Variáveis Aleatórias

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Variáveis Aleatórias"

Transcrição

1 Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : I, em que I. Esquematicamente: As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos: VA discreta: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto finito ou infinito enumerável Es.: I = {,, 3, 4, 5, 6}, I = N = {,,, 3, 4,... }, etc. VA contínua: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais Es.: I = = (, ), I = [,], etc. Notas: Para v.a. s contínuas, a função que normalmente associa pontos de ao conjunto I, é a função identidade; Para v.a. s discretas, a função que normalmente associa pontos de ao conjunto I, é uma contagem ou soma.

2 Eemplo: Três jogadores A, B e C cobram um penalti cada um (independentemente) e marcam o gol com probabilidades 9%, 88% e 85%, respectivamente. a) Quais os resultados possíveis? b) Como definir uma v.a.? c) Como associar probabilidade a essa uma v.a.? Sejam os eventos A = o jogador A marca o penalti, B = o jogador B marca o penalti e C = o jogador C marca o penalti. a) = ABC, A c BC, AB c C, ABC c, A c B c C, A c BC c, AB c C c, A c B c C c é o espaço amostral. b) Temos pelo menos duas formas para definir uma variável aleatória para esse caso: (i) X = número de gols marcados nas três cobranças ou (ii) X = número de gols perdidos nas três cobranças. Vamos considerar X = número de gols marcados nas três cobranças X(ABC) = 3 X(A c BC) = X(AB c C) = X(ABC c ) = X(A c B c C) = X(A c BC c ) = X(AB c C c ) = X(A c B c C c ) = Vamos simplificar a notação para os possíveis valores da v.a.: X(ABC) X = 3 X(A c BC) = X(AB c C) = X(ABC c ) X = X(A c B c C) = X(A c BC c ) = X(AB c C c ) X = X(A c B c C c ) X = Assim pode-se escrever: P(X = 3) = P(ABC) = =.673 P(X = ) = P(A c BC AB c C ABC c ) =.854 P(X = ) = P(A c B c C A c BC c AB c C c ) =.396 P(X = ) = P(A c B c C c ) =.8

3 Normalmente reperentam-se os valores numa tabela com a distribuição das probabilidades, chamada de função de probabilidade: Tabela: Função de probabilidade da v.a. X = gols marcados nas 3 cobranças. Valores da v.a. X Probabilidades

4 Função de probabilidade de uma v.a. discreta A função que associa probabilidades aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, é chamada de função de probabilidade (fp) ou função massa de probabilidade (fmp), sendo representada por: p() = P(X = ), I, I = conjunto dos possíveis valores de X. Propriedades: a) p() ; b) p ( ). I Eemplos: a) No eemplo dos 3 jogadores, temos I = {,,, 3 } e: p() função que associa.8 probabilidades à v.a..396 número de gols.854 narcados nas cobranças de penaltis. b) Uma indústria que produz placas para componentes eletrônicos, usadas na fabricação de celulares, afirma que no processo de produção dessas placas, % sai com defeito nas furações. Considerando que na inspeção dessas placas, unidades são selecionadas aleatoriamente e avaliadas, i) Defina uma variável aleatória para esse caso. Qual é a probabilidade de que a inspeção encontre: ii) eatamente uma placa com defeito? iii) pelo menos uma placa com defeito? iv) no máimo três placas com defeito?

5 Escrevendo as probabilidades em termos da v.a.: a) Seja a v.a. X = número de itens com defeito encontrados na inspeção de n = placas. Então, temos que I = {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, ou seja p() = P(X = ), em que {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. b) Probabilidade de que a inspeção encontre eatamente uma placa defeituosa: P(X = ). Se o índice de placas com defeitos na produção é de %, então, uma placa tem probabilidades. de ser defeituosa e.99 de ser boa. Sendo D = placa com defeito e b = placa boa, temos que b/d D b b b b b b b b b prob item Assim, a probabilidade de que a inspeção encontre eatamente uma placa defeituosa, senda esta a primeira é igual a: (.)(.99) 9 Como a placa com defeito pode ser a primeira placa ou a segunda ou a terceira... ou a décima, então temos dez vezes essa probabilidade, i.e.: P(X = ) = (.)(.99) 9 = (.) (.99) 9 =.935 c) Se a inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito, então, pode ser uma placa com defeito ou duas ou três... ou as dez. Portanto, a probabilidade da inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito é dada por: P(X ) = P( X ) P(X = ) + P(X = ) P(X = ).

