Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA V

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1 Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA V Lista 6: Distribuições Contínuas. Distribuição Normal. 1. A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 15% dos mais leves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 20% seguintes como grandes e os 15% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação? 2. Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm 3 e desvio padrão de 10 cm 3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. (a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm 3? (b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões? (c) Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 tenham volume de líquido superior a 1002 cm 3? (d) Se garrafas vão sendo selecionadas até aparecer uma com volume de líquido superior a 1005 cm 3, qual é a probabilidade de que seja necessário selecionar pelo menos 3 garrafas? 3. Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B,com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m. respectivamente. (a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B. (b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B. (c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? 4. Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. (a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos? (b) E mais do que 9,5 minutos? (c) E entre 7 e 10 minutos? (d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento? 5. A distribuição dos QI s médio de crianças entre 8 e 10 anos é considerada normal com média 110 e desvio-padrão 6. Será aplicado um teste em crianças dessa faixa etária no intuito de classificá-las quanto ao QI como baixo, normal e alto do seguinte modo: 15% dos menores resultados como QI baixo; os 70% seguintes como normal e os restantes como alto. Determine os limites de valores para o QI em cada classificação. 6. Suponha que o tempo necessário para resposta a um estímulo visual siga uma distribuição normal com média de 1 minuto e desvio padrão de 1/3 minuto. (a) Qual é a probabilidade de que a resposta seja dada em menos de 1/2 minuto? (b) E mais do que 1.5 minutos? (c) E entre 0.5 e 1.5 minuto? (d) 75% das chamadas respostas requerem pelo menos quanto tempo de estimulação? 7. Mensa é a sociedade internacional de indivíduos de alto QI. Para fazer parte da Mensa, uma pessoa precisa ter um QI de 132 ou mais. Se as contagens de QI são distribuídas normalmente com uma média de 100 e um desvio-padrão de 15, que porcentagem da população se qualifica para membro da Mensa? 8. A prefeitura de uma certa cidade distribui cestas básicas para pessoas com renda inferior a R$150,00. A distribuição de renda desta população tem distribuição normal com média de R$300,00 e desvio-padrão de R$150,00. (a) Que proporção da população é beneficiada pelas cestas básicas? (b) Que valor deveria a prefeitura definir como renda máxima para que 60% da população fosse beneficiada pelas cestas básicas? 9. Um fabricante de máquinas de lavar sabe que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1000 dias e desvio padrão de 200 dias. Suponha que o termo de garantia seja de 2 anos. (a) Qual a porcentagem de máquinas do fabricante que duram mais do que o termo de garantia? (b) Se uma pessoa compra uma destas máquinas, qual a probabilidade de que dê defeito antes de vencer a garantia?

2 (c) Qual a probabilidade de a máquina durar entre 900 e 1300 dias? 10. Suponha que os tempos de vida em horas de 2 marcas de pilhas sejam variáveis aleatórias X1 e X2, onde X1 N(µ = 42, σ = 6) e X2 N(µ = 45, σ = 3). (a) Se uma pilha deve ser usada por um período de 45 horas, qual marca deve ser preferida? (b) E se for por um período de 49 horas? 11. Um teste de aptidão para o exercício de uma certa profissão exige uma sequência de operações a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em, no máximo, 90 minutos. Admita que o tempo, em minutos, para completar a prova seja uma variável aleatória normal com média 50 minutos e desvio padrão 20 minutos. Que porcentagem de candidatos completarão o teste antes de 60 minutos? 12. O diâmetro (em cm) X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição normal com média 0,6140 e desvio padrão 0,0025. O lucro T de cada esfera depende do seu diâmetro: T = 0.10 se a esfera é boa, isto é, < X < T = 0.05 se a esfera é recuperável, isto é, < X < ou < X < T = -0, 10 se a esfera é defeituosa, isto é, X < ou X > Calcule as probabilidades de as esferas serem boas, recuperáveis e defeituosas e avalie o lucro médio. 13. Se o tempo entre chegadas de automóveis em um lava jato tem função de distribuição acumulada dada por F (x) = 1 e x 12, se x 0, 0, se x < 0. Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de veículos neste lavajato seja maior que 10 minutos? 14. Se o tempo entre chegadas de clientes na fila de um caixa tem função de distribuição acumulada dada por F (x) = 1 e x 3, se x 0, 0, se x < 0. Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de clientes neste caixa seja menor do que 1 minuto?

