VARIÁVEIS ALEATÓRIAS. Assim, o espaço amostral é um conjunto com 8 elementos dado por

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1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Definição.: Dado um espaço de probabilidade (Ω, F, P ), uma variável aleatória X é uma função real definida no espaço Ω, e que toma valores em R tal que o conjunto {ω Ω : [X(ω) x]} (ou simplesmente [X x]), é um evento evento aleatório para todo x R, isto é, X : Ω R é uma variável aleatória, se [X x] F x R A variável aleatória X é uma função que associa um número real X(ω) a cada resultado ω no espaço amostral de um experimento aleatório. Para muitos é estranho utilizar o termo variável para designar uma função. Neste contexto a palavra variável é utilizada para enfatizar que se trata de uma quantidade cujo valor depende de cada ponto do espaço amostral. É aleatória porque o seu valor depende de um ponto ao acaso do espaço amostral. Exemplo.: Considere um experimento no qual um estudante é submetido a três questões de múltipla escolha. Considerando que cada questão o estudante pode acertar (C) ou errar (E), todos os resultados possíveis podem ser obtidos pela arvore abaixo. Assim, o espaço amostral é um conjunto com 8 elementos dado por Ω = {CCC, CCE, CEC, CEE, ECC, ECE, EEC, EEE} Seja X o numero de acertos temos que o ocorrência no espaço amostral pode ser: { CCC Ω =, CCE, CEC, CEE, ECC, ECE, EEC, EEE } 0

2 Variáveis Aleatórias Assim, a cada resultado elementar asssociamos um valor numérico, que corresponde ao número de acertos, e temos que X(ω) = {0,,, } Exemplo.: Considere um experimento em que um atirador que dispara um tiro para um alvo circular com metro de raio. Vamos admitir que o atirador é bem experiente para que o tiro nunca saia fora do alvo, de modo que o espaço amostral Ω, será constituído por todos os pontos do alvo. Seja X a distância entre o ponto e o centro do alvo. Ω = {(x, y) x + y } e X(ω) = (x + y ) Assim definimos uma função que associa a cada ponto do alvo, enquanto lugar geométrico, a sua distância ao centro, que é um valor numérico. Definição. (Função de Distribuição): A função de distribuição de uma variável aleatória X, representada por F X, ou simplesmente F, é definida por: F X (x) = P (X (, x]) = P (X x) A função de distribuição de X é frequentemente chamada de função de distribuição acumulada (fdc) de X. A fdc é simplesmente uma maneira conveniente de especificar a probabilidade de todos os intervalos semi-infinitos da reta real, e seus complementos, uniões e interseções O conhecimento da função de distribuição acumulada é suficiente para entendermos o comportamento de uma variável aleatória. Mesmo que a variável assuma valores apenas num subconjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda a reta. Ela é chamada de função de distribuição acumulada pois acumula as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x. Proposição.: Uma função de distribuição de uma variável X em (Ω, F, P ) obedece às seguintes propriedades: Se x x então F (x ) F (x ); isto é, F é não-decrescente. F é contínua a direita lim x F = 0 e lim x F = Tendo em mente que F (x) = P (X x), podemos observar que:. P (X > a) = P (X a) = F (a). P (a < X b) = P (X b) P (X a) = F (b) F (a). P (X = a) = P (X a) P (X < a) = F (a) F (a ). Ou seja, P (X = a) é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.

3 Variáveis Aleatórias Figura.: representação gráfica da função de distribuição acumulada Exemplo.: Seja F (x) a função 0 se x < 0 F (x) = x se 0 x se x > Mostre que F é de fato uma função de distribuição : F (x) é não decrescente para todo x real, assim vale a primeira propriedade. F (x) é contínua nos reais, e assim temos a continuidade a direita. E os limites de F (x) são 0 e. Logo as três propriedades são satisfeitas. Calcule P ( ( X > 8), P < X ( 8 ) e P X X > ) 8 Vamos obter: ) Assim ( P X > ) 8 ( P 8 < X ) ( P X X > ) 8 F ( ) = 8 8 F ( = ( ) = F = 8 8 = 7 8 ( ) ( ) = F F = 8 8 = 40 = P ( X X > ) 8 P (X > ) = P ( < X 8 ) P (X > ) = =

