Probabilidade e Estatística

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1 Probabilidade e Estatística Aula 6 - Distribuições Contínuas (Parte 01) Leitura obrigatória: Devore, Capítulo 4 Cap 6-1

2 Objetivos Nesta aula, vamos aprender: Representações de uma v. a. contínua: função densidade de probabilidade e função distribuição acumulada. Distribuição uniforme. Distribuição normal. Distribuição eponencial. Cap 6-2

3 Probabilidade: Probabilidade: Variáveis Aleatórias Variáveis Variáveis Aleatórias Mistas Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Continuas Observação: representamos a variável aleatória com letras maiúsculas (e: X) Representamos os possíveis valores que esta variável pode assumir com letras minúsculas (e: ou 1, 2, n ) Cap 6-3

4 Distribuições Continuas Definição! Uma variável aleatória contínua é uma variável que assume valores em: um conjunto não-enumerável (contínuo) e conveo (combinações lineares de elementos do conjunto também pertencem ao conjunto), ou seja, sem buracos. Eemplos: espessura de um objeto temperatura de uma solução profundidade em lago tempo para completar tarefa Cap 6-4

5 Função Densidade de Probabilidade Eemplo: Variável aleatória é o tempo que um aluno leva para completar uma tarefa. Freq. relativa Tempo máimo: M Temos 3 instrumentos de medida do tempo: Cronômetro com precisão em minutos: hist (a) Cronômetro com precisão em segundos: hist (b) Cronômetro mais preciso possível: graf. (c) Freq. Relativa Freq. Relativa Função densidade de probabilidade Tempo Tempo Tempo Cap 6-5

6 Função Densidade de Probabilidade Freq. Relativa Tempo Função densidade de probabilidade = Frequência relativa de uma v.a. contínua Cap 6-6

7 Função Densidade de Probabilidade A função f() é dita função de densidade de probabilidade (fdp) se: Definição! f() 0, para todo real (não negatividade) f d = 1 f() (normalização) A probabilidade de levar entre 0 e M para eecutar uma tarefa é 100%. Tempo Cap 6-7

8 Função Densidade de Probabilidade A probabilidade de X pertencer a um intervalo (a, b) é obtida pela área abaio da fdp(.) de X: Definição! b P a X b = f d a A probabilidade de levar um tempo entre a e b para eecutar uma tarefa pode ser calculada como a área abaio da densidade entre estes dois pontos. Equivalente a somar a probabilidade de todos os tempos possíveis com uma v.a. discreta. Cap 6-8

9 Função Densidade de Probabilidade Qual é a probabilidade de o aluno levar eatamente 10 minutos para eecutar a tarefa? f() P X = 10 = 10 f d = 0 10 o que é o mesmo que calcular a área de uma linha. 10 (tempo em min) Pq isso acontece?? Estamos querendo calcular eatamente: Min que é diferente de: min, 9.999min,... Cap 6-9

10 Função Densidade de Probabilidade Analogia com a física: A probabilidade em um intervalo é o equivalente a massa de uma barra com densidade f, ao longo do comprimento da seção da barra. A massa em um ponto preciso é igual a 0, pois queremos a massa de uma seção da barra com comprimento nulo!! Igual a cortar a barra em um certo ponto, ou seja, tem massa nula. Cap 6-10

11 Função Densidade de Probabilidade Propriedade: Se X é uma v.a. contínua, então P(X = c) = 0, para qualquer valor c. Por essa razão, temos: P a X b = P a < X b = P a X < b = P a < X < b ou seja, os etremos do intervalo são irrelevantes! Cap 6-11

12 Função Densidade de Probabilidade Eercício: Seja X o tempo entre passagem de dois carros em uma auto-estrada com fdp: f = 0.15e , se 0.5 0, caso contrário a) Verifique se f() é uma fdp legítima. b) Qual a probabilidade de X 5? c) Qual a probabilidade de 3 < X < 6? Cap 6-12

13 Função Densidade de Probabilidade Eercício: Solução f = 0.15e , se 0.5 0, caso contrário a) f() 0 e f d = 1? b) P X 5 =? Cap 6-13

14 Função Densidade de Probabilidade Eercício: Solução b) P(X 5) =? P X 5 = 5 = f d = f d + f d = 0 + e 0.15( 0.5) d 0.5 = 0.15e = = e 0.15 = Cap 6-14

15 Função Distribuição Acumulada Definição! Def: A função de distribuição acumulada F() de uma v.a. contínua X é definida para todo real: F = P X = f v dv A FDA em, F(), é a soma da probabilidade de todos os valores menores do que! Para = 8 na figura abaio: Cap 6-15

16 Função Distribuição Acumulada Propriedade: uma função de distribuição acumulada F(), definida por: F = P X = f v dv Tem as seguintes propriedades: lim F = 0 e lim F = 1 F é não-decrescente Cap 6-16

17 Funções Distribuição Eercício: Seja X a espessura de uma determinada Capa de metal, com fdp: f = 1, para A B B A a) Determine a função distribuição acumulada de X. b) Faça o grafico da fdp de X, f(), e da FDA de X, F(). Veremos na aula seguinte que esta distribuição de probabilidade, de tão usada, tem um nome específico: distribuição uniforme. Ela é o equivalente a probabilidade clássica (eventos equiprováveis) para o caso contínuo. Cap 6-17

18 Funções Distribuição Eercício: Solução f = 1, para A B B A F() : F. D. Acumulada até Cap 6-18

19 Funções Distribuição Eercício: Solução F = f v dv = Daí: 1 dv. B A F = 1 B A 1 B A 0dv = 0, < A dv = A B A dv = 1,, A B B Cap 6-19