6 Mas, utilizando o evento complementar, podemos escrever essa probabilidade como sendo um menos a probabilidade de que todas as placas sejam boas, ou seja: P(X ) = P(X = ) = (.99) =.956 d) A probabilidade da inspeção encontrar no máimo três placas com defeito é escrita como: P(X 3) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3). Em que: P(X = ) = (.) (.99) =.9438 P(X = ) = (.) (.99) 9 =.935 P(X = ) = (.) (.99) 8 =.45 P(X = 3) = (.) 3 (.99) 7 =. 3 Logo, P(X 3) = O modelo binomial No eemplo acima podemos escrever uma fórmula geral para as probabilidades: P(X = ) = (.) (.99) Generalizando um pouco mais, podemos pensar num processo de fabricação com índice de defeitos diferente de %.

7 Como esse índice de defeitos pode ser epresso como uma proporção entre e, podemos definir uma quantidade p, p, como sendo a probabilidade de que uma placa seja defeituosa. Considerando que a inspeção pode ser aplicada a um número n qualquer de placas, se X é a v.a. que conta o número de defeitos nas n placas inspecionadas, então podemos generalizar a probabilidade P(X = ) por: n P(X = ) = p ( p) n, =,,,..., n. Esse modelo é conhecido como modelo binomial. O modelo binomial está associado à ensaios ou eventos independentes com apenas dois resultados possíveis: sim/não; ocorre/não ocorre; ou. Os ensaios com essas características são chamados de ensaios de Bernoulli. Nos ensaios de Bernoulli estamos interessados na ocorrência de apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso. Desta forma, para o modelo binomial temos que: p = P(sucesso) e ( p) = P(fracasso) No eemplo acima, ocorre sucesso quando a inspeção detecta uma placa com defeito e fracasso quando a placa não apresenta defeito. O modelo binomial é, então, caracterizado pela realização de n ensaios independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), nos quais a probabilidade de sucesso p é constante.

8 A v.a. binomial é definida como sendo: Uma v.a. que conta o número de sucessos num número fio de ensaios de Bernoulli. Notação: X binomial(n; p). No eemplo das placas eletrônicas, temos p =. e n =, logo X binomial(;.). Outro eemplo: Considere a fabricação de pinos metálicos para montagens de motores em que o índice de produtos com defeito é de.5%. Se um inspetor seleciona um lote com 8 pinos para inspeção, qual a probabilidade de que: a) apenas um seja defeituoso? b) nenhum seja defeituo? c) no máimo dois sejam defeituosos? d) Qual é o número esperado de pinos defeituosos no lote? Vamos definir a v.a. X = número de pinos defeituosos dentre os 8. Como estamos interessados nos defeitos (sucesso defeito), então: p = P(defeito) =.5 e X binomial(8;.5) 8 a) P(X = ) = (.5) (.975) 79 =.76 8 b) P(X = ) = (.5) (.975) 8 =.39 c) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = d) Espera-se: 8.5 = peças defeituosas no lote, ou seja, espera-se np peças com defeito.

9 Resultado: O número esperado de sucessos em n ensaios de Bernoulli, tal que, P(sucesso) = p é dado por np. No eemplo das placas eletrônicas, espera-se. =. placas com defeito na inspeção. Mais um eemplo: Segundo pesquisa Lance!/IBOPE (ago/) 9.% dos Paulistas são torcedores do Santos. Se pessoas do estado de São Paulo são escolhidas ao acaso, a) qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja Santista? b) qual é a probabilidade de que no máimo duas sejam Santistas? c) qual o número esperado de Santistas entre as pessoas? Seja a v.a. X = número de torcedores do Santos na amostra. X binomial(;.9) a) P(X ) = P(X = ) = (.98) =.868 b) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) =.696 c) E =.9 =.93 torcedores

10 Função de probabilidade de uma v.a. contínua Para modelarmos as probabilidades associadas a uma v.a. contínua, temos de considerar que estas assumem valores em intervalos dos reias. Desta forma, o conjunto de possíveis valores que uma v.a. contínua X pode assumir é dado por I = { R k k }, k < k. Como eistem infinitos pontos no intervalo [k, k ], não faz sentido pensarmos na probabilidade de X assumir um valor I, uma vez que essa probabilidade será igual a zero. Desta forma, para uma v.a. contínua, P(X = ) =. No entanto, podemos determinar a probabilidade de X assumir um valor entre dois pontos quaisquer pertencentes a I: P(a X b) ; P(X b); P(X a); etc Definição : Seja um função f() não negativa tal que a) f(), I; b) f ( ) d ; I c) lim f ( ) lim f ( ) ; b Então: P(a X b) = a f ( ) d A função f() é chamada de função densidade de probabilidade (fdp) da v.a. X, ou simplesmente função densidade de X e serve para descrever a distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua.

11 A função de probabilidade f() pode ser aproimada pelo histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura. Definição : Seja um função F() tal que F ( ) P( X ) f ( u) du. F() é chamada função de distribuição acumulada (fda) da v.a. X, ou simplesmente função de distribuição.

