Sumário. 2 Índice Remissivo 13

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2 Sumário 1 Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contínuas Função de Distribuição Acumulada Variáveis Aleatórias Mistas Funções de Variáveis Aleatórias Índice Remissivo 13 ii

3 Capítulo 1 Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições Imaginemos que existe a definição de que a temperatura de João Pessoa é considerada quente se é maior do que 27 graus Celsius, é considerada confortável se está entre 20 e 27 graus Celsius, e é considerada fria se é menor do que 20 graus Celsius. Suponha que nosso espaço amostral para o experimento medir a temperatura de João Pessoa pela manhã. Suponha que nosso espaço amostral, que contém todos os resultados possíveis para a temperatura, é Ω = R. Se queremos determinar se a temperatura é fria, confortável ou quente, a melhor ferramenta para isso é definir uma função X : Ω {fria,confortável,quente}. Ou seja, uma função que associa a cada valor de temperatura, a quantidade fria, confortável ou quente. Por exemplo, X(10) = frio; X(34) = quente, e X(22) = confortável. Neste exemplo, foram medidas temperaturas, 10, 34 e 22, respectivamente. Essa função X que utilizamos é o que chamamos de uma variável aleatória. Ou seja, é um rótulo que damos para os valores possíveis no espaço amostral. Na prática, o mais comum é utilizar variáveis aleatórias, onde associamos cada valor do espaço amostral a um número real, ao invés de um conjunto arbitŕario. Isso se deve ao fato, de que existem muitas distribuições de probabilidade conhecidas tomando como valores números reais. Portanto, ao considerar uma variável aleatória que toma valores reais, estamos pegando um problema de probabilidade genérico, e transformando num problema de probabilidade de números reais, e assim podemos utilizar toda a teoria de distribuições discretas e contínuas para resolver o problema. Desta forma, mais precisamente, temos a Definição: Variável Aleatória Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma função X que associa a cada elemento ω Ω um número real X(ω) R. Exemplo 1.1 Exemplo de variável aleatória Suponha que sorteamos 3 pessoas em João Pessoa e observamos se é homem ou mulher. Suponha que queremos saber o número de mulheres sorteadas. Para isso, defina a variável aleatória X : Ω R, onde X pode assumir os valores, 0,1,2 e 3. Se denotamos homem por H e mulher por M, temos que Ω = {MMM,MMH,MHM,HMM,MHH,HMH,HHM,HHH}, e portanto X(MMM) = 3,X(MMH) = X(MHM) = X(HMM) = 2,X(MHH) = X(HMH) = X(HHM) = 1,X(HHH) = 0. Definição: Imagem Inversa Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma variável aleatória. Dado qualquer subconjunto B R, definimos a imagem inversa de B pela variável aleatória X como o conjunto X 1 (B) = 1 / 13

