Introdução à Estatística e Probabilidade Turma B 5 a lista de exercícios (16/11/2015)

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1 ) Seja uma v.a. X.d.p. (x) = x se 0 x k. a) Encontre k para que (x) seja uma.d.p. b) Encontre sua.d.a. F(x). c) Calcule a média e a variância de X. Introdução à Estatística e Probabilidade Turma B 5 a lista de exercícios (6//05) ) A data na qual será necessário revisar um equipamento é dada pela variável aleatória T, onde T é o número de milhares de horas de uso contínuo do mesmo. A unção densidade de probabilidade t da v.a. T é descrita abaixo.. b) Calcule E(T) e Var(T). c) Qual a probabilidade de sermos obrigados a revisá-lo antes de 5 mil horas? d) Encontre a e b simétricos em torno da média tal que P(a X b) = a) Encontre o valor de k e determine t 3) Segundo os abricantes, uma lâmpada incandescente ligada em média 5 horas/dia, tem vida úitl média de 000 horas. Sabendo que a duração (em anos) das lâmpadas Qui-Luz tem distribuição exponencial com dp: 3 t 3 / t e, t 0. Determine: a) A probabilidade de que uma lâmpada dure menos de 6 meses. b) A probabilidade de que, após 00 horas ligada uma lâmpada ainda esteja uncionando normalmente c) O tempo médio de vida de uma lâmpada Qui-Luz. d) A vriância do tempo de vida. e) Num lote de 5000 lâmpadas, qual a proporção esperada de lâmpadas boas após 337 dias de uso. ) Dê o valor de t * (em meses) tal que P( T t * ) = 0,50. Como t * é identiicado? 4) Uma v.a. X tem unção densidade dada pela expressão x, x a) Achar o valor de e a obter a.d.a. F(x). P X e/ k X e, para k e. b) Calcule c) Achar o ponto m tal que P(X m) = P(X m) = /. Como é identiicado o ponto m? x.

2 5) Considere uma va X com dp dada por: sen(x) x, 0 x. Determine: a) A unção de distribuição acumulada de X; b) As probabilidades P(0 X /4) e P(/ X 3/4); c) E(X) e Var(X); d) Calcule a probabilidade de X petencer ao intervalo [ ; + ], em que = E(X) e = DP(X); e) Os valores k e k, simétricos em torno de E(X), tal que P(k X k ) = 0.95; x F( x) F( x) ) Mostre que 6) Seja uma v.a. de Cauchy, cuja.d.p. é dada por: ( x), < x <. ( x ) a) Calcule a sua.d.a. b) Calcule P 3 X 3: c) Para qual valor de a, P X a 0, 5? ) Seja x 3, 0 x ( x ) 0, caso contrário a) Faça um esboço do gráico de (x) b) Encontre F(x) e obtenha P(X ) e P(/ X 3/); c) Determine k tal que P(X k) = 0,5; X Var X. d) Calcule E e 7) Considere a.d.p. x.5 x x a) Faça um esboço do gráico de (x); b) Calcule P(X 0) e P( / X /). c) Achar k tal que P(X k) = /. d) Encontre E(X). se se 3 x 0 0 x 8) Se X é uma v.a. com distribuição Normal com média = 00 e = 5, achar b tal que: a) P(X < b) = 0,67; b) P(X > b) = 0,00; c) P( X 00 < b) = 0,9660.

3 9) Supor que os tempos de vida de um lote de componentes para rádio têm uma distribuição normal com média 500 horas e desvio padrão de 50 horas. Um comprador requer que pelo menos 95% dos componentes tenha durabilidade maior do que 40 horas de uncionamento. Você acha que o lote estará de acordo com as especiicações do comprador? 0) Numa ábrica oram instaladas 000 lâmpadas novas. Sabe-se que o tempo de vida de uma lâmpada com uso de 0 h/dia tem distribuição normal com vida média de 400 horas e desvio padrão de 360 horas. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão: a) menos que 30 horas; b) mais de 3300 horas; c) entre 878 e 3005 horas. c) quantas lâmpadas se esperam uncionando após 3030 horas? ) As vendas mensais de milho numa cooperativa tem distribuição normal com média 500 quilos e variância a) Qual a probabilidade de que, em um mês sejam vendidos mais do que 580 quilos de milho? E menos do que 388 quilos? b) Qual o valor k tal que a, probabilidade de que as vendas ultrapassem este valor seja de 0,4? ) Um abricante de máquinas de lavar, sabendo que o tempo de vida de suas máquinas tem distribuição normal com média 50 dias e desvio padrão 400 dias, oerece garantia de 3,5 anos. a) Se ele produz 000 máquinas/mês, quantas espera trocar, por mês, pelo uso da garantia? b) De quanto deve diminuir a variabilidade para que, mantido o limite de garantia, esse número caia pela metade? 3) Suponha que a duração de vida de dois dispositivos eletrônicos do mesmo tipo, mas de marcas dierentes M e 40, 36 N 45, 9, respectivamente. Qual dos dispositivos deve ser escolhido: M tenham distribuições N e a) Se tiver que ser usado por um período de 5 horas? Justiique. b) Se tiver que ser usado por um período de 48 horas? Justiique. c) Se exigirmos que pelo menos 95% dos dispositivos escolhidos em (b) tenham duração superior a 40 horas, tal especiicação é atendida? Justiique. d) Qual deve ser o tempo t * tal que os dois dispositivos tenham a mesma coniabilidade, ou seja, PM t* PM t*? 4) O diâmetro de um uro de uma engrenagem tem como especiicação valor nominal de 0,80 mm. É característica que a sua produção tenha distribuição normal com média 0,80 e variância 0,005. Considerando que os limites de especiicação do produto é de 0,7 a 0,88, determine: e) Qual é proporção de engrenagens ora destes limites. a) De quanto deve ser diminuída a variabilidade para que a proporção de itens ora de especiicação seja de no máximo 0.0? 5) Uma indústria metalúrgica produz um cilindro com diâmetro interno tendo distribuição normal com média 36 mm e desvio padrão 0,5 mm. O gerente de qualidade da empresa quer determinar limites de controle (inerior e superior) tal que 98% das peças produzidas tenham diâmetro dentro destes limites. a) Encontre esses limites. b) Se cada cilindro ora dos limites é sucateado a um custo de R$,50, qual o prejuízo da empresa se a produção mensal é de 5000 peças?