4 Variáveis Aleatórias 4 As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas, conforme esquema a seguir. Discreta Os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito e enumerável Variável Aleatória Contínua Os possíveis resultados abragem todo um intervalo de número reais Exemplo.4: As variáveis aleatórias abaixo são exemplo de variáveis discretas: Lança-se uma moeda 0 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0,,...0. Em uma pesquisa de mercado feita com 00 pessoas, perguntam-se estes compram um determinado produto. O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 00. Conta-se o número de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O número de acidentes em questão pode ser: 0,,... Como não temos um valor que limite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo. Exemplo.: As variáveis aleatórias abaixo são exemplo de variáveis continuas: Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado é um número real. Aqui também sabemos que esse número não passa de metros, mas é conveniente considerar qualquer numero real positivo. Em um exame físico para selecionar um jogador de futebol é medido o peso de cada candidato; aqui também consideramos que o resultado pode ser qualquer número real positivo. Em campanhas preventivas de hipertensão arterial é comum de tempos em tempos medirse o nível de colesterol. O valor de cada medida pode ser um número real não negativo. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude é medir-se a temperatura; o valor da temperatura é um número real que se pode considerar compreendido entre o e 4 o C. Retira-se uma lâmpada da linha de produção e coloca-se a mesma em um soquete acendendoa; observa-se a mesma até que se queime. O tempo de duração da lâmpada é um numero real não negativo.

5 Variáveis Aleatórias. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Definição.: A variável aleatória X é discreta se tem um número finito ou enumerável de valores, isto é, se existe um conjunto finito ou enumerável {x, x, x,...} R tal que X(ω) {x, x, x,...} ω Ω. Definição.4: Se X for uma variável aleatória discreta, com possíveis valores {x, x, x,...}, então sua Função de probabilidade é a função que associa a cada valor possível xi a sua probabilidade de ocorrência p(xi ), ou seja: p(xi ) = P (X = xi ), i =,,,... Uma função de probabilidade deve satisfazer: p(xi ) 0, i =,,,... X p(xi ) = i= Se X é discreta, ao conjunto (xi, p(xi ), i =,,,..) damos o nome de distribuição de [ probabilidade, e temos que[x x] = [X = xi ], assim: i:xi x X F (x) = P [X x] = P (X = xi ) = i:xi x X P (xi ) i:xi x Exemplo.6: Lançam-se dados. Seja X a soma das faces, determinar a distribuição de probabilidade de X. X P (X) Figura.: representação gráfica da distribuição de probabilidade e da função de distribuição acumulada de X

6 Variáveis Aleatórias 6. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Definição.: A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de distribuição F (x) é contínua. Isto é, se existe uma função f, tal que para todo x R F (x) = x f(u)du Definição.6: Se X é uma variável aleatória contínua, uma função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes propriedades: a) f(x) 0 x R b) f(x)dx = Uma primeira observação importante que resulta da interpretação geométrica de probabilidade como área sob a curva de densidade de probabilidade é a seguinte: se X é uma variável aleatória contínua, então a probabilidade do eventop (X = a é zero, ou seja, a probabilidade de X ser exatamente igual a um valor específico é nula. Assim, uma função f sendo uma fdp, não representa a probabilidade de coisa alguma. Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade. Como consequência, temos as seguintes igualdades: P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b) = b a f(x)dx Exemplo.7: O tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questão de um teste é uma variável aleatória contínua com função dada por f(x) = { x 4 para x 0 para outros valores Pela notação verifica-se que o estudante gasta um tempo entre e minutos. Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade:. f(x) 0 x R. R Para x < f(x) = 0 Para x f(x) > 0 Para x > f(x) = 0 f(x)dx = f(x)dx = x 4 dx = x 4 dx = 4 xdx = 4 ] x = ( ) 4 = ( 9 4 ) = 8 4 =

7 Variáveis Aleatórias 7 Qual a probabilidade do aluno responder uma questão entre e minutos? x P ( < x < ) = 4 dx = xdx = 4 4 = 4 = = 0, 6 8 ] x = ( ) 4 = ( ) Exemplo.8: Determinar valores de c para que a função f(x) abaixo: f(x) = c( x) para 0 x < c+ para x 0 para outros valores Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade. Verificar as duas condições. f(x) 0 x R,. Para x < temos f(x) 0 se c 0 Para x temos f(x) 0 se c + > 0 c > Assim, f(x) é não negativa se c > f(x)dx = R f(x)dx = = = = 0 0 0dx + c( x) dx + c( x) ] = 7c 4 + (c + ) = 7c + 7c + 4c c( x) dx + + x c + c + dx ] = 7c(c + ) + 4(c + ) c + dx + 0dx O que resulta em 7c 7c = 0 c = 4 7 c = versa. Como c > então a solução negativa é descartada e logo c = Teorema.: Se X é uma variável aleatória contínua, então F por ser obtida de f e vice

