Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba"

Transcrição

1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 1 / 10

2 Distribuição de funções de vetores aleatórios Uma variável aleatória X é uma função definida a partir do espaço amostral Ω para os números reais. Ao definir uma variável aleatória bidimensional (X, Y) estamos interessados em um par de funções, X = X(ω), Y = Y(ω), que associa um número real a todo ω Ω, fornecendo o vetor bidimensional [X(ω),Y(ω)]. Considere Z = h(x,y) uma função das variáveis aleatórias X e Y. O valor de Z depende de ω, o resultado original do experimento. Ou seja, Z = Z(ω) é uma função que associa um número real Z(ω) a todo resultado ω Ω. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 2 / 10

3 Distribuição de funções de vetores aleatórios É evidente que Z é uma variável aleatória. Algumas importantes variáveis aleatórias que podemos ter interesse, são: X + Y, X Y, XY, X/Y, mín(x,y) e máx(x,y). RESUMINDO (i) Executar o experimento e obter o resultado ω. (ii) Calcular os números X(ω) e Y(ω). (iii) Calcular o número Z = g[x(ω),y(ω)]. O problema que resolvemos anteriormente para as variáveis unidimensionais, surge novamente: dada a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y), qual é a distribuição de probabilidade de Z = g(x,y)? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 3 / 10

4 CASO DISCRETO Um método muito conveniente para o caso discreto, consiste em realizar operações algébricas simples aplicando a definição da transformação diretamente na função de distribuição ou de probabilidade. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade conjunta p(x,y) e seja Z = g(x,y). A variável Z também será discreta com valores no contra-domínio da função g. Sua função de probabilidade é dada por: Função de Probabilidade p Z (z) = P(Z = z) = P(g(X,Y) = z) = (x,y) A z p(x,y), em que A z = (x,y) : g(x,y) = z. Ou seja, para cada z fixo, a soma se dá em todos os pares (x,y) cuja aplicação da função g resulta no valor z. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 4 / 10

5 CASO DISCRETO EXEMPLO 1 Duas linhas de produção fabricam um certo tipo de peça. Suponha que em qualquer dia a capacidade seja 5 peças na linha I e 3 peças na linha II. Seja (X,Y) a variável aleatória bidimensional que fornece o número de peças produzidas pela linha I e II, respectivamente. As seguintes variáveis aleatórias poderão interessar à questão: U = min(x,y) = menor número de peças produzidas pelas duas linhas; V = max(x,y) = maior número de peças produzidas pelas duas linhas; W = X + Y = número total de produzidas pelas duas linhas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 5 / 10

6 CASO DISCRETO EXEMPLO 2: A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada na tabela abaixo X/Y /4 1/8 1/8 1 1/4 0 1/4 Obtenha as distribuições de probabilidade das seguintes variáveis: a) X + Y. b) X Y. a) XY. a) min(x,y). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 6 / 10

7 CASO DISCRETO EXEMPLO 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 7 / 10

8 CASO DISCRETO EXEMPLO 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 8 / 10

9 CASO CONTÍNUO Se (X,Y) for uma variável aleatória bidimensional contínua e se Z = g(x,y) for uma função contínua de (X,Y), então Z será uma variável aleatória contínua unidimensional. A função Z = g(x,y) é uma variável aleatória definida no mesmo espaço amostral. A partir do conhecimento da função de distribuição de (X,Y) ou da função de densidade será possível obter a distribuição de g(x,y). Vamos determinar a função de distribuição de Z, que denotaremos por F Z (z). Para um z fixo, o evento {Z z} é equivalente ao evento {(X,Y) A z }. Em que A z é o subconjunto de 2 definido por A z = {(x,y) : g(x,y) z}. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 9 / 10

10 CASO CONTÍNUO Vamos determinar a função de distribuição de Z. Função de distribuição F Z (z) = P(Z z) = P(g(X,Y) z) = P((X,Y) A z ) = f(x,y)dxdy A z Se pudermos obter uma função não-negativa g tal que f(x,y)dxdy = A z então g será uma densidade de Z. z g(u)du, < z < Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 10 / 10

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Condicionais 11/13 1 / 19 Em estudo feito em sala perguntamos aos alunos qual

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Bidimensionais 11/13 1 / 1 Variáveis Bidimensionais Até o momento, consideramos

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 1 / 1 Seja Y uma função de uma variável aleatória X. EXEMPLOS: Obter o

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25 Função de Distribuição Definição 8.1:(Função de Distribuição)

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 10/13 1 / 11 Seja Y uma função de uma variável aleatória X. EXEMPLOS: Obter o

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 1 / 21 Covariância Quando duas variáveis aleatórias

Leia mais

AULA 9 - Variável aleatória bidimensional discreta

AULA 9 - Variável aleatória bidimensional discreta AULA 9 - Variável aleatória bidimensional discreta Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Variáveis aleatórias bidimensionais Definition Sejam ɛ um experimento e S um espaço amostral