4 {ω Ω;X(ω) B}. Ou seja, X 1 (B) consiste dos elementos de Ω que são levados no conjunto B pela variável aleatória X. A partir da imagem inversa de X 1 (B) podemos construir uma nova medida de probabilidade induzida pela variável aleatória X. Definição: Probabilidade induzida pela variável aleatória X Definimos a probabilidade P(X B) como sendo P(X 1 (B)), ou seja, como a probabilidade do evento X 1 (B). Da mesma forma, definimos P(X = a) como sendo P(X 1 ({a})), ou seja, a probabilidade da variável aleatória assumir o valor a. Escreva o que significa P(X b) para algum número real b. Seguindo a mesma ideia da definição, temos que P(X b) deve ser definido como a probabilidade de X ser menor ou igual a b, assim, é a probabilidade de X pertencer ao intervalo da reta (,b]. Portanto, P(X b) = P(X 1 ((,b])). Suponha que na cidade de João Pessoa, temos a mesma quantidade de homens e de mulheres, e que cada sorteio de pessoas é feito com reposição e independentemente do(s) sorteio(s) anterior(es). Seja X a variável aleatória que indica o número de mulheres sorteadas. Calcule: P(X = 0),P(X = 1),P(X = 2) e P(X 2). Temos que P(X = 0) = P(HHH) = 1 8 ; P(X = 1) = P({HHM,HMH,MHH}) = P(HHM) + P(HMH) + P(MHH) = 8 3 ; P(X = 2) = P(HMM,MHM,MMH) = P(HMM) + P(MHM) + P(MMH) = 3 8. Finalmente, P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = = 7 8. Poderíamos também ter resolvido utilizando a técnica de tomar complementares. Como X só pode assumir valores 0,1,2 e 3, temos que, P(X 2) = 1 P(X > 2) = 1 P(X = 3) = 1 P(MMM) = = Variáveis Aleatórias Discretas Como falamos anteriormente, nosso objetivo em considerar variáveis aleatórias tomando como valores números reais, se deve ao fato de haver uma teoria bem completa em torno dessas variáveis aleatórias. Dentre as variáveis aleatórias reais, existem dois grandes grupos: as variáveis aleatórias discretas e as variáveis aleatórias contínuas. Nosso objetivo nesta seção consiste em definir, e apresentar vários exemplos de variáveis aleatórias discretas. Definição: Variável aleatória discreta Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma variável aleatória. Se existe uma sequência números a 1,a 2,a 3,..., tais que X só pode assumir um dos valores dessa sequência. Então dizemos que X é uma variável aleatória discreta. 2 / 13

5 Nota Note que apesar da sequência a 1,a 2,a 3,... ser uma sequência infinita, o conjunto de valores possíveis para a variável aleatória X pode ser finito ou infinito enumerável. Por infinito enumerável, nós queremos dizer um conjunto infinito que pode ser indexado pelo conjunto dos números naturais, ou seja, pelo qual podemos escrever uma sequência numérica cobrindo todos os números. No caso de variáveis aleatórias discretas, sabemos que vale a seguinte identidade: P(X {a 1,a 2,a 3,...}) = 1, pois X necessariamente só assume valores nesse conjunto {a 1,a 2,a 3,...}. Portanto, utilizando a aditividade contável da medida de probabilidade, obtemos 1 = P(X {a 1,a 2,a 3,...}) = i=1 P(X = a i ), e portanto temos que i=1 P(X = a i) = 1, e além disso, sabemos que para cada i, vale P(X = a i ) 0. Estes fatos motivam a seguinte definição: Definição: Função de probabilidade Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma variável aleatória discreta, e seja a 1,a 2,a 3,..., o conjunto de valores possíveis de X. Definimos a função de probabilidade da variável aleatória X como uma função p(a i ), que associa a cada a i a probabilidade da variável aleatória X assumir o valor a i, isto é, definimos p(a i ) = P(X = a i ). Nota Pelo que já vimos, uma função de probabilidade satisfaz as seguintes propriedades:. para todo i, p(x i ) 0;. i=1 p(x i) = 1. Suponha que uma urna contém 6 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. Quatro bolas são tiradas aleatoriamente da urna, com reposição, e é observada a cor da bola, antes da bola ser devolvida à urna. Seja X a variável aleatória que indica o número de bolas vermelhas que foram retiradas da urna. Obtenha a função de probabilidade de X. Denote por V a bola vermelha e por A, a bola azul. Pelas informações do problema, temos que a probabilidade de se retirar uma bola vermelha é 4 10 e a de se retirar uma bola azul é Assim, P(V ) = 4 10 = 0,4 e P(A) = 6 10 = 0,6. O espaço amostral do problema é dado por Ω = {VVVV,VVVA,VVAV,VAVV, AVVV,VVAA,VAVA, VAAV, AVAV, AAVV, AVVA,VAAA, AVAA, AAVA, AAAV, AAAA}. É fácil ver que o conjunto de valores possíveis para a variável aleatória X é {0,1,2,3,4}. 3 / 13

