3. Variáveis aleatórias

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1 3. Variáveis aleatórias Numa eperiência aleatória, independentemente de o seu espaço de resultados ser epresso numericamente, há interesse em considerar-se funções reais em Ω, denominadas por variáveis aleatórias. Definição 3.1: Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que associa um número real a cada ponto do espaço de resultados de uma eperiência aleatória. Rigorosamente, dado um espaço de probabilidade (Ω, A, P ), uma variável aleatória X é uma função com domínio Ω e contradomínio na recta real (X : Ω IR) tal que o conjunto A r w Ω : X(ω) r} A, r IR. As variáveis aleatórias podem assumir um número finito ou infinito (numerável ou não numerável) de valores possíveis. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 19/206 Função de distribuição. Definição 3.2: Dada uma variável aleatória X, a função de distribuição (cumulativa) de X é dada por F X () P(X ), IR. Propriedades da função de distribuição. Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade f X (). A função de distribuição de X, F X (), satisfaz as seguintes propriedades: P 1 : Se, então F X () F X (). Ou seja, F X é uma função não decrescente. P 2 : Se n (n ), então F X ( n ) F X (). Ou seja, F X é uma função contínua à direita. P 3 : Se n (n ), então F X ( n ) 0 com F X () = 0. P 4 : Se n (n ), então F X ( n ) 1 com F X ( ) = 1. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 20/206

2 Variáveis aleatórias discretas. Definição 3.3: Se o conjunto dos possíveis valores de uma variável aleatória for finito ou infinito enumerável, a v.a. é dita ser discreta. Função (massa) de probabilidade. Definição 3.4: Dada uma variável aleatória discreta X com os possíveis valores 1, 2,..., a função f X ( i ) = P(X = i ) denota a probabilidade de ocorrência de i }, conhecida por função (massa) de probabilidade (f.m.p.), satisfazendo as seguintes condições: 1. f X ( i ) > 0, i = 1, 2, i 1 f X( i ) = 1. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 21/206 Eemplo 3.1: Na etracção, sem reposição, de 2 peças de uma urna com 5 peças defeituosas e 4 perfeitas, qual a f.m.p. de X (número de peças defeituosas nas 2 peças retiradas)? E a sua função de distribuição? 12, = 0; f X () =, = 1; , = 2; 0, caso contrário f X () F X () = 0, < 0; 12, 0 < 1; , 1 < 2; 1, 2. F X () NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 22/206

3 Variáveis aleatórias contínuas. Definição 3.5: Se o conjunto dos possíveis valores de uma v.a. for infinito não numerável, a v.a. diz-se contínua, em certas condições. Função densidade de probabilidade. Definição 3.6: Diz-se que X é uma v.a. contínua, se eistir uma função f X, denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X, satisfazendo as condições: 1. f X () 0, IR. 2. f IR X()d = A função de distribuição é contínua e dada por F X () P(X ) = f X (u)du. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 23/206 Definição 3.7: Dada uma v.a. contínua X com f.d.p. f X (), a massa probabilística contida em qualquer acontecimento B IR é dada por P(X B) = f X ()d. Se X é uma v.a. contínua com função de distribuição F X (), P(a < X b) = F X (b) F X (a): área sob f X () entre a e b. IR, P(X = ) F X () F X ( h), h > 0 P(X = ) lim h 0 + [F X () F X ( h)] = 0 P(a<X b)=p(a X b)=p(a<x <b)=p(a X <b). A f.d.p. de X pode ser obtida pela derivação de F X (), i.e., f X () = d F d X(), nos pontos de diferenciabilidade desta. f X () pode ser interpretada como uma massa de probabilidade por unidade de comprimento pois para suficientemente pequeno P( X + ) f 2 2 X(), à luz do Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral. B NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 24/206

4 Eemplo 3.2: Seja X o tempo de vida de uma componente electrónica. Suponha que X é uma v.a. contínua com f.d.p. f X () = e, se > 0, e f X () = 0, caso contrário. Qual a função de distribuição de X? F X () = e u du = 1 e, > 0; 0, 0. Função Densidade de Probabilidade Função de Distribuição f() F() NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 25/206 Funções de variáveis aleatórias. Seja X uma variável aleatória definida no espaço de resultados Ω associado à eperiência aleatória E. Se = g() é uma função real (mensurável) de, com = X(ω) para algum ω Ω, então Y = g(x) é também uma variável aleatória definida no mesmo espaço de probabilidade. Por eemplo, se X é uma v.a. discreta com f.m.p. f X () e contradomínio D = 1, 2,...}, então Y = g(x) é também uma variável aleatória discreta com f.m.p. f Y () = P(Y = ) = P(X A ) = i A f X ( i ), D onde A = D : g()=} e D =g(d) é o contradomínio de Y. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 26/206

