Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

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Fernando Batista Gomes
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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova 3 de Probabilidade Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 12 de dezembro de 214 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva todas as contas. Não utilize caneta vermelha. Responda todas as perguntas nas folhas correspondentes. Dena todos as v.a's necessárias. Eu quase não sei de nada, mas descono de muita coisa. (Guimarães Rosa)

2 Questão 1 Um posto de gasolina é abastecido com gasolina uma vez por semana. O volume semanal de vendas (em milhares de litros) é uma v.a. com densidade dada por f(x) = { cx 3, x 1, c.c. a) Determine o valor de c e esboce o gráco de f. (1, ponto) Devemos ter cx 3 dx = 1. Segue que c = 4. O gráco de f é o seguinte: Observações:,25 pela integral e,25 por encontrar a constante c. O gráco vale,5. b) Calcule a probabilidade de que o volume semanal de vendas, de uma semana escolhida ao acaso, esteja entre e 3 litros. (,5 pontos) Dena X como o volume semanal de vendas. Assim, P (1/ < X < 3/) = 3/ 1/ Observações:,25 pela integral e,25 pela resolução. 4x 3 dx = 8/. c) Calcule a probabilidade de que o volume semanal de vendas, de uma semana escolhida ao acaso, seja maior do que 5 litros. (,5 pontos) Temos P (X > 1/2) = 1/2 4x 3 dx = 1 Observações:,25 pela integral e,25 pela resolução. /2 d) Em uma semana, qual o valor esperado de vendas? (,5 pontos) observe que 4x 3 dx = 15/16.

3 E(X) = Logo, espera-se vender 8 litros de gasolina semanalmente. Observações:,25 pela integral,, pela resolução e,15 pela resposta. 4x 4 dx = 4/5 =, 8.

4 Questão 2 O tempo de vida X (em anos), de um equipamento eletrônico, é modelado por uma v.a. distribuição exponencial de parâmetro 2; isto é, X tem densidade dada por f(x) = { 2e 2x, x, x < com a) Determine a função de distribuição de X. (1, ponto) Observe que e x < F (x) = x dt = x F (x) = dt + x 2e 2t dt = 1 e 2x. Logo, F (x) = {, x < 1 e 2x, x Observações:,25 pela primeira parte,,5 pela segunda parte e,25 pela resposta. b) Este equipamento vive, em média, quanto tempo? (1, ponto) A média de X é dada por E(X) = xf(x)dx = Portanto, o equipamento vive, em média, 6 meses. Observações:,25 pela integral,,5 pela resolução e,25 pela resposta. c) Qual a probabilidade, de um equipamento escolhido ao acaso, viver mais de 1 ano? (1, ponto) A probabilidade pedida vale P (X > 1) = 1 P ( < X < 1) = x 2e 2x dx = 1/2. 2e 2x dx = e 2 =, Observações:,25 pela probabilidade,,25 pela integral e,5 pela resolução.

5 Questão 3 As alturas de 1. alunos de um colégio têm distribuição normal com média 16 cm e desvio padrão cm. a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 17 cm? (1,5 pontos) Seja Y a v.a. altura. Do enunciado, Y N(16, 2 ). A probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso tenha altura superior a 17 cm é: ( Y 16 P (Y > 17) = P > ) = P (Z > 1) =, 5 P ( < Z < 1) =, 5, 34 =, 16. Portanto, o número esperado de alunos com altura superior a 17 cm é, 16 = 16. Observações:,25 por denir a v.a. altura,,5 por encontrar P (Z > 1),,5 por calcular essa probabilidade e,25 por calcular o úmero de alunos. b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? (1,5 pontos) Queremos o valor de k que torna a igualdade P ( Y 16 < k) =, 75 verdadeira. Note que Y 16 < k 16 k < Y < 16+k 16 k 16 < Y 16 < 16 + k 16 = k < Z < k. Portanto, P ( Y 16 < k) = P ( k < Z < k ) ( = 2P < Z < k ). Impondo 2P ( < Z < k ) =, 75, concluímos que P ( < Z < k ) =, 375. Via tabela obtemos = 1, 15, o que nos dá k = 11, 5. Portanto, 75% dos alunos têm alturas variando de k 16-11,5=148,5 cm a 16+11,5=171,5 cm. Observações:,5 por encontrar P ( Y 16 < k) = P ( k < Z < k ),,5 por encontrar P ( < Z < k ) =, 375,,25 por determinar k e,25 por encontrar o intervalo.

6 Questão 4 A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja é normal, com média de 4 kg e desvio padrão de,5 kg. Um abatedouro comprará 1. coelhos e pretende classicá-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 3% dos mais leves como pequenos, os 4% seguintes como médios e os 3% mais pesados como grandes. Quais os limites de peso para cada classe? (3, pontos) Seja X a v.a. peso. Do enunciado, sabemos que X N(4, (, 5) 2 ). Primeiramente, dena x 1 como o limite de peso para os 3% mais leves. Assim, existe z 1 tal que x 1 4,5 = z 1. Como z 1 também deixa 3% de probabilidade à sua esquerda, então P (z 1 < Z < ) =, 2, de onde concluímos que z 1 =, 52. Portanto, x 1 = 4 + (, 52)(, 5) = 3, 74 kg. Pela simetria, o peso x 2 que deixa os 3% mais pesados à sua direita é x 2 = 4 + (, 52)(, 5) = 4, 26 kg. Portanto, os limites de peso são: pequenos: até 3,74 kg; médios: de 3,75 kg até 4,26 kg; grandes: acima de 4,26 kg. Observações:,5 por denir a v.a. peso,,25 por encontrar x 1 4,5 = z 1,,5 por encontrar z 1,,25 por encontrar x 1, 1, por encontrar x 2 (análogo a x 1 ) e,5 por estabelecer os limites.

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