(a) Classifique cada uma das variáveis.

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1 1 Exercício 1 A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de tamanho pequeno (P), médio (M) e grande (G), do setor comercial (C) e industrial (I). Empresa Meses Setor C C I I I C C I I C C I C I I Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G (a) Classifique cada uma das variáveis. (b) Divida as empresas em dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Compare os grupos em relação à média e à mediana do número de meses com crescimento. (c) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação para os dois grupos. Qual dos grupos é mais homogêneo em relação ao número de meses com crescimento? (d) Calcule a média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação do número de meses com crescimento para os três tamanhos de empresas (P,M,G). Compare essas medidas. Com base nessa análise, você diria que existe relação entre o tamanho da empresa e o número de meses com crescimento? Solução a) Variáveis: Tamanho da empresa: Variável qualitativa ordinal, Setor da empresa: Variável qualitativa nominal, Número de meses com crescimento: Variável quantitativa discreta. b) Dividimos as empresas em dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Valores ordenados dos meses com crescimento em cada setor, C I A média do número de meses com crescimento das empresas dos setor comercial é dada por, = 0 7 7, 13. A média do número de meses com crescimento das empresas do setor industrial é, = 37 8 =, 6.

2 Observe que no setor comercial existem sete observações, de modo que a mediana é dada pelo valor da quarta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento do setor de comércio é 8. Observe que possuimos oito observações no setor industrial, de modo que a mediana é dada pela média da quarta e quinta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento do setor de indústria é dado por + =,. Baseados nos valores obtidos concluimos que em média o número de meses com crescimento do setor comercial é maior do que o setor industrial. c) Vamos agora determinar o desvio padrão para cada um dos dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Para as empresas do setor comercial temos, (8 0 7 s c = ) + (9 0 7 ) + (6 0 7 ) + (8 0 7 ) + (8 0 7 ) + ( 0 7 ) + (6 0 7 ) 1, 6. 6 Para as empresas do setor industrial temos, (, 6) s i = + (, 6) + (3, 6) + + (, 6) De modo que o coeficiente de variação para o grupo das empresas do setor comercial é dado por, cv = = 0, 9 7, 13 E o coeficiente de variação para o grupo das empresas do setor industrial é, cv = =, 919, 6 Concluimos baseados no coeficiente de variação que as empresas do setor comercial são mais homogêneas do que as empresas do setor industrial. d) A medida descritiva que nos fornece a informação do número máximo de meses apresentando crescimento para que a empresa receba incentivo fiscal, dado que só % das empresas com menor crescimento (em meses) receberão incentivo, é o primeiro quartil. Os dados ordenados (crescimento em meses) são: Temos n = 1, de modo que p (n + 1) = 0, (16) =. Logo, o primeiro quartil corresponde ao valor da variável que ocupa a quarta posição dos dados ordenados, ou seja,.

3 3 P 6 6 M G 8 8 e) Dividimos as empresas em três grupos: pequeno (P), média (M) e grande (G). Valores ordenados dos meses com crescimento para cada tamanho de empresa, A média do número de meses com crescimento das pequenas empresas é dada por, =, A média do número de meses com crescimento das médias empresas é, = 1 7 =.87. A média do número de meses com crescimento das grandes empresas é, Observe que nas pequenas empresas (grandes empresas) existem quatro observações, de modo que a mediana é dada pela média da terceira e quarta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento das pequenas empresas é, (das grandes empresas é 6). Observe que possuimos sete observações entre as médias empresas, de modo que a mediana é dada pela quarta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento das médias empresas é 6. O desvio padrão do número de meses com crescimento das pequenas empresas é, (, ) + (, ) + (6, ) + (6, ) O desvio padrão do número de meses com crescimento das médias empresas é, (3 1 7 ) + ( 1 7 ) + (9 1 7 ), O desvio padrão do número de meses com crescimento das grandes empresas é, ( 6) + ( 6) + (8 6) + (8 6) = 6. O coeficiente de variação para o grupo das pequenas empresas é dado por, cv = 0.77, 100 = 10, 9

4 O coeficiente de variação para o grupo das médias empresas é dado por, cv = = 36, O coeficiente de variação para o grupo das grandes empresas é dado por, cv = = 38, 83 Tabela 1: Média, Mediana, desvio padrão e coeficiente de variação da variável número de meses com crescimento para cada tamanho de empresa. Tamanho da empresa Média Mediana Desvio padrão Coeficiente de variação P ,9 M ,18 G ,83 O número médio de meses com crescimento parece aumentar muito pouco conforme o tamanho da empresa aumenta. A mediana do número de meses com crescimento entre as grandes e médias empresas são iguais e levemente superiores as pequenas empresas. Diante da medida de coeficiente de variação e desvio padrão podemos dizer que as pequenas empresas representam um grupo mais homogêneo do que as médias e grandes empresas. Baseados nas observações acima não concluiriamos que existe relação entre o tamanho da empresa e o número de meses com crescimento, uma vez que a diferença do número médio de meses com crescimento em cada grupo não parece ser significativa. E é válido salientar que a média não parece ter a mesma representatividade em cada grupo. Exercício O peso (em Kg) de 30 mulheres de 168 cm de altura, segundo a idade (em anos) é apresentado abaixo Idade Peso