3 Gabarito As respostas foram realizadas no programa R que pode ser obtido gratuitamente em As respostas compreendem os comandos e resultados de comandos do programa R. 1. X N(µ=5;σ=0.9) pequeno: até x 1 = 4.07 (P(X x 1 )=0.15) médio: de x 1 = 4.07 até x 2 = 5.35 (P (x 1 X x 2 ) = 0.65) grande: de 5.35 até 5.93 extra: acima de 5.93 > qnorm(0.15, 5, 0.9) [1] > qnorm(0.15) [1] > qnorm( , 5, 0.9) [1] > qnorm(0.65) [1] > qnorm( , 5, 0.9) [1] X N(µ=1000;σ=10) (a) P(X<990) > pnorm(990, 1000, 10) [1] (b) P(1000-2*10 < X < *10) = P(-2<z<2) > pnorm(2) - pnorm(-2) [1] (c) Seja Y o numero de garrafas com liquido superior a 1002 Y b(10, p) em que p = P(X>1002)=P(Z>0,2) > 1 - pnorm(0.2) [1] Pede-se P(Y 4) > pbinom(4, 10, 1 - pnorm(0.2)) [1] (d) Seja G= garrafa com volume de líquido superior a Seja V o número de garrafas selecionada até aparecer G. P(G)= P(X>1005) > 1 - pnorm(1005, 1000, 10) [1] P(V 3) = 1-P(V<3)= 1- P(V 2)= 1 - [P (G) + P (GG)]= 1 - (P(G)+(1-P(G))P(G)) > 1 - ((1 - pnorm(1005, 1000, 10)) + (1 - pnorm(1005, 1000, 10)) * + pnorm(1005, 1000, 10)) [1] X A = tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tipo A. X A N(µ = 10, σ = 2). X B = tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tipo B. X B N(µ = 11, σ = 3). (a) Prob. de restituição do televisor tipo A: P (X A 6) > pnorm(6, 10, 2) [1] Prob. de restituição do televisor tipo B: P (X B 6) > pnorm(6, 11, 3)

4 [1] (b) Lucro do televisor tipo A = 1200 P (X A > 6) 2500 P (X A 6) > * pnorm(6, 10, 2) * (1 - pnorm(6, 10, 2)) [1] Lucro do televisor tipo B = 2100 P (X B > 6) 7000 P (X B 6) > * pnorm(6, 11, 3) * (1 - pnorm(6, 11, 3)) [1] (c) Tipo B pois o lucro esperado é maior. 4. X= tempo necessário para atendimento de clientes.x N(µ = 8, σ = 2). (a) P(X<5) > pnorm(5, 8, 2) [1] (b) P(X>9.5) > 1 - pnorm(9.5, 8, 2) [1] (c) P (7 X 10) > pnorm(10, 8, 2) - pnorm(7, 8, 2) [1] (d) Obter t tal que P (X t)=0.75 ou P (X t)=0.25 > qnorm(0.25, 8, 2) [1] X N(µ=110;σ=6) baixo: até x 1 tal que (P(X x 1 )=0.15) médio: de x 1 até x 2 tal que (P (x 1 X x 2 ) = 0.85) alto: acima de x 2 x 1 e x 2 : > qnorm(0.15, 110, 6) [1] > qnorm( , 110, 6) [1] X= tempo necessário para resposta a um estímulo visual.x N(µ = 1, σ = 1/3). (a) P(X<0.5) > pnorm(0.5, 1, 1/3) [1] (b) P(X>1.5) > 1 - pnorm(1.5, 1, 1/3) [1] (c) P (0.5 X 1.5) > pnorm(1.5, 1, 1/3) - pnorm(0.5, 1, 1/3) [1] (d) Obter t tal que P (X t)=0.75 ou P (X t)=0.25 > qnorm(0.25, 1, 1/3) [1] X= QI da populacao. X N(µ = 100, σ = 15). P(X>132) > 1 - pnorm(132, 100, 15) [1]

5 8. X= distribuição de renda desta população. X N(µ = 300, σ = 150). (a) P (X 150) > pnorm(150, 300, 150) [1] (b) Obter x tal que P (X x)=0.6 > qnorm(0.6, 300, 150) [1] X=duração de máquinas. X N(µ = 1000, σ = 200). (a) P(X>2*365 dias) > 1 - pnorm(2 * 365, 1000, 200) [1] (b) P (X 2 365) > pnorm(2 * 365, 1000, 200) [1] (c) P(900<X<1300) > pnorm(1300, 1000, 200) - pnorm(900, 1000, 200) [1] X1 N(µ = 42, σ = 6) e X2 N(µ = 45, σ = 3) (a) P(X1>45) e P(X2>45) > 1 - pnorm(45, 42, 6) [1] > 1 - pnorm(45, 45, 3) [1] 0.5 Logo é melhor a pilha 2. (b) P(X1>49) e P(X2>49) > 1 - pnorm(49, 42, 6) [1] > 1 - pnorm(49, 45, 3) [1] Logo é melhor a pilha P (X 60) com X N(µ = 50, σ = 20) > pnorm(60, 50, 20) [1] X N(µ = , σ = ) P(T=0.10) > pnorm(0.618, 0.614, ) - pnorm(0.61, 0.614, ) [1] P(T=0.05) > pnorm(0.62, 0.614, ) - pnorm(0.608, 0.614, ) - (pnorm(0.618, , ) - pnorm(0.61, 0.614, )) [1] P(T=-0.10) > 1 - (pnorm(0.62, 0.614, ) - pnorm(0.608, 0.614, )) [1] Lucro médio por esfera, E(T):

6 > 0.1 * (pnorm(0.618, 0.614, ) - pnorm(0.61, 0.614, )) * (pnorm(0.62, 0.614, ) - pnorm(0.608, 0.614, ) - (pnorm(0.618, 0.614, ) - pnorm(0.61, , ))) * (1 - (pnorm(0.62, 0.614, ) - + pnorm(0.608, 0.614, ))) [1] P(X>10) = 1- F(10) > 1 - pexp(10, 1/12) [1] P(X<1) = F(1) > pexp(1, 1/3) [1]