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23 I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23 Probabilidade As definições de probabilidade apresentadas anteriormente podem

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 1 / 25 VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26 Vimos que a função geradora de momentos é uma ferramenta

Leia mais

AULA 8 - Funções de variáveis aleatórias

AULA 8 - Funções de variáveis aleatórias AULA 8 - Funções de variáveis aleatórias Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Funções de variáveis aleatórias Dada uma variável aleatória X, nós podemos gerar outras variáveis aleatórias

Leia mais

Probabilidade Aula 11

Probabilidade Aula 11 0303200 Probabilidade Aula 11 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Junho de 2017 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 1 / 1 A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequêntemente

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19 Calculamos algumas características da

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 1 / 19

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 1 / 19 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 1 / 19 Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório,

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 1 / 1 A distribuição t de Student é uma das distribuições

Leia mais

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA. Tiago Teles de Abreu Tarré

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA. Tiago Teles de Abreu Tarré Tiago Teles de Abreu Tarré 1 Variáveis Aleatórias É uma função que a cada acontecimento ω do espaço de resultados, faz corresponder um valor real, x = X (). Ω IR ω 1 x = X(ω 1 ) Variáveis Aleatórias Exemplo

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20 Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 2 / 20 Probabilidade

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 2 / 25 Para apresentar os conceitos

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 1 / 31 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14

Leia mais

1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades

1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades 1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades 1.1 Definição Frequentista Considere um experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado honesto. O espaço amostral desse experimento é Ω = {1, 2, 3,

Leia mais

3. Variáveis aleatórias

3. Variáveis aleatórias 3. Variáveis aleatórias Numa eperiência aleatória, independentemente de o seu espaço de resultados ser epresso numericamente, há interesse em considerar-se funções reais em Ω, denominadas por variáveis

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 1 / 41 LEMBRANDO: Variável Aleatória Contínua Assume

Leia mais

Probabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período

Probabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período Probabilidade IV Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2014.2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período 2014.2 1 / 20 Sumário 1 Apresentação

Leia mais

MB-210 Probabilidade e Estatística

MB-210 Probabilidade e Estatística Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013 Variáveis

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Distribuição Geométrica Considere novamente uma sequência

Leia mais

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 2 / 35 Prof. Tarciana Liberal (UFPB)

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento ω do espaço amostral Ω um valor x R é denominada uma variável aleatória. A variável aleatória pode

Leia mais

Estatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral

Estatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral Estatística Aplicada II } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral 1 Aula de hoje } Tópicos } Revisão: } Distribuição de probabilidade } Variáveis aleatórias } Distribuição normal } Propriedades

Leia mais

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2018/2

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2018/2 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2018/2 Aula #03 de Probabilidade: 19/10/2018 1 Variáveis Aleatórias Considere um experimento cujo espaço amostral é Ω. Ω contém todos os resultados possíveis: e

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017 VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados

Leia mais

Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina

Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 21 de maio de 2018 Londrina 1 / 14 Variável aleatória Introdução Definição Uma função que associa um número real

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser

Leia mais

SME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades

SME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades SME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades Pablo Martin Rodriguez SME ICMC USP Bacharelado em Estatística 20 Mar 2017 Vetores aleatórios Definição Sejam X 1,

Leia mais

Cap. 4 - Probabilidade

Cap. 4 - Probabilidade Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa

Leia mais

AULA 10 - Variável aleatória bidimensional contínua

AULA 10 - Variável aleatória bidimensional contínua AULA 10 - Variável aleatória bidimensional contínua Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Variável aleatória contínua bidimensional (X, Y ) será uma variável aleatória contínua bidimensional

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 1 / 1 Definição 14.1: Uma variável aleatória contínua X tem

Leia mais

Momentos: Esperança e Variância. Introdução

Momentos: Esperança e Variância. Introdução Momentos: Esperança e Variância. Introdução Em uma relação determinística pode-se ter a seguinte relação: " + " = 0 Assim, m =, é a declividade e a e b são parâmetros. Sabendo os valores dos parâmetros

Leia mais

Fundamentos de Estatística

Fundamentos de Estatística Fundamentos de Estatística Clássica Workshop Análise de Incertezas e Validação Programa de Verão 2017 Marcio Borges 1 1LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA mrborges@lncc.br Petrópolis, 9 de Fevereiro

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 26 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 5 1 Variáveis aleatórias Definição

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS. Assim, o espaço amostral é um conjunto com 8 elementos dado por

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS. Assim, o espaço amostral é um conjunto com 8 elementos dado por VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Definição.: Dado um espaço de probabilidade (Ω, F, P ), uma variável aleatória X é uma função real definida no espaço Ω, e que toma valores em R tal que o conjunto {ω Ω : [X(ω) x]}

