Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas

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1 Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas Conceição Amado e Ana M. Pires Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis Distribuição uniforme contínua Distribuição normal Distribuição eponencial 34 1

2 Sumário Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis Distribuição uniforme contínua Distribuição normal Distribuição eponencial PE Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade - Recordar: Tipos de Variáveis Aleatórias Seja D X o conjunto (numerável) de pontos de descontinuidade da função de distribuição: A v.a. X diz-se discreta quando P(X D X ) = 1 > CAP. 3 A v.a. X diz-se contínua quando D X =. > CAP. 4 A v.a. X diz-se mista quando D X e P(X D X ) < 1. Eemplos: T - v.a que indica o tempo de vida de um determinado equipamento X - v.a que indica a intensidade da corrente em determinado ponto de um circuito Y - v.a. que representa a resistência mecânica de uma peça Nota: há v.a. discretas que tomam um número tão elevado de valores que é mais conveniente tratá-las como contínuas (p.e., o valor do saldo contabilístico de uma conta bancária seleccionada ao acaso). PE 4 2

3 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Definição: Seja X uma v.a. e F X () a sua função de distribuição. A v.a X diz-se contínua se F X () for absolutamente contínua, i.e, sse eiste uma função não negativa, f X () : R R +, tal que, para todo o R se tem: F X () = f X (t)dt. À função f X () chama-se função de densidade de probabilidade, (f.d.p.), ou apenas função de densidade. A função densidade f X () da v.a. continua X, satisfaz: 1. f X ()d = 1 2. f X () = df X(). d PE 5 Como descrever uma v.a. contínua? Informalmente dizemos que uma variável aleatória é contínua se o conjunto dos seus valores possíveis contiver um intervalo de números reais e nenhum desses valores puder ser observado repetidamente. Como se pode ver o método usado para as v.a. discretas (lista dos valores possíveis de X e respectivas probabilidades) não é aplicável, pois é impossível elaborar uma lista desses valores! O termo densidade lembra a quantidade de massa por unidade de comprimento, de superfície ou de volume. Neste caso podemos dizer que f X () indica a probabilidade por unidade de comprimento na vizinhança do ponto. Ou seja, a função de densidade, f X (), pode ser vista como a ( P ) < X < + f X () 2 2 ou f X () P ( 2 para cada intervalo de comprimento pequeno. ) < X < + 2 PE 6 3

4 Cálculo de probabilidades P(a X b) = b a f X ()d, a,b R: a b f X () P(a X b) a b Tem-se ainda que: P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b) = P(X = ) = a f X (t)dt =, R b f X ()d, a,b R: a b PE 7 Função de distribuição e propriedades Definição: A função de distribuição (ou função de distribuição acumulada) de uma v.a. contínua, X, é F X () = P(X ) = f X (t)dt, com R Notas: As propriedades da função distribuição da v.a. X contínua são semelhantes às dadas no Capítulo 3, a única alteração é que, agora, esta função é contínua quer à direita quer à esquerda. P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b) = = b a f X()d = F X (b) F X (a), a,b R: a b. PE 8 4

5 Eemplo 4.1 Eemplo 4.1: Seja X uma v.a. contínua e considere ainda a seguinte função: f () = { k ( ), < < 2, c.c., onde k é uma constante desconhecida. a) Determine o valor de k de modo a que f() seja a f.d.p. da v.a. X. Para que f() seja uma f.d.p. então: 1. f(),, k > 2. f()d = k = 1 k = 3 8 d+ 2 k(4 2 2 )d+ 2 d = 1 PE 9 Eemplo 4.1 (cont.) b) Determine a função de distribuição de X. < : F X() = < 2 : F X() = 2 : F X() = dt = dt+ dt (4t 2t2 )dt = 3 [ 4t (4t 2t2 )dt t3 3 dt = 1 ] = 1 8 ( ) Função de distribuição F X() PE 1 5

6 Eemplo 4.2 Eemplo 4.2: Considere uma v.a. X que indica o tempo de vida (em milhares de horas) de uma componente electrónica e a seguinte função : { ke 5, f () =, <, onde k é uma constante desconhecida. a) Determine o valor de k de modo a que f() seja a f.d.p. da v.a. X. Se f() é uma f.d.p. então terá de satisfazer: 1. f(),, k > 2. f X()d = 1 d+ ke 5 d = 1 5k = 1 k = 1 5 PE 11 Eemplo 4.2 (cont.) b) Determine a função de distribuição de X. < : F X() = : F X() = dt = 1 dt+ t 5 (e 5)dt = [ ] e 5 t = 1 e 5 Função de distribuição F X () = {, < 1 e /5, F X() PE 12 6

