3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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1 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 011

2 Variável aleatória é o espaço amostral de um eperimento aleatório. Uma variável aleatória,, é uma função que atribui um número real a cada resultado em. Eemplo. Retira-, ao acaso, um item produzido de um lote de is unidades. Variáveis: : Número de defeitos no item lecionado. Y: Tempo de vida do item (em h).

3 O espaço amostral associado a este eperimento aleatório é a a,,. 1, a6 Os possíveis valores da variável são 0,1,,..., e os possíveis valores da variável Y são os números reais não negativos. Classificação: Variáveis aleatórias discretas (VDA). O conjunto de possíveis valores é finito ou infinito enumerável. Variáveis aleatórias contínuas (VAC). O conjunto de possíveis valores é infinito não enumerável (um intervalo, por eemplo). No eemplo acima, é discreta e Y é contínua. 3

4 Variáveis aleatórias discretas (VAD) é uma VAD com possíveis valores no conjunto R. Uma função f() é uma função de probabilidade (i) (ii) 0 (iii) f P( i R ( f i i ( ) 1, i ) f ) 1. ( i ), i R e Eemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, ndo 1 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens rá formada sorteando-, m reposição, três itens do lote. Qual a probabilidade de encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M? Solução. 4

5 Eemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discreta com a função de probabilidade d C P( D d) d! ; d 1,, 3, 4. (a) Determinar a constante C. (b) Calcular P(D ). Solução. 5

6 Função de distribuição acumulada de uma VAD Função de distribuição acumulada (FDA) é uma VAD com valores em R = { 1,,...} e função de probabilidade f() = P( =). Para qualquer, a FDA de, denotada por F(), é definida como F ) P( ) f ( ) P( ), em que R. ( i i i i i Eemplo. Uma variável aleatória tem função de probabilidade f ( ) P( ) 1/15, 7 /15, 0, c.c. 1,,3, Determinar F(). Solução. 6

7 7. R de elementos são e que ndo ) ( ) ( então ), [ Em geral, (). ) ( [,3),então (1); ) ( [1,),então Se 1 1 l l l l l F F F F F F Obrvação. Logo, a FDA é dada por 3. 1, 3, 8/15,, 1 1/15, 1, 0, ) ( F

8 Propriedades da função de distribuição acumulada é uma VAD 1. Para todo, 0 F() 1.. F() é uma função monótona não decrescente. 3. lim F( ) 0 e lim F( ) 1 4. Se R = { 1,,...}, em que 1 < <..., então f( i ) = P( = i ) = F( i ) - F( i-1 ). 5. Se a e b são tais que a<b, então ( i) ( ii) ( iii) ( iv) ( v) P( P( P( a P( a P( a a) a) F( a), 1 b) b) b) P( F( b) F( b) F( b) a), F( a), F( a) F( a) P( P( a) b). e 8

9 Eemplo. A variável aleatória tem função de distribuição acumulada F( ) 0, 1/8, 1/, 5/8, 1, , 1,, 3, Determinar ( a) P(1 3) ( b) P( ) ( c) f ( ). Solução. 9

10 Eemplos F() F() F() F()

11 Variáveis aleatórias contínuas (VAC) Função densidade de probabilidade Uma função f() é chamada função densidade de probabilidade de uma VAC 1. f ( ) 0,. 3. Se f ( ) d 1. A { ; a para todo b},. então P( A) P( a b) b a f ( ) d. Eemplo. O tempo de produção de um componente (em minutos) é uma variável aleatória com função densidade 5, 4, f ( ) 4 0, caso contrário. Verificar f() é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso ja menor do que 3 minutos. Solução. 11

12 Obrvação. Se é uma VAC, então (i) P( (ii) P( a (iii) P( ) a) 0, b) para P( a P( a P( todo a),, b) b), para P( a para todo a. todos b) a e b com a b, Função de distribuição acumulada. é uma VAC com função densidade f(). A função de distribuição acumulada (FDA) de é F( ) P( ) f ( t) dt, para todo. Obs. Se é um tempo de vida, utilizamos a função de confiabilidade (reliability function): R() = P ( > ) = 1 F(). Eemplo. Uma variável aleatória tem função densidade f ( ) 5, 4 0, 4, caso contrário. Determinar F(). 1

13 Obrvação. A FDA de permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma E = {; a b}, com a b. Isto é, P(E) = F(b) F(a). Eemplo. Considere a FDA abaio. Obtenha P( 3) e P(3 < 5). Solução. F( ) 0, 9 (5 8 1, ),, 4, 4. 13

14 Propriedades 1. 0 F() 1, para todo.. F() é uma função monótona não decrescente. 3. F() é uma função contínua para todo. 4. lim F( ) lim f ( t) dt 0 e lim F( ) lim f() d d 5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos F(). f ( t) dt 1. Eemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatória com F( ) 1 ke 0,, Determinar (a) o valor de k, (b) P( ), P( 4) e P( -1) e (c) f(). Solução. 0, 0. 14

15 Valor esperado e variância Valor esperado de uma variável aleatória. é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(). O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por E() = é definido como 1. é uma E( ). é uma variável aleatória E( ) variável aleatória f ( ) e R f ( ) d, discreta : contínua : supondo que o somatório e a integral eistem. 15

16 Valor esperado de uma função de variável aleatória Y = h(), ndo h uma função de. O valor esperado de h() é dado por 1. é uma variável aleatória E( ). é uma variável aleatória E( ) R h( ) f ( ) e h( ) f ( ) d. discreta : contínua : 16

17 Variância de uma variável aleatória. é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f() e com média E() =. A variância de, denotada por Var( ) é definida como o valor esperado de ( - ). 1. é uma Var( ). é uma variável aleatória Var( ) variável R ( ( ) ) aleatória f ( ) f ( ) d. discreta : e contínua : Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância: DP( ) Var ( ). 17

18 P( = ) Eemplo. Suponha que a demanda diária de uma peça é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade f ( ) P( ), 6! 0, 1,, 3, 4, c.c. Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda. Obrvação. Gráfico de f(). Solução

19 f() Moda, mediana e média (VAC) Moda Mediana Média f() Média Mediana Moda Assimetria à direita: Moda < Mediana < Média Assimetria à esquerda: Moda > Mediana > Média Simetria: Mediana = Média ( eistir). 19

20 Variáveis aleatórias independentes e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que e Y são independentes, e somente, P(( ) ( Y y)) P( ) P( Y y)) F ( ) F Y ( y), para todos e y, ndo que F e F Y são as FDA s de e Y. Em particular, e Y são duas variáveis aleatórias discretas, e Y são independentes, e somente, P(( ) ( Y y)) P( ) P( Y y), para todos e y. 0

21 Propriedades do valor esperado e da variância e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais. 1. E( a). E( a 3. E( a 4. E 7. Var( a ) a 8.Se e Y são variáveis aleatórias independentes, então Var( a by) a 9.Se 5. Var( ) E( 6. Var( a) 0. Var( a 1 1 a. ) ae( ). b) by,, n Var( ). Var( ) b são n variáveis independentes, então ae( ) b. ae( ) be( Y ). n ) ) Var(. Var( Y ). 1 ) Var( ) Var( n ). 1

22 Eemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializa equipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variável aleatória com função densidade f, 4, 3 6 ( ), 4 6, 6 0, c.c. (a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas da empresa jam maiores do que R$.000,00, mas não ultrapasm R$ ,00. (b) A média e o desvio padrão das vendas diárias. (c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0, - 0,5, calcule a média e o desvio padrão do lucro diário. Solução.