20 F(X): Probabilidades Propriedade: Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f() e F(). Então, para a e b reais: P(X > a) = 1 F(a) P a X b = P a < X b = P a X < b = P a < X < b = F(b) F(a) F(b) F(a) Cap 6-20

21 Relação entre fdp e FDA Se quisermos saber a probabilidade de um evento, por eemplo, P(a < X < b), tanto podemos usar a f. densidade quanto a f. Acumulada. A fdp e FDA tem a seguinte relação: F = f v dv f() F() f = df d Cap 6-21

22 Percentil Definição! Seja p um numero entre 0 e 1 (uma probabilidade) O percentil 100*p % da distribuição de uma v.a. contínua X, representado por p, é definido por: p p = P X p = F p = f v dv Área = p p = F(p) p p p p Cap 6-22

23 Percentil Seja p um numero entre 0 e 1 (uma probabilidade) O percentil 100% p, p, é definido por: p = P X p = F p Assim, o percentil-p, é o valor da variável aleatória que: deia 100 p% dos valores da v.a. X abaio dele; é maior do que 100 p % dos valores da v.a. X; É ultrapassado (ou ecedido) por (1 p) 100% dos valores de X. E: Para p = 0.75, então 0.75 = Q 3, ou seja, 0.75 é o 3º quartil. Mas, 0.75 é: maior do que 75% dos dados (deia 75% dos valores abaio dele) é ecedido por apenas 25% dos dados (deia 25% dos valores acima dele). Cap 6-23

24 FDA e Percentil Eercício: A distribuição da quantidade de cascalho (em toneladas) vendidas por uma empresa de materiais de construção em uma semana é uma v.a. contínua X com fdp: f = , 0 1. a) Determinar a função distribuição acumulada, F(X). b) Encontre a mediana da quantidade de cascalho vendida em uma semana (percentil 50%). Cap 6-24

25 FDA e Percentil Eercício: Solução. a) Para entre 0 e 1: b) Percentil 50% (mediana): 0. 5 Cap y y dy y F y y F p p p p 0. 5

26 Definição! Valor Esperado O valor médio ou esperado de uma v.a. contínua X com função densidade de probabilidade, f(), é: μ X = E X = f d Novamente o valor esperado de uma v.a. X é a média ponderada de cada valor possível pela "probabilidade" de o valor sair. Para uma função qualquer h(. ): μ h(x) = E h X = h f d e E(h(X)) h(e(x)) para toda função h(. ) não linear Cap 6-26

27 Valor Esperado Eercício: A distribuição da quantidade de cascalho (em toneladas) vendidas por uma empresa de materiais de construção em uma semana é uma v.a. contínua X com fdp: f = , 0 1 Calcule o valor esperado da quantidade de cascalho (ou a quantidade esperada de cascalho) a ser vendida pela empresa na próima semana. Cap 6-27

28 Valor Esperado Eercício: Solução. E X = f d = 3 2 = = d = d = =0 = Cap 6-28

29 Valor Esperado de função Eercício: Duas espécies estão competindo em uma região pelo controle de uma quantidade limitada de um determinado recurso. Seja X = a proporção de recurso controlado pela espécie 1 e suponha que X tem fdp: f() = 1, para 0 X 1. A espécie que controla a maioria dos recursos controla: h(x) = ma (X, 1 X). Determine E(h(X)). Cap 6-29

30 Valor Esperado de função Eercício: Solução h X = 1 X, se 0 X < 0.5 X, se 0.5 X 1 O valor esperado dos recursos controlados pela espécie "dominante" é: 1 E h X = h f d = 1 d = 3 4 Cap 6-30

31 Variância A variância de uma v.a. contínua X com fdp f() é: Definição! V X = σ 2 = E X μ 2 = μ 2 f d E também vale a propriedade: V X = σ 2 = E X 2 μ 2 Cap 6-31

32 Propriedades Propriedade: Continuam valendo as seguintes propriedades para a média (valor esperado) ou variância de uma função linear: E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a 2 V(X) Cap 6-32

33 Variância Eercício: A distribuição da quantidade de cascalho (em toneladas) vendidas por uma empresa de materiais de construção em uma semana é uma v.a. contínua X com fdp: f = , 0 1 Calcule a variância da quantidade de cascalho vendida pela empresa na próima semana. Cap 6-33

34 Variância Eercício: Solução. No eercício anterior obtemos: E(X) = µ = Vamos usar a propriedade: V X = E X 2 μ 2 Com: E X 2 = 2 f d = = 3 2 = ( 2 4 )d 0 = 3 2 Assim: V X = = (1 2 )d =1 =0 = Cap 6-34

35 Resumo Definição Discretas Contínuas Função probabilidade fmp: p() fdp: f() F. Probabilidade Acumulada F = p i i Probabilidade de X pertencer a um intervalo [a, b] P a X b = p i Valor esperado a i b = F b F(a ) E X = μ = i p( i ) i=1 Valor esperado de uma função, h(x) E h X = h( i )p( i ) Variância i=1 n V X = σ 2 = i μ 2 p( i ) i=1 F = f v dv b P a X b = f d a = F b F(a) E X = μ = f d E h X = h()f d V X = μ 2 f d Cap 6-35

36 Resumo Nesta parte vimos: Como representar modelos de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas: Função densidade de probabilidade, f() Função distribuição acumulada, F() As propriedades da fdp (f()) e FDA (F()) Como obter fdp a partir de uma FDA e vice-versa Como calcular o p-percentil de uma v.a. contínua A média e variância de uma v.a. contínua Cap 6-36