Leia mais

CAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Todas as coisas aparecem e desaparecem por causa da concorrência de causas e condições. Nada nunca existe inteiramente só, tudo está em relação com todo

Leia mais

Variável Aleatória Contínua:

Variável Aleatória Contínua: Distribuição Contínua Normal Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística UFPB x x Variável Aleatória Contínua: Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente,

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Lei dos Grandes Números e Teorema Central do Limite 02/14 1 / 9 Lei dos Grandes Números Lei

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 1 / 1 Esperança Definição 2.1:(Valor Esperado

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Plano de Curso Probabilidade e Estatística UAEst/CCT/UFCG Ementa Fenômeno aleatório versus fenômeno determinístico. Espaço amostral e eventos. Introdução à teoria das probabilidades. Abordagem axiomática

Leia mais

Distribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais. Aula 9

Distribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais. Aula 9 Distribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais Aula 9 Variáveis Aleatórias Discretas Variável aleatória discreta função definida em um espaço

Leia mais

DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação Essa variabilidade

Leia mais

Motivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB. Em muitas situações precisamos

Motivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB. Em muitas situações precisamos Motivação Em muitas situações precisamos Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br lidar com duas ou mais variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Por exemplo o comprimento e a largura de uma determinada peça.

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 13

Sumário. 2 Índice Remissivo 13 i Sumário 1 Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições 1 1.1 Variáveis Aleatórias Discretas............................. 2 1.2 Variáveis Aleatórias Contínuas............................. 4 1.3 Função de

Leia mais

Aula de hoje Aula passada

Aula de hoje Aula passada Aula 2 Aula passada Logística, programação, regras do jogo Três problemas Monte Carlo to the rescue História das origens Monte Carlo na Computação Aula de hoje Espaço amostral Probabilidade Eventos Independência

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20 Alguns Conceitos Básicos de Contagem As ideias de contagem se relacionam com

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Distribuição Normal Motivação: Distribuição

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado

Leia mais

Bioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli

Bioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli Universidade Estadual de Maringá Mestrado Acadêmico em Bioestatística Bioestatística Isolde Previdelli itsprevidelli@uem.br isoldeprevidelli@gmail.com AULA 6 - Variáveis aleatórias 30 de Março de 2017

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 1 / 49 Conceitos Fundamentais Prof. Tarciana Liberal

Leia mais

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Lançam-se 3 moedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: W = {(c,c,c),(c,c,r),(c,r,c),(c,r,r),(r,c,c),(r,c,r),(r,r,c),(r,r,r)}

Leia mais

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias Aula de hoje! Tópicos! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias! Variáveis discretas! Variáveis contínuas! Distribuição binomial! Distribuição normal! Referências! Barrow, M. Estatística para

Leia mais

Motivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB

Motivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB Motivação Em muitas situações precisamos lidar com duas ou mais variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Por exemplo o comprimento e a largura de uma Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufgrs.br http://www.mat.ufrgsbr/~viali/

Leia mais

Distribuições amostrais

Distribuições amostrais Distribuições amostrais Tatiene Correia de Souza / UFPB tatiene@de.ufpb.br October 14, 2014 Souza () Distribuições amostrais October 14, 2014 1 / 23 Distribuição Amostral Objetivo Estender a noção de uma

Leia mais

Lista de Exercícios 4

Lista de Exercícios 4 Introdução à Teoria de Probabilidade. Informática Biomédica. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 30 de maio de 2007. Lista de Exercícios 4 são difíceis, são bem mais difíceis.

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de Bernoulli e Binomial 07/14 1 / 32 Distribuições Discretas Apresentaremos agora

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis

Leia mais

Probabilidade Aula 04

Probabilidade Aula 04 0303200 Probabilidade Aula 04 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia

Leia mais

Probabilidade. 1 Variável Aleatória 2 Variável Aleatória Discreta 3 Variável Aleatória Contínua. Renata Souza

Probabilidade. 1 Variável Aleatória 2 Variável Aleatória Discreta 3 Variável Aleatória Contínua. Renata Souza Probabilidade 1 Variável Aleatória 2 Variável Aleatória Discreta 3 Variável Aleatória Contínua Renata Souza Introdução E: Lançamento de duas moedas Ω = {(c,c), (c,k), (k,k), (k,c)}. X: número de caras

Leia mais

1 Definição Clássica de Probabilidade

1 Definição Clássica de Probabilidade Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : Ω A, em que A R. Esquematicamente As variáveis aleatórias

Leia mais

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017 Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Em muitos

Leia mais

Notas de Aula. tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p XY

Notas de Aula. tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p XY UNIVERSIDDE FEDERL D BHI INSTITUTO DE MTEMÁTIC DEPRTMENTO DE ESTTÍSTIC v. demar de Barros s/n - Campus de Ondina 40170-110 - Salvador B Tel:(071)247-405 Fax 245-764 Mat 224 - Probabilidade II - 2002.2

