a tabela retorna um valor χα 2 tal que P(X χ α 2 ) = α e dado um valor de área na cauda esquerda a tabela retorna um valor χα 2 tal que P(X χ α 2) = α. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 5 / 1

6 Exemplo de Tabela Qui-quadrado Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 6 / 1

7 Exemplo 1 Suponha que X segue uma distribuição qui-quadrado com 17 graus de liberdade e queremos encontrar x 1 e x 2 tais que P(x 1 X x 2 ) = OBSERVAÇÃO 14.1: Poderíamos ter encontrado outros valores de x 1 e x 2 para os quais P(x 1 X x 2 ) = 0.95, porém, na prática, sempre buscamos por valores de forma que as probabilidades P(X < x 1 ) = P(X > x 2 ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 7 / 1

8 Exemplo 2 Suponha que X segue uma distribuição qui-quadrado com 7 graus de liberdade. a) Determine P(X > 9). b) Determine o valor x tal que P(X x) = 0.95 c) Determine o valor x tal que P(X > x) = 0.95 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 8 / 1

9 Propriedades da distribuição Qui-quadrado Propriedades E(X) = n Var(X) = 2n 1 n/2 M X (t) = 1 2t Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 9 / 1

10 Teorema 14.1: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padronizada. Então X 2 tem distruibuição χ 2 com um grau de liberdade. DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 10 / 1

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12 Teorema 14.2: Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes normalmente distribuídas com média 0 e variância 1. Então Z = n i=1 X 2 i segue uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 12 / 1

13 DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 13 / 1

14 Teorema 14.3: Sejam U 1,U 2,...,U k variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado com n 1,n 2,...,n k graus de liberdade resepectivamente. Então a soma W = U 1 + U U k tem distribuição qui-quadrado com n 1 + n n k graus de liberdade. DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 14 / 1

15 DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 15 / 1

16 Teorema 14.4: Suponha que a variável aleaatória Y tenha distribuição χ 2 n. Então para n suficientemente grande (n 30), a variável aleatória 2Y tem aproximadamente a distribuição N( 2n 1,1). Este teorema pode ser empregado da seguinte maneira. Suponha-se que desejamos obter P(Y t), onde Y tem distribuição de χn 2, e n é tão grande que essa probabilidade não pode ser diretamente obtida da tabela de distribuição da qui-quadrado. Empregando o teorema, podemos escrever Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 16 / 1

17 Proposição 14.1: Seja X 1,...,X n uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média µ e variância σ 2, então (n 1)S 2 n i=1 = (X i X) 2 χ 2 σ 2 σ 2 (n 1) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 17 / 1