12 Nota: Da definição de fdp segue-se que: b P(a X b) = a f ( ) d = F(b) F(a) Eemplo: Seja uma v.a. X com fdp f() dada por k f ( ) e, { R }. a) Para que valor de k, f() define uma fdp? k De f ( ) d e d, fazendo w = k, segue-se que dw = kd. k w dw w Portanto, e d e e e e k k k, de onde se obtém: k k. b) Encontrar a fda u / / e e u / F( ) e du. Portanto, / F( ) P( X ) e. Desta forma, podemos encontrar P( X ) = F() F(), ou seja P( X ) = / / / e e e e =.387.

13 Valor Esperado e Variância de uma v.a. A-) O valor esperado, esperança ou média de uma variável aleatória é definido por: i) Se X é uma variável discreta: ( X ) E p( ) ii) Se X é uma variável contínua: E ( X ) f ( ) d Propriedades de Esperança: a) E g( X ) g( ) p( ) ou g( X ) b) E( ax by) ae( X ) be( Y) E g( ) f ( ) d e E( ax b) ae( X ) b c) E( k) k, k constante. B-) A variância de uma variável aleatória é definida por: X E( X ) E( X ) E( ) Var( X ) E X, em que: E ( X ) p( ) ou E ( X ) f ( ) d Propriedades de Variância: a) Var( ax b) a Var( X ) b) Var ( k), k constante.

14 Eemplos: ) Seja uma v.a. discreta com função de probabilidade dada por: ( ) k p, k > e {,,,, 4 }: 3 a) Achar o valor de k para que p() seja uma função de probabilidade; b) Calcular o valor esperado de X ; c) Calcular a variância de X; d) Encontre P( X < 4 ); e) Quais os valores de a e b para os quais (ax + b) tenha média zero e variância um? a) Achar o valor de k: 4 p ( ) k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 4 k 4 k 4 k Desta forma: ( ) 3 p ou p ( ). 4 p()

15 b) Valor esperado de X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). (). (). (4).3 E (X ).6 c) Variância de X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). () Var ( X ) E( X ). () E( ) 6.6 (.6) 6.4. (4).3 DP (X ) d) P( X < 4 ) = =.4 e) E ( ax b) ae( X ) b.6a b Var ( ax b) a Var( X ) 6.4a a Assim, temos que: b Resultado: Seja uma v.a. Y ax b, tal que X E( X ) Y DP( X ) uma v.a. padronizada, tendo média e variância., então Y é

16 ) Seja uma v.a. contínua com fdp dada por: k f ( ), k > e { R < }: a) Achar o valor de k para que f() seja uma densidade de probabilidade; b) Calcular o valor esperado de X ; c) Calcular a variância de X; d) Encontre a função distribuição acumulada de X; e) Encontre P(X /) e P(/4 < X < 9/6); f) Quais os valores de k e k tal que P(X k ) =.5 e P(X k ) =.5? a) Achar o valor de k: f ( ) d k d / k / k ( ) k k Logo: f ( ), <, é uma fdp.

17 b) Valor esperado de X : ) ( d d X E 3 3/ 3/ 3 ) ( X E c) Variância de X: 3/ ) ( d d X E 5 5/ 5/ ) ( X Var ) ( X DP d) fda de X: u du u F / / ) ( Logo:,,, ) ( F.

18 Figura: fdp e fda, respectivamente. e) P(X /) e P(/4 X < 9/6): i) P ( X / ) F(/ ) / ii) 3 P ( / 4 X 9/ 6) F(9/6) F(/ 4) 4 4 f) k e k tal que P(X k ) =.5 e P(X k ) =.5: i) P X k ) k. 5 k. 5 ( ii) P X k ) P( X k ) k. 5 ( k. 95 k. 95

19 3) Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade binomial(n, p). Calcular E(X) e Var(X). 4) Seja X uma v.a. contínua com fdp dada por: / f ( ) e, > e { R }. Calcular E(X) e Var(X). O modelo acima é o modelo eponencial: X eponencial() E(X) = Var(X) = Obs: = / é a taa de ocorrência: O modelo eponencial também aparece na forma: f ( ) e, > e { R }.

20 Mais Eemplos: ) Para o modelo binomial mostra-se facilmente que E(X) = np e que Var(X) = np( p). Dessa forma, no eemplo das placas, como n = e p =., E(X) = (.) =. placas e Var(X) = (.)(.99) =.99 ) No eemplo da fabricação de pinos metálicos para motores, como n = 8 e p =.5, E(X) = 8(.5) = def./lote e Var(X) = 8(.5)(.975) =.95. / 3) Para o eemplo da v.a. contínua, em que f ( ) e, temos que: / / E( X ) e d e d, integrando por partes, E ( X ). / / E( X ) e d e d, integrando p. partes E ( X ) 8, logo, Var ( X ) 4.