6 Assim: p(0) = P(X = 0) = P(AAAA) = (0,6) 4 ; p(1) = P(X = 1) = P(AAAV, AAVA, AVAA,VAAA) = P(AAAV ) + P(AAVA) + P(AVAA) + P(VAAA) = (0,6) 3 0,4 + (0,6) 3 0,4 + (0,6) 3 0,4 + (0,6) 3 0,4 = 4(0,6) 3 0,4; p(2) = P(X = 2) = P(VVAA,VAVA,VAAV, AVAV, AAVV, AVVA) = P(VVAA) + P(VAVA) + P(VAAV ) + P(AVAV ) + P(AAVV ) + P(AVVA) = (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 = 6(0,6) 2 (0,4) 2 ; p(3) = P(X = 3) = P(VVVA,VVAV,VAVV, AVVV ) = P(VVVA) + P(VVAV ) + P(VAVV ) + P(AVVV ) = (0,4) 3 0,6 + (0,4) 3 0,6 + (0,4) 3 0,6 + (0,4) 3 0,6 = 4(0,4) 3 0,6; finalmente, p(4) = P(X = 4) = P(VVVV ) = (0,4) Variáveis Aleatórias Contínuas As variáveis contínuas são aquelas na qual a variável aleatória pode assumir uma quantidade nãoenumerável de valores. Isto faz com que a probabilidade de assumir um valor específico seja 0. Ou seja, se X é uma variável aleatória contínua, para todo número real a, temos que P(X = a) = 0. A intuição para este fato inusitado, é que temos tantos valores possíveis para X, que faz com que a probabilidade de assumir um valor em particular seja 0. Neste caso, a probabilidade de X assumir um valor é trocada pela probabilidade de X pertencer a um intervalo da reta. Além disso, no cálculo da probabilidade, a soma é trocada por uma integral, conforme veremos na próxima definição. Definição: Variável Aleatória Contínua Dizemos que X é uma variável aleatória contínua se existe uma função real f : R R, a qual chamamos de função de densidade de X, que satisfaz as seguintes condições: Para todo x real, f (x) 0; f (x)dx = 1; Se f (x) satisfaz as duas primeiras condições, então temos que para quaisquer a e b, < a < b <, vale P(a X b) = b a f (x)dx. Nota Note portanto, que pela definição, para checar se uma função f (x) é uma função de densidade é suficiente verificar duas coisas: 1. se para todo x real, temos f (x) 0; 2. se f (x)dx = 1. 4 / 13

7 [IMPORTANT]: Como mencionamos anteriormente, a definição de variável aleatória contínua implica que para todo a real, P(X = a) = 0. De fato, como X possui uma função de densidade f, temos que P(X = a) = a a f (x)dx = 0. Uma consequência deste fato é que P(a X b) = P(a < x < b) = P(a < x b) = P(a X < b). Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com a função de densidade { 2x, 0 < x < 1; f (x) = 0, caso contrário.. a. Mostre que f (x) é uma função de densidade; b. Calcule P(X 1/2); c. Calcule P(X 1/2 1/3 X 2/3) (probabilidade condicional). a. Temos da definição de f (x) que para todo x real, f (x) 0. Basta verificar agora que f (x)dx = 1. Note que f (x) = 0 fora do intervalo [0,1], e portanto Assim, f (x) é função de densidade b. c. f (x)dx = P(X 1/2) = 1 0 1/2 0 2xdx = x = 1. 2xdx = x 2 1/2 = 1 4. P(X 1/2 1/3 X 2/3) = P(1/3 X 1/2) = = 0 P(1/3 X 1/2) 1/2 1/3 2xdx 2/3 1/3 2xdx 1/2 x 2 1/3 2/3 x 2 = /3 = 5/36 3/9 1.3 Função de Distribuição Acumulada Na teoria matemática da probabilidade é possível mostrar que, dada uma variável aleatória X, a probabilidade de qualquer evento pode ser obtida a partir das probabilidades P(X a), onde a é número real. Ou seja, conhecendo P(X a) para todo a real, significa dizer que conhecemos P(X A) para qualquer evento A. Este resultado é um importante resultado de Teoria da Medida, e mostra o quão rica é a função F(a) = P(X a). Por conta disso, ela recebe um nome: 5 / 13