7 Eemplo 4.2 (cont.) c) Determine a P(X > 7 X > 6). P (X > 7 X > 6) = P (X > 7 X > 6) P (X > 6) = P (X > 7) P (X > 6) = ou = 1/5e /5 d 7 1/5e 6 /5 d = 7 e = e 2 P (X > 7 X > 6) = P (X > 7 X > 6) P (X > 6) = P (X > 7) P (X > 6) = = 1 P (X 7) 1 P (X 6) = 1 FX(7) 1 F = X(6) PE 13 e 7 5 e 6 5 = e Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis O valor esperado e a variância são definidos de forma semelhante ao que foi feito para o caso discreto (ver Secção 3.3), com as devidas adaptações (somatório integral). Definições: Seja X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade f X (), R, O valor esperado de X é A variância de X é O desvio padrão de X é σ X = + V(X) E(X) = µ X = µ = V(X) = σ 2 X = σ2 = f X ()d ( µ X ) 2 f X ()d PE 15 7

8 4.2 (cont.) Notar ainda que: Teorema: E[h(X)] = onde h(.) é uma função de X mensurável. h()f X ()d, Mantêm-se as interpretações e as propriedades (Cap. 3) Recordar algumas: E(aX +b) = ae(x)+b, a,b R V(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 V (ax +b) = a 2 V(X), a,b R PE 16 Outras medidas de localização: Moda Definição: Moda de uma v.a. contínua, X, com f.d.p, f X (), representa-se por µ od ou mo X e é o valor, ou valores, onde a função densidade de probabilidade é máima µ od = moda de X : f X (µ od ) = maf X () ou equivalente: Eemplo: µ od = argmaf X () 2. Função de densidade 1+, 1 < f X () = 1, 1, restantes valores de f X() µ od = PE 17 8

9 Outras medidas de localização: Mediana Definição: Mediana de uma v.a. contínua X, com f.d., F X (), representa-se por µ e ou me X, e é um ponto central em termos de probabilidade, ou seja, tal que P(X µ e ) = P(X µ e ) Observação: µ e : P(X µ e ) = P(X µ e ) = 1 2 F X (µ e ) = 1 2 A equação F X (µ e ) = 1 2 tem pelo menos uma solução. Se F X() for invertível em ],1[ então a solução é única e pode ser escrita como µ e = F 1 X (1/2). Eemplo: f X () 3 3 Área = 1 2 µ e = PE 18 Outras medidas de localização: Quantis Generalização da ideia de mediana: Definição: Quantil de ordem p( < p < 1)deumav.a.contínuaX, comf.d.,f X (), representase por, χ p, e satisfaz χ p : P(X χ p ) = p. Se F for invertível em ],1[ então χ p = F 1 X (p). Graficamente: F X () 1 p χ p 2 Nota: 1. o quartil: χ 1/4 : F X (χ 1/4 ) = 1/4 ou χ 1/4 = F 1 X (1/4) 3. o quartil: χ 3/4 : F X (χ 3/4 ) = 3/4 ou χ 3/4 = F 1 X (3/4) PE Nota 1 PE 19 9

10 4.3 - Distribuição uniforme contínua Distribuição uniforme contínua Definição: Uma v.a. X contínua tem distribuição uniforme contínua (ou rectangular) no intervalo [a,b] se a sua f.d.p. é da forma: 1 f X () = b a, a b, c.c. abreviadamente, X Unif(a,b) A função de distribuição, valor médio e variância são, respectivamente:, < a a F X () = b a, a < b 1 b µ X = E(X) = a+b 2 σ 2 X = V(X) = (b a)2 12 PE 21 1

11 4.3 (cont.) Eemplo 4.3 Seja X Unif( 2,2) determine a P Resolução: (na aula) ( X 1 > 1 ). 2 PE Distribuição normal Distribuição normal Factos sobre a distribuição normal: A distribuição normal apareceu pela primeira vez (embora sem nome) num trabalho de De Moivre em 1733, como um limite da distribuição binomial quando n. Simular Binomial n=1, p=.5 Binomial n=1, p=.9 Frequência relativa..1.2 Frequência relativa Binomial n=1, p=.5 Binomial n=1, p=.9 Frequência relativa..4.8 Frequência relativa PE 24 11