8 Variáveis Aleatórias 8 Exemplo.9: Seja X uma variável aleatória representando o tempo de conservação ao telefone. Supondo que a função de distribuição é dada por F (x) = ( e λx )I [0, ), com λ > 0. Determine a função de densidade de probabilidade correspondente. f(x) = df (x) dx = λe λx I [0, ) Exemplo.0: Ache a constante k para que a seguinte função seja uma função de densidade de probabilidade. E determine a função de distribuição. Fazendo R f(x)dx = R kx I [ k,k] dx = k f(x) = kx I [ k,k] (x) k Assim, igualando o resultado a, temos Logo Assim, a função de distribuição é F (x) = x 4 ] k kx dx = k x = k k (k + k ) = k4 k 4 = k = 4 f(x) = 4 x I [ 4, 4 ] (x) 4 u du = 4 ] u x 4 = 4 ( x (, ) 4 ) Desta forma F (x) = 4 ( x (, ) 4 ) I [ 4, 4 ] (x) + I ( 4, )(x). EXERCÍCIOS.. Teóricos.) Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f(x) e função de distribuição F (x). Para um número fixo x 0, defina a função g(x) = { f(x) F (x 0 x x 0 0 x < x 0

9 Variáveis Aleatórias 9 Mostre que g(x) é uma fdp..) Seja f(x) e g(x) funções de densidade de probabilidade, mostre que h(x) = θf(x) + ( θ)g(x) é também uma f.d.p..) Seja f(x) = I [θ,θ+](x) a) Mostre que para qualquer valor de θ, f(x) define uma função de densidade de probabilidade b) Obtenha a função de distribuição.4) Mostre que as seguintes funções são funções de densidade de probabilidade a) f(x) = e x I (0, ) (x) b) g(x) = e x I (0, ) (x) c) h(x) = (θ + )f(x) θg(x) d) h(x) = θ f(x) θ g(x), se θ + θ =.) Determine os valores de a e b, para a função F (x) seja a função de distribuição. F (x) = a b para x < 0 ax para 0 x < (a + b)(x ) para x < para x.6) Verique se as funções abaixo podem ser consideradas fpd s. Se sim encontre o valor da constante a e a função de distribuição. f(x) = acosxi (0,π) g(x) = asenxi (0,π).7) Suponha que o gráfico da figura seguinte representa a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X a) Qual a relação entre a e b?

10 Variáveis Aleatórias 0 b) Se b > 0, determine o valor de b quando a = e calcule, com estes valores, a função de distribuição da variável aleatória X... Práticos.) A variável X tem a função de distribuição dada por: 0 para x < para x < F (x) = para 4 x < para x a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de densidade ou de probabilidade, conforme o caso. b) Represente graficamente F (x) c) Determine P (X 0) e P (X > 0).) A variável X tem a função de distribuição dada por: F (x) = 0 para x < x+ 0 para x < 0 x+ 0 0 para 0 x < para x a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de densidade ou de probabilidade, conforme o caso. b) Represente graficamente F (x) c) Determine P (X 0) e P (X > 0) c) Determine P (X x > 0).) Seja a função f(x) abaixo: f(x) = k(x + )I (,) (x) a) Determine o valor de k para que a função seja uma fdp b) Encontre a distribuição acumulada e o calcule P (X ), P (X ), P (0 < X <, ), P (X > ) c) Determine P (X 0) e P (X > 0) c) Determine P (X x > 0)

11 Variáveis Aleatórias.4) Seja X a temperatura (em o C) de reação de um certo processo químico, com fdp dada por: { 0, x para 0 x f(x) = 0 caso contrário Calcule as probabilidade a seguir: a) P (X ) b) P (0, X, ) c) P (X >, ).) Considere a seguinte função de densidade de probabilidade f(x) = kxi(x) [0,) + k(4 x)i(x) [,4] Calcule as probabilidade a seguir: a) Determine o valor de k para que f(x) seja uma fpd. b) Encontre a função de distribuição de X.6) Considere a seguinte função: para 0 < x < f(x) = x k para < x < 0 para outros valores a) Determine o valor de k de forma que esta função seja uma função de densidade de probabilidade de X b) Encontre a função de distribuição de X c) Calcule P (X > ) e P (X > < X < ).7) Considere a função de densidade de probabilidade definida por: f(x) = k(x )I (,b) (x) Determine o valor de k de modo que P ( < X < 4) = / e depois determine o valor apropriado para a constante b