8 Definição: Função de Distribuição Acumulada Seja Ω um espaço amostral, e seja X : Ω R uma variável aleatória discreta ou contínua. Defina a função F X : R R dada por F X (a) = P(X a), onde a é número real. F X é denominada a função de distribuição acumulada da variável aleatória X, ou simplesmente função de distribuição. Se X for uma variável aleatória discreta, então F X (a) = onde a soma é feita sobre os indíces j, tais que a j a. Se X for uma variável aleatória contínua, então F X (a) = p(a j ), j;a j a a f (x)dx. Seja X uma variável aleatória discreta tomando valores 0,1 e 2. Suponha que sua função de probabilidade é dada por p(0) = 1/2, p(1) = 1/3 e p(2) = 1/6. Obtenha F X. Se a < 0, então F X (a) = P(X < a) P(X < 0) = 0. Como F X (a) = P(X a) 0, segue que para todo a < 0, F X (a) = 0. Suponha agora, 0 a < 1, então F X (a) = P(X a) = P(X = 0) = p(0) = 1/2. Seja agora, 1 a < 2. Então, F X (a) = P(X a) = P(X = 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1) = 1/2 + 1/3 = 5/6. Finalmente, se a 2, então F X (a) = P(X a) = P(X 2) = 1. Assim, 0, a < 0 1/2, 0 a < 1, F X (a) =. 5/6, 1 a < 2, 1, a 2. Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade { 2x, 0 < x < 1; f (x) = 0, caso contrário.. Já sabemos que f é função de densidade por um exercício anterior. Obtenha sua função de distribuição F X. Temos que se a < 0, então P(X a) P(X < 0) = 0. Assim, para a < 0, temos F X (a) = 0. Para 0 a 1, temos P(X a) = Assim, para 0 a 1, vale F X (a) = a 2. a 0 6 / 13 2xdx = x 2 a 0 = a2.

9 Finalmente, se a > 1, então P(X a) = P(X 1) = 1. Portanto, para a > 1, segue F X (a) = 1. Desta forma, 0, 0 a < 0, F X (a) = a 2, 0 a 1,. 1, a 1. Nota Observe que se a b, então sempre que X(ω) a, teremos X(ω) a b, o que implica, X(ω) b. Assim, vale a inclusão de conjuntos {ω Ω;X(ω) a} {ω Ω;X(ω) b}. Logo, P(X a) P(X b). Portanto, temos que se a b, então F X (a) F X (b), ou seja, F X é uma função nãodecrescente. Nota É possível mostrar que para qualquer variável aleatória X, vale lim a F X (a) = 0 e lim a F X (a) = 1. Importante Note ainda que se X é uma variável aleatória discreta com conjunto de valores possíveis dado por {a 1,a 2,a 3,...}, ordenados de tal forma que a 1 < a 2 < a 3 < a 4 <..., então temos que p(a i ) = P(X = a i ) = P(X a i ) P(X a i 1 ) = F X (a i ) F X (a i 1 ). Ou seja, podemos obter a função de probabilidade de X a partir da função de distribuição de X desta forma. Nota Note que esta última observação nos diz que se temos uma função de distribuição de uma variável aleatória discreta, então o conjunto de valores que a variável aleatória X pode assumir é exatamente o conjunto dos pontos de descontinuidade da função de distribuição F X. Assim, se a 1 é o menor ponto de descontinuidade de X, então P(X = a 1 ) = F X (a 1 ), e depois disso, se F X é descontínua no ponto a i, então teremos que P(X = a i ) = F X (a i ) F X (a i 1 ). Suponha que X é uma variável aleatória discreta com função de distribuição F X dada por 0, a < 0, 1/4, 0 a < 1, F X (a) = 1/2, 1 a < 2, 1, a 2. Obtenha a função de probabilidade p(a i ). 7 / 13