5 (a) Calcule a média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação para o peso dos seis grupos de idade analisados. (b) Com base nas medidas obtidas no item (a), tire conclusão sobre o comportamento do peso com o aumento da idade. Solução a) O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, x 1 = = 60 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, x = = 60.8 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, x 3 = = 71, 6 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, x = = 7, O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 60 anos é dado por, x = = 77, 6 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 6 anos é dado por, x 6 = = 76, Como cada grupo possui cinco observações a mediana é dada pela terceira observação quando estes valores estão ordenadas em cada grupo. Temos desta forma, Para o grupo de mulheres com 0 anos a mediana é dada por 6 kg. Para o grupo de mulheres com anos a mediana é dada por 6 kg. Para o grupo de mulheres com 0 anos a mediana é dada por 7 kg. Para o grupo de mulheres com anos a mediana é dada por 77 kg. Para o grupo de mulheres com 60 anos a mediana é dada por 76 kg. Para o grupo de mulheres com 6 anos a mediana é dada por 80 kg.

6 6 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, ( 60) s 1 = + (0 60) + (68 60) + (6 60) + (6 60) =, = 7.38 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, (8 60.8) s = + (6 60.8) + (6 60.8) + (6 60.8) + ( ) = 13, 7 = O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, (60 71, 6) s 3 = + (7 71, 6) + (70 71, 6) + (78 71, 6) + (76 71, 6) = 7.17 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, (77 7, ) s = + (78 7, ) + (70 7, ) + (7 7, ) + (80 7, ) =.19 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 60 anos é dado por, (70 77, 6) s = + (76 77, 6) + (7 77, 6) + (83 77, 6) + (8 77, 6) = 6.69 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 6 anos é dado por, (6 76, ) s 6 = + (8 76, ) + (7 76, ) + (8 76, ) + (80 76, ) = 7.97 cv 1 = = 1, 303 cv = , = 6, 087 cv 3 = , = 9, 9 cv = , 100 =, 9 cv = , = 8, 079 cv 6 = , 100 = 9, 838

7 7 b) Conclusões: Com o aumento da idade de 0 para anos não notamos alterações significativas no peso médio das mulheres. Entretanto, diminuem o desvio padrão e coeficiente de variação, de modo que o peso das mulheres com faixa etária de anos é bem mais homogêneo do que entre as mulheres com 0 anos. Com o aumento da idade de para 0 anos percebemos um aumento significativo no peso médio das mulheres. A variabilidade dos pesos volta a subir. Com o aumento da idade de 0 para anos percebemos um aumento no peso médio das mulheres. O grupo das mulheres de anos é mais homogêneo do que o das mulheres com 0 anos. Com o aumento da idade de para 60 anos percebemos um pequeno aumento no peso médio das mulheres. O grupo das mulheres de anos é mais homogêneo do que o das mulheres com 60 anos. Com o aumento da idade de 60 para 6 anos percebemos uma pequeno diminuição no peso médio das mulheres. Observamos que no geral o peso médio das mulheres parece aumentar conforme a idade aumenta, com poucas exceções.

8 8 Exercício 3 Os dados representam velocidades do vento (km/h) num determinado aeroporto para os primeiros 1 dias de dezembro de 008. Dia Veloc, 61,1 13,7 7,8,7 7, 8,7 6,3 0,,6 3, 11,1 13,0 7, 1,8 (a) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão e os quartis da velocidade. (b) Note que o dia de dezembro apresenta um valor atípico devido a uma tempestade forte com chuva e vento. Remova esse valor e refaça o item anterior. Comente as diferenças encontradas. Solução a) A velocidade média do vento num determinado aeroporto para os primeiros 1 dias de dezembro é dada por, x 1 =, + 61, , 0 + 7, + 1, 8 1 = 8. 1 = Como há quinze observações a mediana é dada pela oitava observação quando estes valores estão ordenadas. Os valore ordenados são, de modo que a mediana é dada por, ,3 7, 7, 8,7 11,1 13,0 13,7 1,8 0,,,7 3,,6 7,8 61,1 O desvio padrão é, s 1 = ( ) + + ( ) Temos n = 1 observações, logo, Posição de Q 1 =0,(1+1)=. 1 Posição de Q (mediana)=0,(1+1)=8. Posição de Q 3 =0,7(1+1)=1. = = Olhando para os valores ordenados podemos determinar facilmente estes valores em cada caso. Portanto, Q 1 = 8.7, Q = 1.8 e Q 3 = 3. (b) Removemos o valor referente ao dia e obtemos que a velocidade média do vento neste determinado aeroporto é dada por, x =, + 61, , 0 + 7, + 1, 8 1 =.1 1 =

9 9 Como agora temos 1 observações a mediana é o valor que está na posição 1+1 = 7, Portanto, Md = = 1,. O desvio padrão é, s = ( ) + + ( ) Temos n = 1 observações, logo, 13 Posição de Q 1 =0,(1+1)=3.7. Posição de Q (mediana)=0,(1+1)=8. Posição de Q 3 =0,7(1+1)=11.. =.7687 = Por simplicidade tomaremos, Q 1 = = 8.0, Q = Md = 1. e Q 3 =.7+3. =.9. Observe que ao removermos o valor referente ao segundo dia as medidas descritivas diminuem. Podemos ver que o desvio padrão decresce consideravelmente e a amostra passa a ser mais homogênea. Isto acontece porque no dia de dezembro o vento apresentou um valor atípico e muito alto que aumenta as medidas descritivas.