4 6) Um produtor classiica suas rutas como Tipo A ou Tipo B segundo o peso. As rutas com peso acima de 58g são classiicadas como tipo A, caso contrário, como tipo B, sendo que o peso das rutas tem distribuição normal N(48 ; 4,6). a) Calcule a proporção de rutas com peso acima de 58g.? b) Considerando que os rutos embalados aleatoriamente em caixas com n = unidades, determine o número esperado de rutas tipo A por caixa. c) Qual a probabilidade de que, numa caixa assim ormada, exatamente metade das rutas sejam do tipo A? E no máximo duas. As rutas são vendidas com preço dierenciado sendo R$,00 as de tipo B e R$,55 as de tipo A. O produtor pretende selecionar as rutas e vendê-las separadamente por tipo, só que para isso ele terá um custo adicional de R$ 0,0 por unidade para azer a seleção. d) Qual o preço médio de venda com o sistema atual de embalagem? e) Qual deverá ser o preço de vendas das rutas selecionadas por tipo mantendo-se a relação :,55 no preço de venda? Nesse caso, qual o preço médio de venda por caixa? 7) Um produto usado na abricação de automóveis tem dureza normalmente distribuída com média e variância,9. Considere que o produto é abricado a um preço R$ 5,00/peça. Se a dureza or inerior a 0, então a peça é descartada, não servindo para utilização. Se a dureza estiver entre 0 e 4,4, a peça é considerada boa e é vendida a R$ 0,00, porém, se a dureza or superior a 4,4, a peça recebe um tratamento térmico, a um custo adicional de R$,50, para corrigir a dureza. a) Determinar a probabilidade de que um item do produto seja descartado. b) Encontrar a probabilidade de um item do produto tenha dureza entre 0,0 e 4,4. c) Determine o preço médio de produção por peça e o lucro esperado se orem produzidas 5000 peças. Resultados: ) a) /4 b) x c) E(X) = / Var(x) = /80 ) a) 0,0 b) E(T) = 50 Var(x) = 46,67 c) 0,5 d) a = 50 b = ) a) 0,576 b) (ligada 5h/dia): 0,738 c) /3 anos = 8 meses d) 4/9 e) (337 dias = 0,93 anos): 0,5*5000 = 50 lâmpadas ) t * = 5,6 meses. t * é a mediana. 4) a) α = e b) ln(k) c) m = e (mediana) cos( x) 5) a) Fx b) 0,464 e 0,3536 c) E(X) = / e Var(X) = /4 d) 0,805 e) k = 0,38 e k =,84 ) Usar as relações trigonométricas. 6) a) arctan( x) b) /3 c) a = *) b) 3x 3ln(3), /4 e 0,4 c) / d) E ( X ) e ( x ) 9[ln(3)] Var ( x) 3 4

5 7) b) /3 e 37/48 c) k = /3 d) E(X) = 9/08 8) a) b = 0, b) b =,45 c) b = 0,6 9) Sim, pois P(X 40) = ) a) 0,003 b) 0,006 c) 0,88 d) 40 lâmpadas. ) a) 0,056 e 0,040 b) k = 569, kg ) a) máquinas b) novo desvio padrão 376,8 dias 3) Resolvido em aula 4) a) 0,8904 b) novo desvio padrão 0,0307 mm 5) a) k = 34,835mm e k = 37,65mm b) R$ 750,00 6) 7) a) 0,0 b) 0,798 c) lucro esperado de R$ 6.890,00 em 5000 peças