10 Os pontos de descontinuidade da função de distribuição F X são 0, 1 e 2. Portanto, pelo que vimos, temos que p(0) = F X (0) = 1/4, p(1) = F X (1) F X (0) = 1/2 1/4 = 1/4, e finalmente, p(2) = F X (2) F X (1) = 1 1/2 = 1/2. Temos um resultado análogo para variáveis aleatórias contínuas. Importante Seja agora X uma variável aleatória contínua. Então, vale que F X (x) = x f (t)dt. Ou seja, estamos dizendo que F X é uma primitiva para a função de densidade f. Desta forma, podemos recuperar a função de densidade, a partir da função de distribuição, por simples derivação em todos os pontos em que F X for derivável: f (a) = df X(a) da = F X(a). Suponha que X é uma variável aleatória contínua com função de distribuição F X dada por { 0, a < 0, F X (a) = 1 e a, a 0.. Obtenha a função de densidade f (x). Sabemos que a função de densidade f (x) é dada pela derivada da função de distribuição em todos os pontos em que esta for derivável. Assim, se x < 0, temos que f (x) = F X (x) = 0. Se x > 0, então f (x) = F X (x) = e x. Em x = 0, F X não é derivável, então podemos supor f (x) = 0, já que o valor de uma função em um único ponto não altera o valor da integral. Portanto, a função de densidade f da variável aleatória X é dada por { 0, 0 x 0, f (x) = e x., x > Variáveis Aleatórias Mistas Podemos ter também um terceiro tipo de variável aleatória: a variável aleatória mista. Ela consiste em uma variável aleatória cuja probabilidade é uma mistura entre as variáveis aleatórias contínuas e discretas. Assim, se X é uma variável aleatória mista, então existem números reais a 1,a 2,a 3,..., tais que para algum i, P(X = a i ) > 0, e tais que i=1 P(X = a i ) = p < 1, 8 / 13

11 ou seja, isso garante que ela tem esse comportamento da variável aleatória discreta, mas não é uma variável aleatória discreta, pois a soma não é igual a 1. Assim, seja F X a função de distribuição da variável aleatória X. Definimos a parte discreta da função de distribuição de X como F d X (x) = i;a i x P(X = a i ). Defina p(a i ) = P(X = a i ), então dizemos que a função p é a função de probabilidade da parte discreta da variável aleatória X. Nota Note que se X fosse uma variável aleatória discreta, teríamos F X = F d X. Agora, defina FX c(x) = F X(x) FX d (x), a parte contínua da função de distribuição da variável aleatória x X. Assim, se X é uma variável aleatória mista, existe uma função f (t) 0, tal que FX c(x) = f (t)dt, e f (t)dt = 1 p. Dizemos que a função f é a função de densidade da parte contínua de X. Nota Observe então que se X é uma variável aleatória discreta, então FX c (x) = 0, para todo x; e se X é uma variável aleatória contínua, então FX d(x) = 0, donde temos F X(x) = FX c(x). Portanto, podemos concluir que F X (x) = FX c(x) + Fd X (x), ou seja, vale: F X (x) = P(X x) = x f (t)dt + P(X = a i ). i;a i x Assim, suponha que é dada uma função de distribuição F X de uma variável aleatória mista X, e que queremos encontrar a função de probabilidade da parte discreta de X, e a função de densidade da parte contínua de X. Para tanto, começamos procurando por pontos de descontinuidade de F X. Suponha que temos os pontos a 1,a 2,..., então, para encontrar a função de probabilidade da parte discreta de X, basta calcular para cada i, o número p(a i ) = P(X = a i ) = P(X a i ) P(X < a i ). Uma vez, encontrada a função de probabilidade da parte discreta de X, definimos F c X (x) = F X(x) F d X (x), e obtemos a função de densidade da parte contínua de X por derivação: f (x) = Fc X (x), ou seja, derivamos a parte contínua da função de distribuição F X. Seja X uma variável aleatória mista com função de distribuição 0, x 0, F X (x) = x, 0 < x < 1/2, 1,x 1/2. Obtenha a função de probabilidade da parte discreta de X e a função de densidade da parte contínua de X. 9 / 13