21 A distribuição de probabilidade Normal. Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros e se a sua fdp for: e f,, e. Notação: X normal( ; ) ou X N( ; ). As principais características da distribuição normal são: a) X tem média E(X) = e variância Var(X) = ; b) f() é uma função simétrica em torno de : f( k) = f( + k); c) f() tem pontos de infleão em ( ) e ( + ); d) f() tem o conhecido formato de sino com 95% de probabilidade entre ( ) e ( + ) (ver figura).

22 A função de distribuição acumulada (fda) do modelo normal não pode ser determinada uma vez que a integral F w e dw, não tem solução algébrica, o que dificulta as coisas, pois temos de recorrer à programação numérica. No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas: Considere a va normal padronizada, dada pela transformação linear X Z. Essa transformação padroniza a va X em relação ao seu desvio padrão, além de centralizá-la na origem. Desta forma, tem-se que E(Z) = e Var(Z) =.

23 Resultado: Seja X uma va com distribuição normal com média e variância, então a variável Z tem distribuição normal padrão, com média e variância, ou seja: Z N(; ), z z. e a sua fdp é dada por: ( z) e, Nota: Com este resultado, basta construir uma única tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as probabilidades para uma va normal qualquer. Eemplo: ) Seja uma va X com distribuição normal com média e variância 6, ou seja, X N(; 6). Calcular as probabilidades abaio: a) P(X 5) X 5 P = P(X 5) = PZ.5

24 b) P( X 8) X 8 P( X 8) = P P.5 Z. Z. PZ. P =.97 c) Qual o valor de k tal que P(X k) =.? P(X k) = X k P =., 4 4 k Da tabela temos que k =.38 d) Quais os valores k e k simétricos em torno de, tal que P(k X k ) =.95? P(k X k ) = k k P Z =.95, 4 4 k Da tabela temos que k P Z PZ =.5, e, 4 4 k 4.96 k =.6 Como k e k simétricos em torno da média, então k 4.96 k = 7.84

25 Eemplo: ) Suponha que o nível de dureza de uma peça de espuma N 4; 36. Qual a probabilidade de que: tenha distribuição a) Um item produzido tenha dureza inferior a 8.7? b) Um item produzido tenha dureza superior a 5.5? c) A especificação para esse produto é que pelo menos 95% dos itens produzidos tenham dureza entre 8 e 5. A especificação é atendida? a) P(X < 8.7) P =.3 6 P(X < 8.7) = Z PZ.88 b) P(X > 5.5) P =.4 6 P(X > 5.5) = Z PZ.75 c) P(8 < X < 5) P(8 < X < 5) = P. Z. PZ. PZ. = =.9545 Eemplo: 3) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fiar a garantia do produto de forma que, no máimo 5% dos televisores apresentem problemas abaio desse limite. a) Encontre o limite de garantia? P(X < L) =.5 35 L L 35 P Z L = 3.6 mil horas ( 3.5 anos)

26 b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaio do limite garantia caia pela metade? P(X < 3.6) = P Z * * * =.45 mil horas ( 3. meses) Notação: Seja Z o quantil % da distribuição N(, ), então, Z é tal que P(Z Z ) =

27 Principais quantis da distribuição Normal Quantil Z =.5.5% Z.5 =.575 =. % Z. =.33 =.5.5% Z.5 =.96 =.5 5% Z.5 =.645 =. % Z. =.8 =.5 5% ou ~ Z.5 = =.9 9% Z.9 =.8 =.95 95% Z.95 =.645 = % Z.975 =.96 =.99 99% Z.99 =.33 = % Z.995 =.575 Obs: ) Note que Z = Z ( ), por eemplo Z.5 = Z.975 ; ) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo comando: qnorm(),. Eemplo: 4) O diâmetro D (cm) de esferas usadas na fabricação de um rolamento tem distribuição N (.64, 6.5 ). Uma esfera é classificada como boa se.6 D. 68; recuperável se.68 D. 6 ou.68 D. 6 e como descarte se D. 68 ou D. 6. Quais as probabilidades de uma esfera ser boa, recuperável e descarte? -6

28 P( boa ) = P(.6 D.68) = P = P(Z.6) P(Z.6).4.5 Z.4.5 = =.894 P( rec ) = P(.68 D <.6) + P(.68 < D.6) = [P(Z.6) P(Z.4)] + [P(Z.4) P(Z.6)] = [.548.8] + [ ] = =.93 P( des ) = P(D <.68) + P(D >.6) = P(Z.4) + [ P(Z.4)] =.8 + [.998] =.64 Classificação boa recuperável descarte probabilidade O fabricante deseja fiar limites de especificação (inferior e superior) para o produto bom de tal forma que apenas.5% dos rolamentos fiquem de fora. Quais devem ser esses limites? P(k D k ) =.5 k.64 k.64 = P Z =