5 Se X é uma v.a. contínua, a continuidade de Y = g(x) depende do tipo da função g( ). No caso de Y ser contínua, a sua distribuição é determinável da de X. Eemplo 3.3: Se X é uma v.a. contínua com f.d.p. 1, 0 < < 1; f X () = 0, caso contrário, qual a f.d.p. de Y = e X (função real de diferenciável em todos os pontos do respectivo domínio e estritamente monótona)? F Y () P(Y ) = P(X log ) F X (log ). f Y () = d d F Y () = d d F X() d =log d = f X(log ) 1 1/, 1 < < e; f Y () = 0, caso contrário. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 27/206 Vectores aleatórios bidimensionais. Na maioria das situações, a consideração de uma única variável não é suficiente para eplicar cabalmente um fenómeno aleatório, sendo necessário eplicitar mais do que uma v.a. e, por conseguinte, definir a distribuição de probabilidade conjunta no espaço euclidiano multidimensional. Eemplo 3.4: Sejam X e Y os números de cartas rei/dama e ás em 2 cartas retiradas (sem reposição) de um baralho com 52 cartas, respec. Quais as probabilidades conjuntas (não nulas) do par aleatório (X,Y )? X\Y NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 28/206

6 Função de distribuição conjunta. Definição 3.8: Dado um par aleatório (X,Y ), a sua função de distribuição conjunta é dada por F X,Y (,) P(X,Y ). Propriedades da função de distribuição de um par aleatório (X,Y ): P 1 : F X,Y (,) é uma função não decrescente em cada uma das variáveis, e.g.,, 1 2, F X,Y (, 1 ) F X,Y (, 2 ). P 2 : F X,Y (,) é uma função contínua à direita em cada uma das variáveis, e.g., se n (n ), então F X,Y ( n,) F X,Y (,). P 3 : P 4 : lim F X,Y (,) = lim F X,Y (,) = lim F X,Y (,) = 0., lim F X,Y (,) = 1., NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 29/206 Funções de distribuição marginais. Definição 3.9: Dado um par aleatório (X,Y ), a função de distribuição marginal de X é dada por F X () = lim F X,Y (,) = P(X ), enquanto a função de distribuição marginal de Y é F Y () = lim F X,Y (,) = P(Y ). Note-se que as funções de distribuição marginais F X () e F Y () de um par aleatório (X, Y ) satisfazem as propriedades da função de distribuição (unidimensional) referidas previamente. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 30/206

7 Vectores aleatórios discretos e contínuos. Definição 3.10: Seja (X 1,...,X n ) IR n um vector aleatório, onde X i, 1 i n são variáveis aleatórias discretas e/ou contínuas. (X 1,...,X n ) é dito ser um vector aleatório discreto ou contínuo com função de distribuição F X1,...,X n ( 1,..., n ), quando eiste uma função não negativa f X1,...,X n ( 1,..., n ) verificando, respectivamente, F X1,...,X n ( 1,..., n ) = f X1,...,X n (u 1,...,u n ) u 1 1 u n n 1 n F X1,...,X n ( 1,..., n ) = f X1,...,X n (u 1,...,u n )du 1...du n e consequentemente u 1 u n f X1,...,X n (u 1,...,u n ) = 1 f X1,...,X n (u 1,...,u n )du 1...du n = 1. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 31/206 Distribuição conjunta de um par aleatório. Definição 3.11: Se X e Y são duas v.a. discretas (contínuas), a sua função massa (densidade) de probabilidade conjunta do par aleatório (X,Y ) é uma função f X,Y (,), satisfazendo as seguintes condições: 1. f X,Y (,) 0, (,). 2. f X,Y (,) = 1 (caso discreto), f IR IR X,Y (,)dd = 1 (caso contínuo). Por conseguinte, a função de distribuição conjunta do par aleatório (X,Y ) é dada por u v F X,Y (,) = f X,Y (u,v) f X,Y (u,v)dvdu (caso discreto), (caso contínuo). NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 32/206