12 Observe que F X só possui apenas um ponto de descontinuidade no ponto x = 1/2. Assim, temos que a função de probabilidade da parte discreta é dada por p(1/2) = P(X 1/2) P(X < 1/2) = F X (1/2) P(X < 1/2) = 1 1/2 = 1/2. Pois, como para x < 1/2, vale, P(X < x) = x, temos, P(X < 1/2) = 1/2. Portanto, temos que se x < 1/2, então FX d(x) = 0, e se x 1/2, então Fd X (x) = 1/2. Daí, se x < 1/2, FX c(x) = F X(x) FX d(x) = x, e se x 1/2, temos Fc X (x) = F X(x) FX d (x) = 1 1/2 = 1/2. Desta forma, temos que 0, x 0, FX(x) c = x, 0 < x < 1/2,. 1/2,x 1/2. Assim, derivando, obtemos que a função de densidade da parte contínua de X é dada por { 0, x 0 ou x 1/2, f (x) =. 1, 0 < x < 1/ Funções de Variáveis Aleatórias Definição: Função de uma Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória tomando valores reais. Seja Im(X) = X(Ω) = {X(ω); ω Ω} a imagem de X, ou seja, o conjunto dos valores que a variável aleatória X pode assumir. Seja g : Im(X) R uma função real. Então, a função Y = g(x) é uma nova variável aleatória, e dizemos que Y é uma função da variável aleatória X. Relembre a definição de imagem inversa: para um subconjunto dos reais A R a imagem inversa de A pela função g é o conjunto g 1 (A) = {x Im(X);g(x) A}. Assim, temos que para todo evento A R, vale P(Y A) = P(g(X) A) = P(X g 1 (A)). Portanto, podemos calcular probabilidades com relação à variável aleatória Y a partir diretamente de probabilidades envolvendo apenas a variável aleatória X. Exemplo 1.2 Exemplo de função de variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória discreta tomando valores no conjunto 1,2,3,... Suponha que P(X = n) = (1/2) n. Defina a função g : {1,2,3,...} R dada por f (2k) = 1, k = 1,2,3,..., e f (2k 1) = 1, para k = 1,2,3,... Ou seja, g(x) é igual a 1 se x é par, e é igual a -1 se x é ímpar. Desta forma, definindo Y = g(x), temos que { 1, se X for par, Y = 1, se X for ímpar. Assim, temos que P(Y = 1) = P(g(X) = 1) = P(X g 1 ({1})). Note que g(x) = 1 se, e somente se, x é par, ou seja, g 1 ({1}) = {2,4,6,...}. Assim, P(Y = 1) = P(X {2,4,6,...}) = (1/2) 2 + (1/2) 4 + (1/2) 6 + = 1/4 + (1/4) 2 + (1/4) 3 + = 1/4 1 1/4 = 1/3. Por outro lado, P(Y = 1) = 1 P(Y = 1) = 1 1/3 = 2/3. Observe que outra forma equivalente de calcular P(Y = 1), seria observar que Y = 1 se, e somente se, X é par, e portanto {Y = 1} = {X {2,4,6,...}}. E portanto, P(Y = 1) = P(X {2,4,6,...}). 10 / 13