29 k.64.5 Z.5.8 k =.67 Como k e k são simétricos em torno da média, então k.64.5 Z k =.6 Logo, P(.67 D.6 ) =.995 Considere que cada esfera é produzida a um custo de R$.5 e vendida a R$.5 por unidade, calcule o lucro esperado na venda de 5 mil unidades do produto se cada peça recuperável tem um custo adicional de R$.5 de retrabalho. Seja L o lucro na venda de uma esfera, então Classificação boa recuperável descarte probabilidade Custo C Venda V.5.5 Lucro L..5.5 E(L) =.894(.) +.93(.5) +.64(.5) = R$.94/esfera Em 5 mil esferas, temos: 5 E(L) = 5 (.94) = R$ 4.56,

30 Obs: Pode-se, ainda, encontrar o lucro esperado fazendo: L = V C E(L) = E(V) E(C), em que V é o valor da venda de uma esfera. Como E(V) = R$.459/un., e E(C) = R$.5466/un., então E(L) = R$.459 R$.5466 = R$.94/un. Eemplo: 5) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média 5g e desvio padrão g. a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 5g abaio da média? b) Num fardo com pacotes, qual é a probabilidade de no máimo estejam abaio de 99g? c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas 5% dos pacotes com peso abaio de 995g. De quanto deve diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido? d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a opção seria aumentar a média para atender a especificação. De quanto deve ser a nova média? e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se espera aumentar a perda do empacotador em uma tonelada do produto.

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : Ω A, em que A R. Esquematicamente As variáveis aleatórias

Leia mais

CONCEITOS BÁSICOS. 5) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se A B =.

CONCEITOS BÁSICOS. 5) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se A B =. CONCEITOS BÁSICOS Eperimento leatório é um eperimento no qual: i todos os possíveis resultados são conhecidos; ii resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados possíveis; iii pode ser repetido

Leia mais

Os exercícios a seguir são para resolver em sala

Os exercícios a seguir são para resolver em sala Os exercícios a seguir são para resolver em sala i) Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e seu marido tem 2/5 de chance. Qual é a probabilidade de, daqui a 30 anos: a) Ambos

Leia mais

TEORIA DAS PROBABILIDADES. Figura 1: Gráfico de pontos. Figura 3: Polígono de frequências.

TEORIA DAS PROBABILIDADES. Figura 1: Gráfico de pontos. Figura 3: Polígono de frequências. TEORIA DAS PROBABILIDADES Figura 1: Gráfico de pontos. Figura 3: Polígono de frequências. Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma. A teoria das probabilidades estuda os modelos

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Distribuição Normal Motivação: Distribuição

Leia mais

Departamento de Estatística UFSCar Probabilidade e Estatística Lista de Exercícios 2 Prof. José Carlos Fogo (11/09/2014)

Departamento de Estatística UFSCar Probabilidade e Estatística Lista de Exercícios 2 Prof. José Carlos Fogo (11/09/2014) Departamento de Estatística UFSCar Probabilidade e Estatística Lista de Exercícios 2 Prof. José Carlos Fogo (11/09/2014) 1) Seja X v.a. representando o número de usuários de um microcomputador no período

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade

Leia mais

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias Aula de hoje! Tópicos! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias! Variáveis discretas! Variáveis contínuas! Distribuição binomial! Distribuição normal! Referências! Barrow, M. Estatística para

Leia mais

ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE 4. 1 INTRODUÇÃO Serão apresentadas aqui algumas distribuições de probabilidade associadas a v.a. s contínuas. A mais importante delas é a distribuição Normal

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 1 Probabilidade

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

PRO 2271 ESTATÍSTICA I. 3. Distribuições de Probabilidades

PRO 2271 ESTATÍSTICA I. 3. Distribuições de Probabilidades PRO71 ESTATÍSTICA 3.1 PRO 71 ESTATÍSTICA I 3. Distribuições de Probabilidades Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são valores numéricos que são atribuídos aos resultados de um eperimento aleatório.

Leia mais

4. Distribuições de probabilidade e

4. Distribuições de probabilidade e 4. Distribuições de probabilidade e características Valor esperado de uma variável aleatória. Definição 4.1: Dada uma v.a. discreta (contínua) X com f.m.p. (f.d.p.) f X (), o valor esperado (ou valor médio

Leia mais

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa.