12 4.4 Distribuição normal O resultado de De Moivre (aproimação normal da distribuição binomial) permaneceu praticamente desconhecido durante os 8 anos seguintes, até que em 1812 Laplace o generalizou e publicou no livro Théorie analytique des probabilités (este resultado é conhecido como Teorema de De Moivre-Laplace). Independentemente, esta distribuição foi estudada por Gauss (189) e utilizada para modelar erros de medição em astronomia. O termo distribuição normal (típica, habitual) só apareceu muito mais tarde (cerca de 1875). É também conhecida como distribuição Gaussiana, ou de Gauss, ou ainda de Laplace-Gauss. Verifica-se que é uma boa aproimação para muitos fenómenos naturais (físicos, biológicos, psicológicos...) e não só (económicos, sociais...). É de importância fundamental em estatística indutiva. PE Distribuição normal Definição: Uma v.a. contínua X tem distribuição normal de parâmetros µ, com µ R, e σ 2, com σ >, se a sua f.d.p. é da forma f X () = f X (;µ,σ) = 1 2πσ 2 e ( µ)2 2σ 2, R abreviadamente, X N(µ,σ 2 ) Para esta distribuição, o valor esperado a e variância são, respectivamente: E(X) = µ e V(X) = σ 2 a E(X) = fx(;µ,σ)d pode ser calculado recorrendo à transformação z = ( µ)/σ. Idem para E(X 2 ). PE 26 12

13 4.4 Distribuição normal Eemplos de densidades normais: PE Distribuição normal Teorema: Se X N(µ,σ 2 ) e Y = ax +b, em que a e b são constantes (a ) então Y N(aµ+b,a 2 σ 2 ) Demonstração: O que se pretende mostrar é que f Y (y) = [ ] 1 2πa 2 σ ep (y (aµ+b))2 2 2a 2 σ 2 PE 28 13

14 4.4 Distribuição normal Nota: O mais conveniente é começar por manipular a função de distribuição e a seguir derivar para obter a função de densidade (este procedimento é geral quando o objectivo é obter a distribuição de uma v.a. que é função de outra com distribuição conhecida). Assim: PE Nota 1 F Y (y) = P(Y y) = P(aX +b y) = P (ax y b) = ( ) ( ) P X y b a, se a > = ( ) P X y b a, se a < F y b X a, se a > ( ) 1 F y b X a, se a < logo ( ) f Y (y) = df Y (y) d dy = F y b X a, se a > [ )] dy, se a < agora é fácil verificar que d dy 1 F X ( y b a 1 a f X coincide com a epressão de f Y (y) do slide anterior. Nota: ( ) y b [ ] 1 1 a ep (y b a µ)2 2πσ 2 2σ 2 a 1 a f X 1 a f X ( y b ( a y b a ), se a > ), se a < Ou seja, uma transformação linear de uma v.a. Normal altera os parâmetros (obviamente de acordo com as regras que já conhecíamos) mas não altera o tipo de distribuição. PE Nota 2 PE Distribuição normal Caso Especial: Quando a = 1 σ e b = µ σ, vem Z = X µ σ N(,1). À distribuição N(, 1) denomina-se: Normal padrão Normal standard Normal reduzida Como se pode verificar, é fácil transformar qualquer variável aleatória Normal numa Normal padrão. Assim, para muitos cálculos podemos usar apenas uma distribuição Normal (escolhemos a mais simples: Normal padrão) PE 3 14

15 Cálculo de Probabilidades com a distribuição Normal Seja X N(µ,σ 2 ): ( X µ F X () = P(X ) = P µ ) = σ σ ( = P Z µ ) ( ) µ = Φ σ σ z 1 onde, Φ() P(Z z) = e t2 /2 dt 2π }{{}? é a função de distribuição da Normal padrão, i.e Z N(,1). Mas......e t2 /2 não tem primitiva elementar, o valor do integral só pode ser obtido por métodos numéricos. PE 31 Cálculo de Probabilidades com a distribuição Normal Programas em computador ou calculadora (não é necessário usar a normal padrão) Tabelas (é necessário usar a normal padrão). Também está tabelada a função de distribuição inversa da Normal padrão: Φ 1 (p),p [,1]. (ver). Observações: Φ( ) = 1 Φ(), R, devido à simetria da f.d.p.. ( a µ X N(µ,σ 2 ), P(a < X < b) = P < X µ < b µ ) ( ) ( ) b µ a µ = Φ Φ σ σ σ σ σ PE 32 15