13 Exemplo 1.3 Exemplo de função de variável aleatória contínua Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por f (x) = 2x, se x (0,1), e 0 caso contrário. Seja Y = 3X + 1. Vamos encontrar a função de densidade de Y, que denotaremos por f Y (y). Primeiramente, note que como Im(X) = (0, 1), e assim Im(Y ) = (1, 4). Observe, agora, que P(Y y) = P(3X + 1 y). Sabemos que 3X + 1 y se, e somente se, X (y 1)/3. Portanto, vale F Y (y) = P(3X + 1 y) = P(X (y 1)/3) = F X ((y 1)/3). Finalmente, se y 0, então F Y (y) = P(Y y) = 0, e se y 4, temos F Y (y) = P(Y y) = 1. Portanto, se y < 0, então f Y (y) = F Y (y) = 0, e se y > 4, então f Y (y) = F Y (y) = 0. Agora, se y (1,4), temos que F Y (y) = F X ((y 1)/3), e portanto, pela regra da cadeia f Y (y) = F Y (y) = F X((y 2((y 1)/3) 1)/3) 1/3 = f ((y 1)/3) 1/3 = = 3 2(y 1). 9 Considere X variável aleatória contínua com a densidade do exemplo anterior. Seja g(x) = e x. Obtenha a função de densidade de Y = g(x) = e X, f Y (y). Como Im(X) = (0,1), temos que Im(Y ) = (1/e,1). Assim, se y < 1/e, então F Y (y) = P(Y y) = 0, e se y > 1, então F Y (y) = P(Y y) = 1. Isto implica que se y < 1/e, f Y (y) = F Y (y) = 0, e se y > 1, temos f Y (y) = F Y (y) = 0. Falta considerarmos y (1/e,1). Assim, temos que Y y se, e somente se, e X y, que por sua vez, vale se, e somente se, X ln(y). Portanto, F Y (y) = P(Y y) = P(X ln(y)) = 1 F X ( ln(y)). Onde temos que P(X ln(y)) = 1 P(X < ln(y)) = 1 P(X ln(y)) = 1 F X ( ln(y)), pois P(X = ln(y)) = 0, já que X é uma variável aleatória contínua. Desta forma, obtemos, usando a regra da cadeia, que para y (1/e,1), f Y (y) = F Y (y) = (1 F X ( ln(y)) = f X ( ln(y)) 1 y = 2ln(y). y Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f. Seja Y = X 2. Encontre a função de densidade da variável aleatória Y, f Y. Observe que X 2 0. Daí, se y < 0, segue que F Y (y) = P(Y y) = 0, e portanto, para y < 0, vale f Y (y) = 0. Suponha agora que y 0, e note que Y y se, e somente se, X 2 y. Esta última desigualdade vale se, e somente se, X 2 y 0. Resolvendo essa inequação, obtemos que X 2 y 0 se, e somente se, X y e X y. Assim, vale a igualdade entre os conjuntos {Y y} = { y X y}. Portanto, como X é variável aleatória contínua, segue que, F Y (y) = P(Y y) = P( y X y) = P(X y) P(X < y) = F X ( y) F X ( y). 11 / 13

14 Daí, pela regra da cadeia, vale que F Y (y) = f ( 1 y) 2 y f ( y) 1 2 y = 1 2 y ( f ( y) + f ( y)). Portanto, f Y (y) = 1 2 y ( f ( y) + f ( y) ). 12 / 13

15 Capítulo 2 Índice Remissivo C Contínua, 4 D Densidade Parte contínua, 9 densidade, 4 Discretas, 2 Distribuição, 5 Parte contínua, 9 Parte discreta, 9 Distribuição acumulada, 5 Parte discreta, 9 V Variável Aleatória, 1 Contínua, 4 Discretas, 2 Função, 10 Imagem inversa, 1 Mista, 8 F Função, 10 Densidade Parte contínua, 9 densidade, 4 Distribuição, 5 Parte contínua, 9 Parte discreta, 9 Distribuição acumulada, 5 Probabilidade Parte discreta, 9 Função de, 3 I Imagem inversa, 1 Induzida por uma variável aleatória, 2 M Mista, 8 P Parte contínua, 9 Parte discreta, 9 Probabilidade Função de, 3 Induzida por uma variável aleatória, 2 13 / 13