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis

Leia mais

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada Variável Aleatória Uma função X que associa a cada Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Modelos de distribuição Para utilizar a teoria

Leia mais

Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/famat/viali/ s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X X(s) R X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real X(s) é denominada

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017 VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados

Leia mais

PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS

PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS RINCIAIS MODELOS CONTÍNUOS 0 5.. Modelo uniforme Uma v.a. contínua tem distribuição uniforme com parâmetros α e β α β se sua função densidade de probabilidade é dada por, f β α 0, Notação: ~ Uα, β. 0,

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte II 26 de Novembro de 2013 Distribuição Contínua Uniforme Média e Variância Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz

Leia mais

Momentos: Esperança e Variância. Introdução

Momentos: Esperança e Variância. Introdução Momentos: Esperança e Variância. Introdução Em uma relação determinística pode-se ter a seguinte relação: " + " = 0 Assim, m =, é a declividade e a e b são parâmetros. Sabendo os valores dos parâmetros

Leia mais

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições Motivação: MOQ-2: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS VA s e Distribuições Definimos anteriormente Espaço de Probabilidades como sendo a tripla (W,, P(.)), em que, dado um eperimento, W representa

Leia mais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Introdução Considere o experimento: Lançamento de uma moeda. Resultados

Leia mais

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari denise@ita.br Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson

Leia mais

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008 Variável Aleatória Gilson Barbosa Dourado gdourado@uneb.br 6 de agosto de 2008 Denição de Variável Aleatória Considere um experimento E e seu espaço amostral Ω = {a 1, a 2,..., a n }. Variável aleatória

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas - Esperança e Variância

Variáveis Aleatórias Discretas - Esperança e Variância Exemplo Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um componente mecânico. Cada peça é composta de duas partes, A e B, cada uma com uma chance específica de ser defeituosa. Só é possível

Leia mais

Modelos básicos de distribuição de probabilidade

Modelos básicos de distribuição de probabilidade Capítulo 6 Modelos básicos de distribuição de probabilidade Muitas variáveis aleatórias, discretas e contínuas, podem ser descritas por modelos de probabilidade já conhecidos. Tais modelos permitem não

Leia mais

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1 Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo

Leia mais

Conceitos básicos: Variável Aleatória

Conceitos básicos: Variável Aleatória : Variável Aleatória Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma eperiência aleatória. Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas. Eemplo 1: Suponha que lança duas moedas

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade 7 6 5 4 3 2 1 0 Normal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Temperatura do ar 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Assimetrica Positiva 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Precipitação

Leia mais

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Lançam-se 3 moedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: W = {(c,c,c),(c,c,r),(c,r,c),(c,r,r),(r,c,c),(r,c,r),(r,r,c),(r,r,r)}

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte IV 2012/02 1 Distribuição Poisson Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Ententer suposições para cada uma das

Leia mais

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é

Leia mais

Introdução à probabilidade e estatística I

Introdução à probabilidade e estatística I Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos

Leia mais

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística Capítulo 3 Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística definições e propriedades: Propriedade 5: A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um evento pode mudar se soubermos

Leia mais

Modelos Probabiĺısticos Discretos

Modelos Probabiĺısticos Discretos Discretos Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 19 de Setembro de 2017 Material de Apoio e-mail: gilbertoliska@unipampa.edu.br Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de 2017 1 /

Leia mais

Introdução à Estatística e Probabilidade Turma B 5 a lista de exercícios (16/11/2015)

Introdução à Estatística e Probabilidade Turma B 5 a lista de exercícios (16/11/2015) ) Seja uma v.a. X.d.p. (x) = x se 0 x k. a) Encontre k para que (x) seja uma.d.p. b) Encontre sua.d.a. F(x). c) Calcule a média e a variância de X. Introdução à Estatística e Probabilidade Turma B 5 a

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

Distribuições Discretas: Hipergeométrica, Binomial e Poisson

Distribuições Discretas: Hipergeométrica, Binomial e Poisson CAP3: Distribuições Discretas e Contínuas Distribuições Discretas: Hipergeométrica, Binomial e Poisson Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a probabilidade

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte II 29 de Março de 2011 Distribuição Uniforme Discreta Média Propriedade da falta de memória Objetivos Ao final deste capítulo você

Leia mais

Estatística II Aula 2. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística II Aula 2. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística II Aula Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Distribuições Amostrais ... vocês lembram que: Antes de tudo... Estatística Parâmetro Amostra População E usamos estatíticas das amostras para

Leia mais

Cap. 8 - Variáveis Aleatórias

Cap. 8 - Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras ESQUEMA DO CAPÍTULO 8.1 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 8.2 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8.3 O PROCESSO DE POISSON

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Esperança e Variância Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar

Leia mais

CAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Todas as coisas aparecem e desaparecem por causa da concorrência de causas e condições. Nada nunca existe inteiramente só, tudo está em relação com todo

Leia mais

CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES

CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES. INTRODUÇÃO - Conceito de população desconhecida π e proporção da amostra observada P. π P + pequeno erro Perguntas: - Qual é o pequeno erro?