16 4.4 - Eemplo Eercício: A empresa ACME fabrica um tipo de lâmpada de énon cuja duração média é de 3 dias, com um desvio padrão de 5 dias. O engenheiro responsável pelo departamento de qualidade acredita que a vida útil daquelas lâmpadas é normalmente distribuída. Para decidir qual a duração que deve ser anunciada como garantida, ele pretende calcular os seguintes valores: (a) A probabilidade de uma lâmpada ter uma vida útil superior a um ano. (b) O tempo de vida útil que é ecedido por 95% daquelas lâmpadas. Soluções:.968 e dias PE Distribuição eponencial Distribuição eponencial Definição: Uma v.a. X diz-se seguir uma distribuição Eponencial de parâmetro λ > se a sua função de densidade de probabilidade for dada por { λe f X () = λ,, c.c. abreviadamente, X Ep(λ). Tem-se ainda µ X = E(X) = 1 λ σx 2 = V(X) = 1 λ { 2 1 e F X () = λ,, <, λ > PE 35 16

17 4.5 Distribuição eponencial Integrando por partes vem: E(X) = f X ()d = d+ λe λ d = { [ e = lim λ ] { } [ k k + + k e e λ d = lim ke λk λ ++ k + λ { e λk } 1 = + lim = 1 k + λ λ = 1 λ Fazer a demonstração para V(X) e F X (). PE 36 ] k } 4.5 Distribuição eponencial Propriedade da falta de memória ou amnésia: Se X Ep(λ), λ > então Demonstração: (na aula) Observações: P(X < t 1 +t 2 X > t 1 ) = P(X < t 2 ), t1 >,t 2 > O facto de esta distribuição não ter memória significa que não é indicada para modelar situações do tipo tempo de vida, em que há desgaste ou envelhecimento. A distribuição eponencial é a única distribuição contínua sem memória. Eiste uma única distribuição discreta sem memória: é a distribuição geométrica. PE 37 17

18 4.5 Distribuição eponencial: relação com o processo de Poisson. Teorema: Seja X uma v.a. que indica o n o de ocorrências de um acontecimento por unidade de tempo ou de espaço (comprimento, área, etc) e Y uma outra variável aleatória que representa o tempo ou espaço entre ocorrências sucessivas. Se X Poisson(λ) Y Ep(λ) Observações: O resultado funciona no sentido inverso, ou seja, se os intervalos de tempo entre ocorrências forem v.a. independentes e identicamente distribuídas Ep(λ) então o n. o de ocorrências em t unidades de tempo é P oisson(λt). O resultado também é válido para o tempo decorrido até à primeira ocorrência. PE Distribuição eponencial: eemplo Eemplo: O call center de uma empresa de telecomunicações recebe em média 5 chamadas por hora, admitindo-se que as chamadas seguem um processo de Poisson. O gestor do call center está agora interessado em conhecer como varia o intervalo de tempo entre chamadas. Pretende nomeadamente saber: (a) A probabilidade daquele intervalo de tempo ser superior a 2 minutos. (b) O valor esperado, mediana e desvio padrão dos intervalos de tempo entre chamadas. Resolução: Definição das variáveis aleatórias: Seja X t - v.a. que indica o n. o de chamadas que chegam em t horas, logo X t Poisson(5t) e T - v.a. que indica o intervalo de tempo entre chamadas (em horas), logo T Ep(5) PE 39 18

19 4.5 Distribuição eponencial: eemplo (cont.) (a) (2 minutos = 1/3 horas) ( P T > 1 ) ( = 1 P T 1 ) = 1 F T (1/3) = e 5/ ou... (b) E(T) = E(T 2 ) = V(T) = 1/25 horas 2 σ T = 1/5 horas = 12 minutos 5te 5t dt = = 1/5 horas = 12 minutos 5t 2 e 5t dt = = 2/25 horas 2 µ e : F T (µ e ) =.5 1 e 5µe =.5 µ e = log(.5)/ horas 8.3 min. PE 4 19