8 Note-se que a função densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ) pode ser obtida a partir da respectiva função de distribuição por diferenciação, nos pontos (,) de diferenciabilidade desta, i.e., f X,Y (,) = 2 F X,Y (,). Eemplo 3.5: Num sistema com 2 componentes electrónicas, seja X (Y ) a duração (em horas) da sua primeira (segunda) componente. Será f X,Y (,) abaio uma f.d.p. conjunta do par aleatório (X,Y )? e, > 0, > 0; f X,Y (,) = 0, c.c. Sim, f X,Y (,) 0, (,) IR 2 e f X,Y (,)dd = 0 e e dd = 1. 0 NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 33/206 Qual a probabilidade de as duas componentes durarem no máimo 2 horas? 2 2 (, ) P(X 2,Y 2) = F X,Y (2, 2) = e dd Qual a probabilidade de a primeira componente durar mais do que a segunda? A P(X > Y ) = f A X,Y (,)dd = e dd 0 = 0.5 NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 34/206

9 Distribuições marginais de um par aleatório. Definição 3.12: Dado um par aleatório (X, Y ) de v.a. discretas (contínuas) com função massa (densidade) de probabilidade conjunta f X,Y (,), as funções massa (densidade) de probabilidade marginais de X e de Y são, respectivamente, dadas por f X () = ( ) f X,Y (,) f X,Y (,)d, IR f Y () = ( ) f X,Y (,) f X,Y (,)d. IR Note-se que as funções f X () e f Y () satisfazem as propriedades de f.m.p (f.d.p.), estando associadas igualmente a funções de distribuição (marginais). Por eemplo, se (X,Y ) é contínuo: i) f X () 0, IR; ii) f X()d = 1; iii) F X () = P(X ) = f X(u)du. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 35/206 Eemplo 3.5a: No sistema com duas componentes electrónicas, qual a função de distribuição conjunta de (X,Y ), sendo X e Y as durações das componentes? F X,Y (,) = f X,Y (u,v)dudv,>0 = 0 0 e u v dudv = 0 e v ( e u ) 0 dv = (1 e ) 0 e v dv, (1 e )(1 e ),, > 0; = 0, c.c. E as funções densidade de probabilidade marginais de X e Y? e, > 0; f X () f Y () >0 = >0 = e d = e ( e ) 0 = 0 0, c.c. e d = e ( e ) e, > 0; 0 = 0, c.c. 0 NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 36/206

10 Distribuições condicionais de um par aleatório. Definição 3.13: Dado um par aleatório (X, Y ) de v.a. discretas (contínuas) com função massa (densidade) de probabilidade conjunta f X,Y (,), a função massa (densidade) de probabilidade condicional de X dado Y = é epressa por f X Y = () = f X,Y (,)/f Y (), se f Y () > 0. Analogamente, a função massa (densidade) de probabilidade condicional de Y dado X = é f Y X= () = f X,Y (,)/f X (), se f X () > 0. Observe-se que, e.g., a função f X Y = () satisfaz as propriedades de f.m.p (f.d.p.) unidimensional, estando associada com a correspondente função de distribuição (condicional): u F X Y = () = P(X Y =) = f X Y =(u) (discreto), f X Y =(u)du (contínuo). NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 37/206 Eemplo 3.4a: X e Y são os números de cartas rei/dama e ás em 2 cartas retiradas do baralho (sem reposição), respectivamente. X\Y A função massa de probabilidade condicional de Y dado X = 0 é Y X = f Y X=0 () = = = Note-se que f Y X=0 () = f X,Y (0,) f X (0) = 1 f X,Y (0,) = 1 f X (0) NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 38/206

11 Independência entre variáveis aleatórias. Teorema 3.1: Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas independentes, se para todo A e B, os eventos X A e Y B são independentes, i.e., P(X A,Y B) = P(X A)P(Y B). Teorema 3.2: Duas variáveis aleatórias X e Y discretas (contínuas) são independentes, se a função massa (densidade) de probabilidade conjunta de (X,Y ) é dada por f X,Y (,) = f X ()f Y (), (,), onde f X () e f Y () são as funções massa (densidade) de probabilidade marginal de X e Y, respectivamente. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 39/206 Teorema 3.3: Duas variáveis aleatórias X e Y são independentes, se a função de distribuição conjunta de (X,Y ) é dada por F X,Y (,) = F X ()F Y (), (,), onde F X () e F Y () são as funções de distribuição marginal de X e Y, respectivamente. Eemplo 3.5b: X e Y são as durações (em horas) de duas componentes electrónicas do sistema. f X,Y (,) = e (+) = e e,, > 0; 0, c.c. = f X ()f Y (), (,). X e Y são variáveis aleatórias independentes. NOTAS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 40/206

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