Leia mais

Universidade Federal do Ceará

Universidade Federal do Ceará Universidade Federal do Ceará Faculdade de Economia Vicente Lima Crisóstomo Fortaleza, 2011 1 Sumário Introdução Estatística Descritiva Probabilidade Distribuições de Probabilidades Amostragem e Distribuições

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades Itens 5. e 6. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 Variável aleatória Uma variável

Leia mais

6.3 Valor Médio de uma Variável Aleatória

6.3 Valor Médio de uma Variável Aleatória 6. 3 V A L O R M É D I O D E U M A V A R I Á V E L A L E A T Ó R I A 135 1. Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao

Leia mais

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

Experimento Aleatório

Experimento Aleatório Probabilidades 1 Experimento Aleatório Experimento aleatório (E) é o processo pelo qual uma observação é ob;da. Exemplos: ü E 1 : Jogar uma moeda 3 vezes e observar o número de caras ob;das; ü E 2 : Lançar

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Distribuições Teóricas de Probabilidade Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Em muitos

Leia mais

3. Variáveis aleatórias

3. Variáveis aleatórias 3. Variáveis aleatórias Numa eperiência aleatória, independentemente de o seu espaço de resultados ser epresso numericamente, há interesse em considerar-se funções reais em Ω, denominadas por variáveis

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

Modelos Lineares Distribuições de Probabilidades Distribuição Normal Teorema Central do Limite. Professora Ariane Ferreira

Modelos Lineares Distribuições de Probabilidades Distribuição Normal Teorema Central do Limite. Professora Ariane Ferreira Distribuições de Probabilidades Distribuição Normal Teorema Central do Limite Professora Ariane Ferreira Modelos Probabilísticos de v.a. continuas Distribuição de Probabilidades 2 IPRJ UERJ Ariane Ferreira

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte III 08 de Abril de 2014 Distribuição Binomial Negativa Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Ententer suposições

Leia mais

CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE PPGEP. Introdução. Introdução. Introdução UFRGS. Distribuições de Probabilidade

CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE PPGEP. Introdução. Introdução. Introdução UFRGS. Distribuições de Probabilidade Introdução CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE UFRGS O histograma é usado para apresentar dados amostrais etraídas de uma população. Por eemplo, os 50 valores de uma característica dimensional apresentados

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal 1 Distribuição de Probabilidades A distribuição

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 1 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações

Leia mais

Modelos discretos e contínuos

Modelos discretos e contínuos Modelos discretos e contínuos Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 1

Leia mais

Capítulo 5. Variáveis aleatórias. 5.1 Introdução

Capítulo 5. Variáveis aleatórias. 5.1 Introdução Capítulo 5 Variáveis aleatórias 5.1 Introdução Em experimentos aleatórios cujo espaço amostral contém alguns eventos de interesse é, em geral, mais fácil lidar como uma variável aleatória, isto é, é mais

Leia mais

PROBABILIDADES: VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO NORMAL

PROBABILIDADES: VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO NORMAL PROBABILIDADES: VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO NORMAL Aula 6 META Estudar o comportamento e aplicação das Variáveis Aleatórias Contínuas, bem como da Distribuição Normal. OBJETIVOS Ao final

Leia mais

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD)

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD) Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações podem ser descritas por uma variável

Leia mais

AULA 02 Distribuição de Probabilidade Normal

AULA 02 Distribuição de Probabilidade Normal 1 AULA 02 Distribuição de Probabilidade Normal Ernesto F. L. Amaral 20 de agosto de 2012 Faculdade de Filosofia e Ciências Humanas (FAFICH) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Fonte: Triola, Mario

Leia mais

12 Distribuições de Probabilidades

12 Distribuições de Probabilidades 12 Distribuições de Probabilidades 12.1 Introdução Neste capítulo vamos dar continuidade ao estudo de probabilidades, introduzindo os conceitos de variáveis aleatórias e de distribuições de probabilidade.

Leia mais

MB-210 Probabilidade e Estatística

MB-210 Probabilidade e Estatística Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013 Variáveis

Leia mais

Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno

Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Mauricio Fanno Estatística indutiva Estatística descritiva Dados no passado ou no presente e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis. Campo de trabalho:

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte I 2012/02 1 Variáveis Aleatórias Contínuas 2 Distribuições de Probabilidade e Funções Densidades de Probabil 3 4 Objetivos Ao final

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências Estatística Aplicada à Engenharia

Leia mais

PARTE 2. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini

PARTE 2. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini PARTE 2 Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini Conteúdo Introdução a Probabilidade Conceito de Experimento Conceito de Espaço Amostral Conceito de Variável Aleatória Principais Distribuições de Probabilidade

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável Aleatória

Leia mais

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 004 Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas APOIO: Fundação de Apoio