Leia mais

AULA 4 -Probabilidade Condicional e Regra de Bayes

AULA 4 -Probabilidade Condicional e Regra de Bayes AULA 4 - e Regra de Bayes Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ : exemplos A soma dos resultados de dois lançamentos de um dado é 9. Qual a probabilidade do primeiro resultado ter

Leia mais

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2017/2

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2017/2 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2017/2 Aula #03 de Probabilidade: 04/10/2017 1 Variáveis Aleatórias Considere um experimento cujo espaço amostral é Ω. Ω contém todos os resultados possíveis: e

Leia mais

Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade

Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade Introdução a Teoria da Probabilidade Prof. Magnos Martinello Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Departamento de Informática - DI 5 de dezembro de

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufgrs.br http://www.mat.ufrgsbr/~viali/ Motivação Em muitas situações precisamos lidar com duas ou mais variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Por exemplo o comprimento e

Leia mais

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Para que serve a inferência estatística? Método dos Momentos Maximum Likehood Estimator (MLE) Teste de hipótese: definições Aula de hoje Teste

Leia mais

Estatística I Aula 6. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística I Aula 6. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. statística I Aula 6 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. VARIÁVIS ALATÓRIAS Variáveis Aleatórias xaminemos as seguintes situações: Um estudante que fez um teste do tipo verdadeiro ou falso está interessado

Leia mais

Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19

Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19 Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19 Aula passada Intro a simulação Gerando números pseudo-aleatórios Aula de hoje Lei dos grandes números Calculando integrais Gerando outras distribuições

Leia mais

Exemplo : Escolhendo as respostas ao acaso em prova de múltipla escolha Calculemos a probabilidade de Cesar ser bem sucedido em sua prova de Matemátic

Exemplo : Escolhendo as respostas ao acaso em prova de múltipla escolha Calculemos a probabilidade de Cesar ser bem sucedido em sua prova de Matemátic Exemplo : Escolhendo as respostas ao acaso em prova de múltipla escolha Calculemos a probabilidade de Cesar ser bem sucedido em sua prova de Matemática. Para cada questão representemos por A o fato de

Leia mais

Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade

Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade Roberto Imbuzeiro Oliveira 9 de Março de 2009 Resumo Esta lista cobre o básico do básico sobre espaços e distribuições de probabilidade. Pouco

Leia mais

1 Noções de Probabilidade

1 Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos utilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e necessária

Leia mais

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω.

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω. PROBABILIDADE 1.0 Conceitos Gerais No caso em que os possíveis resultados de um experimento aleatório podem ser listados (caso discreto), um modelo probabilístico pode ser entendido como a listagem desses

Leia mais

Departamento de InformáAca - PUC- Rio. Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio. Probabilidade

Departamento de InformáAca - PUC- Rio. Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio. Probabilidade Introdução à Simulação Estocás5ca usando R INF2035 PUC- Rio, 2013.1 Departamento de InformáAca - PUC- Rio Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio Experimentos aleatórios: no estudo de probabilidade,

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.

Leia mais

Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos

Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos Probabilidades e Estatística 2004/05 Colectânea de Exercícios LEIC, LERCI, LEE Capítulo 5 Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos 02 x = 0 065 x = 1 Exercício 51 (a) P(X = x) = 015 x =

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B.

a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B. Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE. Um time de basquete irá jogar uma temporada de 44 jogos. desses jogos serão disputados contra times da classe A e os 8 restantes contra

Leia mais

UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO

UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO 0 Os exercícios 0 8 trazem um espaço vetorial V e um seu subconjunto W Sempre que W for um subespaço

Leia mais

5 a Lista de PE Solução

5 a Lista de PE Solução Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE Solução. Sejam X A e X B o números de jogos que o time ganha contra times da classe A e da classe B respectivamente. Claramente X A

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variância 07/14 1 / 14

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variância 07/14 1 / 14 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 1 / 14 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 2 / 14 Prof. Tarciana Liberal (UFPB)

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 1 / 48 É provável que você

Leia mais

Distribuição de Probabilidade Conjunta

Distribuição de Probabilidade Conjunta . DISTRIBUIÇÃO DE ROBABILIDADE CONJUNTA O nosso estudo de variável aleatória e de suas funções de probabilidade até agora se restringiram a espaços amostrais unidimensionais nos quais os valores observados

Leia mais

Estatística Descritiva e Exploratória

Estatística Descritiva e Exploratória Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 9 de Maio de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Váriaveis Aleatórias Discretas 2 Variáveis bidimensionais 3 Váriaveis Aleatórias Continuas Introdução

Leia mais

Introdução à probabilidade e estatística I

Introdução à probabilidade e estatística I Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos

Leia mais