Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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Vasco Almada
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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 1 / 10

2 Distribuição de funções de vetores aleatórios Uma variável aleatória X é uma função definida a partir do espaço amostral Ω para os números reais. Ao definir uma variável aleatória bidimensional (X, Y) estamos interessados em um par de funções, X = X(ω), Y = Y(ω), que associa um número real a todo ω Ω, fornecendo o vetor bidimensional [X(ω),Y(ω)]. Considere Z = h(x,y) uma função das variáveis aleatórias X e Y. O valor de Z depende de ω, o resultado original do experimento. Ou seja, Z = Z(ω) é uma função que associa um número real Z(ω) a todo resultado ω Ω. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 2 / 10

3 Distribuição de funções de vetores aleatórios É evidente que Z é uma variável aleatória. Algumas importantes variáveis aleatórias que podemos ter interesse, são: X + Y, X Y, XY, X/Y, mín(x,y) e máx(x,y). RESUMINDO (i) Executar o experimento e obter o resultado ω. (ii) Calcular os números X(ω) e Y(ω). (iii) Calcular o número Z = g[x(ω),y(ω)]. O problema que resolvemos anteriormente para as variáveis unidimensionais, surge novamente: dada a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y), qual é a distribuição de probabilidade de Z = g(x,y)? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 3 / 10

4 CASO DISCRETO Um método muito conveniente para o caso discreto, consiste em realizar operações algébricas simples aplicando a definição da transformação diretamente na função de distribuição ou de probabilidade. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade conjunta p(x,y) e seja Z = g(x,y). A variável Z também será discreta com valores no contra-domínio da função g. Sua função de probabilidade é dada por: Função de Probabilidade p Z (z) = P(Z = z) = P(g(X,Y) = z) = (x,y) A z p(x,y), em que A z = (x,y) : g(x,y) = z. Ou seja, para cada z fixo, a soma se dá em todos os pares (x,y) cuja aplicação da função g resulta no valor z. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 4 / 10

5 CASO DISCRETO EXEMPLO 1 Duas linhas de produção fabricam um certo tipo de peça. Suponha que em qualquer dia a capacidade seja 5 peças na linha I e 3 peças na linha II. Seja (X,Y) a variável aleatória bidimensional que fornece o número de peças produzidas pela linha I e II, respectivamente. As seguintes variáveis aleatórias poderão interessar à questão: U = min(x,y) = menor número de peças produzidas pelas duas linhas; V = max(x,y) = maior número de peças produzidas pelas duas linhas; W = X + Y = número total de produzidas pelas duas linhas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 5 / 10

6 CASO DISCRETO EXEMPLO 2: A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada na tabela abaixo X/Y /4 1/8 1/8 1 1/4 0 1/4 Obtenha as distribuições de probabilidade das seguintes variáveis: a) X + Y. b) X Y. a) XY. a) min(x,y). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 6 / 10

7 CASO DISCRETO EXEMPLO 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 7 / 10

8 CASO DISCRETO EXEMPLO 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 8 / 10

9 CASO CONTÍNUO Se (X,Y) for uma variável aleatória bidimensional contínua e se Z = g(x,y) for uma função contínua de (X,Y), então Z será uma variável aleatória contínua unidimensional. A função Z = g(x,y) é uma variável aleatória definida no mesmo espaço amostral. A partir do conhecimento da função de distribuição de (X,Y) ou da função de densidade será possível obter a distribuição de g(x,y). Vamos determinar a função de distribuição de Z, que denotaremos por F Z (z). Para um z fixo, o evento {Z z} é equivalente ao evento {(X,Y) A z }. Em que A z é o subconjunto de 2 definido por A z = {(x,y) : g(x,y) z}. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 9 / 10

10 CASO CONTÍNUO Vamos determinar a função de distribuição de Z. Função de distribuição F Z (z) = P(Z z) = P(g(X,Y) z) = P((X,Y) A z ) = f(x,y)dxdy A z Se pudermos obter uma função não-negativa g tal que f(x,y)dxdy = A z então g será uma densidade de Z. z g(u)du, < z < Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 10 / 10

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