Leia mais

Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas

Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Professor Jorge Luiz A. Ferreira Função que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição de probabilidade

Leia mais

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 AULAS 6 e 7 ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 Em aulas passadas vimos as funções de probabilidade de variáveis discretas e contínuas agora vamos ver

Leia mais

Variável Aleatória Poisson. Número de erros de impressão em uma

Variável Aleatória Poisson. Número de erros de impressão em uma EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 7. Principais Variáveis Aleatórias Discretas Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Variável Aleatória Poisson Caraterização: Usa-se quando o experimento

Leia mais

Bioestatística F. Modelo Binomial. Enrico A. Colosimo

Bioestatística F. Modelo Binomial. Enrico A. Colosimo Bioestatística F Modelo Binomial Enrico A. Colosimo Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais http://www.est.ufmg.br/~enricoc 2011 1 / 1 Variável aleatória discreta Definição Uma

Leia mais

Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br www.ufjf.br/joaquim_neto Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF

Leia mais

Estatística. Capítulo 4: Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 4: Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 4: Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Capítulo 4 Baseado no Capítulo 4 do livro texto, Distribuições Teóricas de Probabilidades

Leia mais

AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade

AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade 1 AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade Ernesto F. L. Amaral 31 de agosto de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de Janeiro:

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas Distribuições de Probabilidade Variáveis aleatórias contínuas 1 Variáveis contínuas Uma variável aleatória contínua toma um nº infinito não numerável de valores (intervalos de números reais), os quais

Leia mais

Conteúdo Teórico: 04 Esperança

Conteúdo Teórico: 04 Esperança ACH2053 Introdução à Estatística Conteúdo Teórico: 04 Esperança Marcelo de Souza Lauretto Sistemas de Informação EACH www.each.usp.br/lauretto Referência: Morris DeGroot, Mark Schervish. Probability and

Leia mais

Fundamentos de Estatística

Fundamentos de Estatística Fundamentos de Estatística Clássica Workshop Análise de Incertezas e Validação Programa de Verão 2017 Marcio Borges 1 1LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA mrborges@lncc.br Petrópolis, 9 de Fevereiro

Leia mais

Stela Adami Vayego DEST/UFPR

Stela Adami Vayego DEST/UFPR Resumo 9 Modelos Probabilísticos Variável Contínua Vamos ver como criar um modelo probabilístico, o que é uma função densidade de probabilidade (fdp), e como calcular probabilidades no caso de variáveis

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES BERNOULLI E BINOMIAL

DISTRIBUIÇÕES BERNOULLI E BINOMIAL DISTRIBUIÇÕES BERNOULLI E BINOMIAL Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 26 de junho de 2017 Distribuição Bernoulli Nos experimentos

Leia mais

Probabilidade Revisão de Conceitos

Probabilidade Revisão de Conceitos Probabilidade Revisão de Conceitos Espaço de Amostras A totalidade dos possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo: jogar dados S = {(1,1),(1,),... (,1),(,)... (6,6)} S é dito o número de

Leia mais

Definição. Os valores assumidos pelos estimadores denomina-se estimativas pontuais ou simplesmente estimativas.

Definição. Os valores assumidos pelos estimadores denomina-se estimativas pontuais ou simplesmente estimativas. 1. Inferência Estatística Inferência Estatística é o uso da informção (ou experiência ou história) para a redução da incerteza sobre o objeto em estudo. A informação pode ou não ser proveniente de um experimento

Leia mais

Efeito. Causas. Determinístico. Sistema Real. Probabilístico. Experiência para o qual o. modelo probabilístico é adequado.

Efeito. Causas. Determinístico. Sistema Real. Probabilístico. Experiência para o qual o. modelo probabilístico é adequado. Sistema Real Determinístico Probabilístico Causas Efeito X Causas Efeito Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. ❶ Não é possível prever um resultado particular, mas pode-se enumerar

Leia mais

Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA V

Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA V Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA V Lista 6: Distribuições Contínuas. Distribuição Normal. 1. A distribuição dos pesos de coelhos

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis aleatórias contínuas: vamos considerar agora uma lista de quantidades as quais não é possível associar uma tabela de probabilidades pontuais ou frequências tempo de duração de uma chamada telefônica

Leia mais

PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Aula 7 11 e 12 abril MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocásticos

PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Aula 7 11 e 12 abril MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocásticos PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Aula 7 11 e 12 abril 2007 1 Distribuições Discretas 1. Distribuição Bernoulli 2. Distribuição Binomial 3. Distribuição Geométrica 4. Distribuição Pascal

Leia mais

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ ESTATÍSTICA II Nota de aula 1 Prof. MSc. Herivelto T Marcondes dos Santos Fevereiro /2009 1 Modelos de probabilidade 1.1 Variável aleatória Definição: Sejam ε um

Leia mais

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade de Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais